新课标人教社A版教材立体几何的问题及对策——与编者商榷，本文主要内容关键词为：立体几何论文,编者论文,新课标论文,对策论文,教材论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教科书是数学课程改革最重要的“硬件”，也是数学教育最重要的“媒介”。它直接影响到数学教育与数学的发展，影响到人才的培养和国家的发展。因此，改编数学教科书应当慎重，既要尊重数学科学的特点与发展规律，又要遵循数学教育的规律和学生的数学认知规律，不能为“新”而改，为“改”而编。笔者凭教材实践者的体验谈一谈高中数学必修2（2007年2月第3版，以下均为此版教材）立体几何存在的几个问题，供大家参考。
一、“公理4”的问题及对策分析
第45页“公理4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性”。在这里，“平行”是两条直线的一种位置关系，“平行线”显然是指具有平行关系的几条直线，直线怎么能传递呢？当然不能，而是它们的平行关系在“传递”，传递的是一种关系，因此，教材上的这一句话应修正为“公理4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，所以，公理4也可称为直线平行的传递性公理”。
二、三视图与直观图的问题及对策分析
在第一章的“1.2空间几何体的三视图和直观图”中，先讲中心投影与平行投影，再讲三视图，后讲直观图。这样的安排顺序不符合学生的认知规律。教材要求学生由三视图想象几何体的结构特征或画出示意图，实际上就是要求学生画几何体的直观图，若学生对几何体没有一个整体认识（即有立体感的直观图），那是难以画出的；事实上，人们感知一个物体的形状首先是其整体形象，然后才是局部的。因此，建议教材在讲了中心投影与平行投影后，再讲解直观图的画法，最后讲三视图的画法及其与直观图的转换。
三、平行、垂直的判定定理的问题及对策分析
依据高中数学课程标准，教材中关于直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直的判定定理都没有给出证明，这也许是为了减轻学生的负担、降低教材的难度，与西方数学“接轨”，试图利用“直观几何”“实验几何”的思想，通过“合情推理”说服学生接受这三个判定定理，可结果是弊大于利。
1.问题
(1)“线面平行”及诊断分析
第55页“探究”的内容是“如图1，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b。(1)这两条直线共面吗？(2)直线a与平面α相交吗？”
图1
但在教学中，究竟引导学生怎么探究直线a与平面α不相交呢？是借助实物模型凭直觉“合情推理”还是进行逻辑论证推理呢？其实，二者均需要。若靠实物模型（如细细的棍子与平整的地面），其长度和面积是有限的，那么看不见的部分你又凭什么说它们没有公共点呢？如果给学生说“可以想象的”，这显然不是数学科学的“作风”，没有说服力，缺乏科学性和严密性（笔者接触的许多人就觉得现在的中学数学教材缺乏严密性！）；如果给学生讲为什么，那么就会用“反证法”（有时也讲），这又超出了课标要求，怎么办呢？只好“不讲理”！可在学生面前又不能让数学如此“无理”！
(2)“面面平行”及诊断分析
第57页是这样得出平面与平面平行的判定定理的：如下页图2，借助长方体模型，平面ABCD内两条相交直线AC，BD分别与平面A′B′C′D′内两条相交直线A′C′、B′D′平行，由直线与平面平行的判定定理可知，这两条相交直线AC、BD都与平面A′B′C′D′平行。此时，平面ABCD平行于平面A′B′C′D′。
图2
教材借助学生熟悉的长方体模型，本意是好的，可是，学生在“第一章 空间几何体”学习棱柱的概念时，就知道长方体相对的两个面互相平行（其实早在小学、初中就知道这一点）。笔者还发现，在学生的数学认知结构中“两条相交直线AC、BD都与平面A′B′C′D′平行”与“平面ABCD∥平面A′B′C′D′”并没有因果关系，平面ABCD∥平面A′B′C′D′的原因有教科书强加给学生之嫌，学生问为什么，反正你记住能用就行。其实，这虽有合情推理之意，减轻学生负担之心，但没有引导学生探究一般化的数学模式（“面面”平行的判定定理），这也无意中误导了孩子们，觉得举个例子说一说，凭直觉就可以得到数学定理。
(3)“面面垂直”及诊断分析
第65页是这样引导学生探究直线与平面垂直的判定定理的：
“探究”：如图3，请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做一个试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）。(1)折痕AD与桌面垂直吗？(2)如何翻折才能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？容易发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD所在直线与桌面所在平面α垂直。
图3
接着，有下面的“思考”：
(1)有人说，折痕AD所在直线与桌面所在平面α上的一条直线垂直，就可以判断AD垂直平面α。你同意他的说法吗？
(2)由AD⊥BC，翻折之后垂直关系不变，即AD⊥CD，AD⊥BD。由此你能得到什么结论？
上述“探究”设问的目的是引导学生通过合情推理，由AD⊥CD，AD⊥BD，且CD∩BD=D得出AD⊥平面α，不过，遗憾的是上述“思考”仅就此试验而论，没有引导学生将其逐步升华、归纳出一般化的数学模式——直线与平面垂直的判定定理。因此，为了减少学生的疑虑（难以消除！），此处的“思考”可这么设计：
2.案例分析
不管是有什么理念的人，也不管在哪个年代编写数学教材，都应遵循数学科学的特点，尊重数学的严密性（当前“西化”的数学教育改革使“教育数学”背离了这些），都应讲讲道理，不能因为学生难理解、难接受，就轻易降低难度，就“不讲理”。否则，就会导致学生论证推理时“想当然”，也“不讲理”，在科学的道路上是很危险的。下面举几个来自教学中的案例：
案例1 第63页习题2.2B组第2题：a、b是异面直线，
，求证：α∥β。
学生的做法是“在平面α内作直线c，使c∥b，并与直线a相交，由平面与平面平行的判定定理得α∥β”，这实质上是一种合情推理，不能算作逻辑论证推理。其中的关键是直线c怎样才能找到，显然没有讲清楚。
案例2 第62页习题2.2A组第5题：如图5，AB∥α，AC∥BD，C∈α，D∈α，求证：AC=BD。
学生的做法是“连接CD，因为AB∥α，由直线与平面平行的性质定理得AB∥CD，于是，四边形ABDC是平行四边形，所以，AC=BD。”，这显然缺乏严密性，得出AB∥CD的理由不充分，要想用直线与平面平行的性质定理，必须先论证CD是经过直线AB的平面与a的交线。后来，笔者调查学生为何这样写，孩子们的回答是“ABDC当然表示一个平面”，再追问为什么，就说不出理由了。
案例3 第78页“复习参考题”A组第7题：如下页图6，四棱锥V-ABCD中，底面是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为
的等腰三角形，试画出二面角的平面角，并求它的度数。很多学生的做法是“取AB的中点E，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，点O为正方形ABCD的中心，连接VE、OE，则∠VEO就是这个二面角的平面角。”（度数的求法从略），学生想到取AB的中点，这一做法很好（笔者对孩子们大大赞扬了一番），可是，点O为什么是正方形ABCD的中心呢？学生说“凭直觉”“应该是吧！”（笔者又赞扬孩子们，脑子灵活，富有想象力，但不能一猜了之）。实际上，这也是一种合情推理，但就这样行吗？显然不具说服力。
图6
3.对策分析
出现上述部分案例中的“不讲理”现象，虽然笔者不是要想让教科书“负全责”，但也不能说与教科书的那些“不讲理”没有关系。因此，为了培养孩子们的科学态度、科学精神，建议教科书可把不证明直线与平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直的判定定理的缘由说清楚，也可把它们的证明过程编进“阅读材料”或其他相关的、不作要求的栏目中，让孩子们觉得数学就是数学，与其他任何一门具体科学的研究方法就是有所不同，不但要靠合情推理，更需要逻辑论证推理。
四、与平面性质公理有关的问题及对策
第62页习题2.2A组第4题、第5题（上面例2中已分析），B组第2题、第3题，第74页第8题（因篇幅，这几个题目在此略写，请读者参见教科书）的证明都会用到：“两条平行直线确定一个平面”，“两条相交直线确定一个平面”，或“一条直线与这条直线外的一点确定一个平面”。因此，要么把三条结论作为平面基本性质公理的“推论”堂堂正正地编进教材，不要“藏”在练习题里，要么把这样的习题删掉，否则，会让学生处于“两难”的境地。
五、教科书第67页练习题的问题及对策分析
第67页的练习第2题：过△ABC所在平面α外一点，作PO⊥α，垂足为O，连接PA、PB、PC。(1)若PA=PB=PC，∠C=90°，则点O是AB边的______点。(2)若PA=PB=PC，则点O是△ABC的______心。(3)略。
实践证实，学生回答第(1)问较困难。笔者让学生先做第(2)问后，再结合直角三角形的性质，学生很容易就完成了第(1)问。其实，解此题时学生的思维属于演绎思维，利用直线与平面垂直的定义这一几何关系模式，推演出较具体的几个几何对象之间的关系，对于较具体的几个几何对象而言，如果附加的条件越多，演绎推理的难度就越大。因此，建议教科书将这两问的顺序交换一下，更适合学生的认知规律。
六、教科书第69页练习题的问题及对策分析
第69页的练习题与教学内容和目的不相配。本节的内容是平面与平面垂直的判定，目的是教会学生怎样判定两个平面相互垂直，而教材上的这个练习题的四个选项都是判定直线与平面是否垂直，也没有适当进行二面角概念的理解训练，这不利于研究“面面垂直”的判定和性质。
(1)求证：平面SDG⊥平面EFG；
(2)你还能找出哪几对互相垂直的平面？并说出理由。
(3)平面SEF与平面EFG是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由。
如此设计意在训练学生应用平面与平面垂直的判定定理，突出了本节的重点，通过第(2)问，培养学生书写论证推理过程的能力和创新思维能力；可训练学生数学思维的灵活性，比如，要证平面SDG⊥平面EFG，学生既可选择SG⊥平面EFG，又可选择EF⊥平面SDG，第(3)问可用二面角的大小判定，也可用“反证法”，这也可训练学生数学创新思维的探索性与批判性。
七、圆柱、圆锥、圆台表面积的问题及对策分析
第24～25页给出的圆柱、圆锥、圆台的表面积公式分别是
，并且全国很多省在高考试卷中都将涉及的公式告诉学生，以减轻学生的学习负担。试请问，教材这样编写的用意何在？高考这么考的目的何在？难道就是让学生算一算？减轻负担？显然不应该是！大家都清楚，立体几何的教育目的主要是培养学生的几何直观、空间想象能力和逻辑论证推理能力。因此，笔者建议：(1)应明确给出圆柱、圆锥、圆台侧面积的定义，因为计算表面积的关键是求其侧面积；(2)引导学生探究圆柱、圆锥、圆台侧面积公式的联系（如右图式），因通过这种颇具“数学美”的联系，可培养学生的自主学习和研究数学的能力。
圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别记为
，母线长都记为l，则公式的联系如右图所示。
