社会福利函数与收入不平等的度量———个罗尔斯主义视角，本文主要内容关键词为：社会福利论文,度量论文,不平等论文,视角论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
收入分配是社会资源配置的财富表现。在总资源既定的情况下，我们希望收入尽可能合理分配以使得社会福利最大化。达尔顿(Dalton，1920)指出，当其他条件相同时，人们通常会偏好于更为平等的分配。这一论断的本质就是假定社会偏好具有不平等规避特征。对此，一般可有两种解释：一是他人的收入水平和生活质量具有外部性，二是个体偏好具有风险规避特征；二者都可能会导致不平等规避型社会偏好。因此，在特定的不平等规避型社会偏好下，收入分配的不平等程度将会严重地影响社会福利水平。
在上述“达尔顿教条”下，关于收入分配的研究在理论上至少存在三个问题：首先，如何判断一个社会到底拥有何种偏好？阿罗不可能定理(Arrow，1950，1963)的结论意味着，从个体偏好加总到社会偏好存在逻辑上的困难。阿玛蒂亚·森等人(Sen，1970；D'Aspremont and Gevers，1977)的研究结果进一步表明，在偏好加总过程中，人际比较成为一个关键问题。若允许一定程度的人际比较，则可参考三种典型的社会福利函数，即功利主义(Bentham，1789)、纳什(Nash，1950)以及罗尔斯主义(Rawls，1971)社会福利函数；这三种社会福利标准依次体现了不同程度的关于个体福利水平的不平等规避特征，从而相应地体现了不同程度的关于个体收入水平的不平等规避特征。然而，即使局限于不平等规避型社会偏好，问题仍然显得十分困难：因为不平等规避型社会偏好的种类如此繁多，如何在这些不同的社会福利标准的选择上达成共识，可能已经不仅仅是一个理论研究的问题。
其次，如何判断一个社会的收入分配到底有多么的不平等？正如达尔顿所指出的，人们对于如何度量不平等存在广泛的争议。传统上，关于收入不平等度量方法的研究主要集中于不平等指标的统计属性或公理化特征。一方面，自帕累托(Pareto，1896)对收入分配的开创性研究之后，收入分布函数的参数化描述成为标准的建模方法。洛伦兹(Lorenz，1905)和基尼(Gini，1912)的奠基性工作则使得收入分配研究从帕累托的参数化模型中解脱出来，即在洛伦兹曲线和基尼系数的表述中，可以完全采用非参数模型。并且，由洛伦兹曲线所导出的洛伦兹占优原则几乎成为不平等度量中最无可争议的原则。然而，当洛伦兹曲线相交时，关于不平等的度量则充满了争议，其中最为著名的规范结果即为基尼系数。另一方面，关于不平等度量的公理化方法则要求度量指标满足一系列合理的性质，譬如对称性(匿名性)、人口原则、达尔顿转换原则、比例不变性(线性齐次性)、可分解原则等。泰尔(Theil，1967)运用信息熵理论提出了满足可分解原则的“泰尔熵指数”。科威尔等人(Cowell，1977；Cowell & Kuga，1981)在泰尔熵的基础上进一步提出了所谓的“广义熵指数族”。①公理化方法使得研究者对于各种不平等指数的选择取决于其对于各种公理化性质的合理性的认同。
遗憾的是，各种常用的不平等度量方法之间可能存在着逻辑上的不一致性。当洛伦兹曲线相交时，洛伦兹占优原则不再适用，此时关于不平等的度量可能会存在一些明显的悖论。例如，在甲、乙、丙三人之间对100单位总收入存在三种分配：x=(100/3，100/3，100/3)；y=(50，40，10)；z=(60，20，20)。很明显，x是平等的分配，y和z都是不平等的分配；但是对于y和z谁更不平等，不同的度量方法却可能产生不同的排序，如表1所示。
由表1可知，不同的不平等度量方法可能产生相反的不平等排序结果。那么，到底该选择哪一种度量方法呢？基尼系数、泰尔熵指数和变异系数等指标虽然各具优点，但都仅仅是可供参考的规范性度量，并不存在任何先验的标准使得一些指标明显优于其他指标。为了解决这一模糊性，关于不平等度量的现代方法则基于所谓的“达尔顿-阿金森途径”，即从社会福利的角度来探讨不平等问题。
一般地，探讨不平等与社会福利之间的联系主要有如下三条途径：第一，通过“平均分配等价收入”(EDEI)将社会福利函数与不平等度量明确对应起来，建立所谓的AKS指数(Atkinson，1970；Kolm，1969；Sen，1973)。AKS指数很好地体现了不平等度量的“规范显著性”，即当平均收入相等时，更加不平等的收入分布意味着更低的社会福利。本文主要基于这一思路。第二，研究收入分布与可加可分型社会福利函数(类似于代表性效用函数的期望效用)之间的关系。该方法仅适用于不完备性度量。第三，在特定的不平等度量下考虑简化型社会福利函数，即将社会福利表示为平均收入与不平等程度的函数：对于前者单调递增，对于后者单调递减(Dutta & Esteban，1992)。②该方法的缺点在于，各种等价的不平等度量却可能导致不等价的社会福利函数(Blackorby & Donaldson，1984；Ebert，1987)。请注意，阿金森型、可加可分型以及简化型社会福利函数本质上都属于传统的柏格森-萨缪尔森社会福利函数(Bergson，1938；Samuelson，1947)范畴。由于极力回避效用的人际比较，帕累托福利经济学尚无法对收入不平等问题作出任何有力的判断(Sen，1973；Dutta，2002)，这使得现代社会选择理论与收入分配理论之间大体上仍处于割裂状态。
收入分配研究在理论上所面临的第三个问题是：在既定的社会偏好结构和社会总资源条件下，多大程度上的收入不平等是社会最优的？胡祖光(1993，2004)认为基尼系数的理论最佳值应当是1/3，赵志君(1994)认为基尼系数的理论最佳值约为0.3，洪兴建(2007)则提出基尼系数的合意值为1/3。但是，欧阳葵(2011)认为，基尼系数的最优值不可能从基尼系数的定义本身找到答案，必须从社会福利的角度来进行判断。赵志君(2011)也指出，撇开社会偏好和最优收入分布形态去讨论基尼系数的理论最佳值，理论和实际意义都不大。也就是说，只有在既定的社会福利标准下，才能探讨社会最优的收入不平等程度。一旦确定了合理的社会福利函数，就可以根据AKS方法构造出一个与之对应的不平等指数，而社会最优的收入不平等程度不过就是指社会福利最大化的收入分配所对应的不平等程度。
为了回答上述三个问题，本文试图将现代社会选择理论与收入分配理论有效地结合起来，从社会福利泛函的视角重新解释AKS指数，深入阐明个体偏好与社会福利之间的逻辑关联，以严格厘清收入不平等问题的本质。本文证明了，在标准福利主义假设下，如果社会福利函数满足凹性、连续性、匿名性、单调性和规范齐次性，且代表性效用函数是严格递增的凹函数，则必定存在一个相应的AKS不平等指数。此外，本文以纳什和罗尔斯主义社会福利函数为基础，提出了纳什-阿金森指数和罗尔斯主义AKS指数。这两个指数都满足对称性、人口原则、达尔顿转化原则、比例不变性和可分解原则等性质。特别地，罗尔斯主义AKS指数独立于代表性效用函数的任意正单调变换，且不再要求代表性效用函数是凹函数，只需其为严格增函数即可。这两个性质都是功利主义和纳什-阿金森指数所不具备的。
本文结构安排如下：第二节在社会选择理论框架下探讨了收入分配问题；第三节对不平等度量的基本性质、AKS指数以及简化型社会福利函数进行了简要描述；第四节探讨了标准福利主义视角下AKS指数的存在性；第五节提出了罗尔斯主义AKS指数以及广义AKS指数；第六节以我国地区收入差距为例对各种不平等指数进行了比较分析；第七节根据罗尔斯主义AKS指数对我国城镇居民收入差距和农村居民收入差距进行了测算；第八节总结。
二、收入分配与社会福利
(一)关于收入分配的社会选择问题
若偏好R满足完备性和传递性，则称偏好R是理性的。设定义在X上的所有理性偏好的集合为O(X)。一个效用函数即为定义在X上的一个(非负)实值函数
。对于一个偏好R和一个效用函数u，若对于任意a、b∈X，(a，b)∈R当且仅当u(a)≥u(b)，则称偏好R可用效用函数u表示。能用效用函数表示的偏好必定是理性的偏好；但若X是无限集，则理性偏好并不一定总是能用效用函数来表示，需要施加一定的连续性假设。
设定义在X上的所有效用函数的集合为U(X)。一个社会福利泛函就是一个从个体偏好组合空间O
(或个体效用函数组合空间U)对应到社会偏好空间O(X)(或社会效用函数空间U(X))的函数。也就是说，一个社会福利泛函给出了一种社会最优选择的标准，以使得对于任何一个个体偏好组合(或个体效用函数组合)，存在一个与之对应的社会偏好(或社会效用函数)，其在收入分配空间上给出了一个(理性的)社会福利排序。⑤
(二)收入分配社会福利评价的阿罗不可能定理
如前所述，只有在一种特定的社会选择规则下，我们才能对收入分配进行社会福利评价；或者说，关于收入分配的任何社会福利评价都对应着一个社会福利函数。当然，我们要求这种社会福利评价一般基于个体偏好状况或个体效用水平，即将社会福利表述为个体偏好或个体效用的加总。我们通常希望个体偏好以及个体偏好的加总方式是理性的。一般地，在无限制的定义域下，存在着如下四种类型的社会福利泛函：(Ⅰ)
，即从个体偏好组合空间对应到社会偏好空间(Arrow，1950，1951，1963)；(Ⅱ)
，即从个体效用函数组合空间对应到社会偏好空间(Sen，1970)；(Ⅲ)
，即从个体效用函数组合空间对应到社会效用函数空间(欧阳葵和王国成，2013a，2013b)；(Ⅳ)
，即从个体偏好组合空间对应到社会效用函数空间。
此处仅考虑第Ⅰ类和第Ⅲ类社会福利泛函。第Ⅰ类社会福利泛函也称阿罗社会福利函数。对于任意
表示在偏好组合R下的社会偏好。一般来说，我们要求一个合理的社会福利泛函至少应当满足弱帕累托原则和不相关选择的独立性两个性质。一般来说，我们也要求合理的社会福利泛函不应当满足弱独裁性。由此可得到如下结论：
阿罗不可能定理Ⅰ(Arrow，1950，1951，1963)：如果社会福利泛函满足弱帕累托准则和不相关选择的独立性，则其必定满足弱独裁性。⑥
阿罗不可能定理Ⅰ表明，在无限制定义域下，不存在同时满足弱帕累托准则、不相关选择的独立性和非独裁性的理性社会选择规则。这意味着关于收入分配问题的研究必然会面临社会选择上的难题。为了避免这一难题，我们必须放松阿罗定理中的某些条件(尽管这些条件看起来都已经非常弱了)。
现在考虑第Ⅲ类社会福利泛函。阿罗不可能定理Ⅰ是一个纯序数主义的结论，而考虑第Ⅲ类社会福利泛函则可进一步考虑个体偏好以及社会偏好的某些基数性质，这或许会改变阿罗不可能定理的结论。遗憾的是，如果我们对于个体效用施加严格的(序数或基数)人际不可比假设，上述各种性质和结论在第Ⅲ类社会福利泛函下几乎同样成立。在满足弱帕累托原则、不相关选择的独立性、弱独裁性、序数不可比性和基数不可比性等条件下，可得到如下结论：
阿罗不可能定理Ⅱ(Sen，1970；D'Aspremout & Gevers，1977)：如果社会福利泛函满足弱帕累托准则、不相关选择的独立性和序数不可比性(或基数不可比性)，则其必定满足弱独裁性。
(三)标准福利主义视角下的收入分配评价
由阿罗与森等人所建立的社会福利泛函框架与传统的柏格森—萨缪尔森社会福利函数在形式上有着巨大的差异。从效用函数的定义可知，定义在收入分配空间X上所有可能的效用函数取值即为整个非负实数空间
。可设一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数
即为一个从个体效用组合的取值空间对应到社会效用取值空间的函数。值得注意的是，尽管阿罗不可能定理从一开始就引起了关于社会福利函数形式与内涵的巨大争议，但事实上其与柏格森—萨缪尔森社会福利函数之间存在着非常密切的联系；或者说，在一定的条件下，可以证明二者是等价的。导致这一结论的关键条件是如下所谓的帕累托无差异准则。
也就是说，若所有人认为收入分配a与b无差异，则社会应当认为a与b无差异。
简单地说，功利主义认为社会福利即为个体效用的算术平均，纳什社会福利函数认为社会福利即为个体效用的几何平均，而罗尔斯主义则认为社会福利取决于处境最差者的个体效用水平。但是，这三种社会福利函数都不满足(序数和基数)人际不可比性。⑦为了避免阿罗不可能定理的结论，一种非常自然的方法就是放松人际不可比性假设，类似地可建立基数单位可比性、比率不可比性和序数可比性等。而对于柏格森—萨缪尔森社会福利函数而言，弱帕累托准则转化为如下形式：
对于社会成员之间的对称性而言，弱独裁性是一个非常弱的条件，更为自然的一个对称性假设是匿名性，即对于个体效用的任意重新排列不会改变社会偏好。于是可得到如下结论：
定理1(Millor，1954; D'Aspremout & Gevers，1977)：一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数是功利主义当且仅当其满足弱帕累托准则**、基数单位可比性和匿名性。
功利主义满足基数单位可比性，罗尔斯主义满足序数可比性，纳什社会福利函数满足比率不可比性，且三者都满足弱帕累托准则和匿名性。但是，功利主义不满足最低正义条件。直观地说，最低正义要求在任何时候，社会都应当避免让任何一个社会成员陷入最糟糕的境地。利用最低正义条件，可得到如下结论：
定理2(欧阳葵和王国成，2013a，2013b)：一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数是纳什社会福利函数当且仅当其满足弱帕累托准则**、比率不可比性、匿名性和最低正义。
定理3(欧阳葵和王国成，2013a，2013b)：一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数是罗尔斯主义当且仅当其满足弱帕累托准则**、序数可比性、匿名性和最低正义。
三、收入不平等的度量
(一)收入不平等度量的公理化特征
(二)收入不平等度量的AKS指数
除了上述公理化方法外，一个更为现代的处理方式是从社会福利的角度来度量不平等，即所谓的AKS不平等指数。考虑一个所谓的AKS社会福利函数
阿金森指数的上述构建过程提供了一个非常重要的视角：社会福利函数与收入不平等度量之间存在着密切关系，一个合理的收入不平等指数应当可由一个合理的社会福利函数所构建出来。根据这一思路，森(Sen，1973)发现基尼系数也可转化为如下AKS形式：(11)
(三)简化型社会福利函数
社会福利往往取决于一个社会的总收入水平与其收入不平等之间的综合权衡(Dutta & Esteban，1992)：在相同的总收入水平下，收入不平等程度越低越好；而在相同的不平等程度下，总收入水平越高越好；但是，过于平等的分配可能造成社会激励不够、从而造成总收入水平的动态下降以及社会福利的下降。这种观点通常可以用如下简化型社会福利函数来分析(Champernowne & Cowell，1998)：给定一个不平等指数I：X→[0，1]和一个社会福利函数W：X→，一个简化型社会福利函数即为一个函数
使得对于任意
，
对于阿金森社会福利函数与阿金森不平等指数而言，其简化型社会福利函数可表示为：
但是，对于基尼系数等其他不平等指数而言，由于
的具体形式未知，我们无法直接按照上述方式写出它们所对应的简化型社会福利函数的显性表达式。
四、社会福利泛函视角下的AKS指数
(一)标准福利主义视角下的AKS指数
在传统的AKS社会福利函数中，个体效用并没有直接表达出来，故其所蕴含的个体效用与社会福利之间的关系并不明显。事实上，AKS指数亦可用社会福利泛函的方法来解释。考虑一个柏格森—萨缪尔森社会福利函数，假设其满足单调性和规范齐次性，于是，可得到如下结论：
定理4：如果社会福利泛函W：D→U(X)满足标准福利主义，其所对应的柏格森—萨缪尔森社会福利函数满足凹性、连续性、匿名性、单调性和规范齐次性，且对于任意u∈D，存在一个严格递增的、凹的代表性效用函数
，则必定存在一个相应的AKS不平等指数。
定理6：一个AKS指数满足阿金森分解原则当且仅当其为功利主义阿金森指数。
(三)纳什AKS指数
此外，罗尔斯主义AKS指数
满足罗尔斯主义分解原则，则可有如下结论：
定理10：一个AKS指数满足罗尔斯主义分解原则当且仅当其为罗尔斯主义AKS指数。
(二)个体异质性与广义AKS指数
在AKS指数中，我们假设存在一个代表性效用函数，这意味着个体差异仅仅取决于个体收入水平的差异。如果需要充分考虑个体异质性，就需要放松这一假设，从而提出所谓的广义AKS指数。于是，从序数的角度来看，一个不平等指数即为定义在X上的一个函数I：X→R，使得对于任意
表示收入分配x比收入分配y更加不平等，但是I的取值不必在0到1之间。对于任意两个不平等度量
，如果对于任意
，则称I与I'具有序数等价性；如果二者互为正仿射变换，即对于任意
，其中β＞0，则称I与I'具有基数等价性。例如，基尼系数与基尼系数的平方序数等价，而基尼系数与泰尔熵指数则不可能序数等价，更不可能基数等价。正是各种常见的不平等度量之间的不等价性导致了理论上的难题。
很明显，广义AKS指数
与标准化广义AKS指数
是序数等价的。在定理4中的标准假设下，个人效用函数仅仅取决于个人自己的收入水平、且存在一个代表性效用函数，此时Weymark函数即转化为EDEI函数，从而标准化广义AKS指数即转化为AKS指数，故从这个角度来看，AKS指数可视为广义AKS指数的特例。
需要指出的是，在异质性条件下，广义AKS指数不仅体现了收入的不平等，也体现了个体福利的不平等。因此，在异质性条件下，罗尔斯主义所直接关注的重点不是最低收入水平，而是处境最差者的收入水平。
六、一个比较分析实例：我国地区收入差距演变
在本节中，我们以地区收入差距为例，将基尼系数、泰尔熵指数、变异系数、功利主义阿金森(U-A)指数、纳什-阿金森(N-A)指数和罗尔斯主义AKS(R-AKS)指数等分别进行了测算以供比较分析。同时，我们也将各个指数所对应的如下简化型社会福利指数分别进行了测算：
测算结果如表2所示。从表2不难看出，各个指数测算结果都表明我国地区收入差距呈现长期扩大趋势。但是，各个指数的具体演变过程却不尽相同。例如，基尼系数、泰尔熵指数、变异系数、功利主义阿金森指数与纳什-阿金森指数的变化趋势几乎完全相同；但是，它们与罗尔斯主义AKS指数之间的差异却较为明显。各个指数测算结果之间的具体相关性可参见表3。此外，从表2也容易看出，各个指数关于我国地区收入差距演变趋势的社会福利评价结果几乎完全一致，即我国地区收入差距演变的社会福利基本上呈现长期上升的趋势；或者说，从长期来看，各地区收入增长的社会福利优势基本掩盖了各地区的收入不平等。
七、罗尔斯主义视角下的我国居民收入差距演变
(一)我国城镇居民收入差距及其社会福利评价
罗尔斯主义AKS指数意味着，在测算居民收入差距时只需计算出平均收入和最低收入水平即可。但是，单个的最低收入水平极不稳定，这会导致罗尔斯主义AKS指数的测算结果极不稳定。因此，在实践中较为可取的做法是利用某个固定比例的最低收入群体的平均收入水平代替最低收入水平。此处，以城镇居民收入差距为例，并分别以5%和10%的最低收入群体的平均收入水平代替最低收入水平，以此对罗尔斯主义AKS指数及其所对应的简化型社会福利进行测算。测算结果如图1所示。从图1可以看出，与2000年相比较，我国城镇居民收入差距在2002年大幅上升，之后一直稳定在较高位置，直到2005年之后有稍微下降的趋势。此外，除了2002年收入差距出现大幅度上升从而导致社会福利下降之外，从2002年开始，我国城镇居民收入水平的大幅度增长基本上掩盖了城镇居民收入不平等。
(二)我国农村居民收入差距及其社会福利评价
类似地，我们又以农村居民收入差距为例，并以20%的最低收入群体的平均收入水平代替最低收入水平(考虑到农民收入统计相对粗略)，以此对罗尔斯主义AKS指数及其所对应的简化型社会福利进行测算。测算结果如图2所示。从图2可以看出，与2000年相比较，我国农村居民收入差距呈现出长期上升的趋势。但是，除了2003年社会福利水平稍微下降之外，我国农村居民收入水平的大幅度增长基本上掩盖了农村居民收入不平等。
图1 我国城镇居民收入差距
注：原始数据来源于国家统计局(http://www.stats.gov.cn/)。城镇居民收入为根据居民消费价格指数调整(2000年=100)后的城镇居民人均可支配收入(元)。
图2 我国农村居民收入差距
注：原始数据来源于国家统计局(http://www.stats.gov.cn/)。农村居民收入为根据居民消费价格指数调整(2002年=100)后的农村居民家庭人均纯收入(元)。
本文的研究比较结果表明，我国城市居民收入差距在2005年至2011年间有稍微下降的趋势，而农村居民收入差距在2002年至2011年间一直处于上升趋势。这一结论的前半部分可能与某些流行的观点有所不同(李实、罗楚亮，2011)。因为，根据罗尔斯主义，收入差距研究的重点不应当是低收入群体与高收入群体之间的对比，而是低收入群体与中间收入群体之间的对比。“大多数人的经验直觉”可能都是以对富人群体的观察为基础的；然而，从某种意义上讲，一个普通居民总是将自己的收入水平与一个社会的高收入群体对比，其意义无论是在伦理上还是在统计上都可能是极为有限的。
本文所提出的罗尔斯主义AKS指数基于所谓的达尔顿-阿金森传统，其在多个方面都不同于流行的基尼系数。众所周知，基尼系数在理论方法上有明显局限，在实际应用中，基尼系数的估计值对于富人群体的观察值比较敏感(富人群体收入数据的误差常常较大)，并且同一数量的收入转移到样本众数附近比转移到收入底层所带来的不平等下降程度更大。尽管拥有这些缺点，这一古老的指数却依然是收入分配研究中最频繁使用的不平等度量方法。科威尔认为，这可能是因为收入差距研究领域中存在着严重的“文化惰性”，也可能是因为由洛伦茨曲线所导出的基尼系数具有很好的几何直观性(Cowell，2000)。
罗尔斯主义AKS指数具有良好的可分解性，其所对应的罗尔斯主义社会福利函数具有深厚的伦理学与哲学背景(Rawls，1970)。在实际应用中，罗尔斯主义AKS指数相对容易估计，其对于富人群体的观察值也不那么敏感。根据罗尔斯主义，收入分配的社会福利水平取决于最低收入群体的福利水平，收入不平等的程度则取决于最低收入群体的收入水平与社会平均收入水平之比，这在直觉上也是非常容易理解的。最后，我们也可以明确地回答本文导论中所提出的那三个问题：第一，如果要求社会选择规则满足弱帕累托准则、序数可比性、匿名性和最低正义，那么社会偏好就必须用罗尔斯主义来表示；第二，在罗尔斯主义视角下，收入不平等的程度即可用罗尔斯主义AKS指数来度量；第三，在既定的社会总资源条件下，最优的收入分配就是指最有利于提高处境最差者的福利水平的收入分配，其所对应的罗尔斯主义AKS指数值即为最优的收入不平等程度。
①任何满足比例不变性、达尔顿转换原则和可分解原则的连续性不平等度量都必然与某个广义熵指数(序数)等价(Bourguignon，1979；Cowell，1980；Shorrocks，1984；Russell，1985；Foster & Shneyerov，2000)。
②大量的经验证据表明，收入水平与收入不平等的程度会通过极为复杂的方式(并不是简单的线性、单调关系)来影响人们的生活满意度，从而影响社会福利水平(Easterlin，2001；Ball & Chernova，2008；Clark et al.，2008；Pouwels et al.，2008；Verme，2011)。
③如果将收入分配视为一个n维随机向量，那么收入分配向量空间X即可视为该随机向量的取值空间。也就是说，收入分配向量空间X中的一个收入分配向量x即为该随机向量的一个实现值。
④对于任意集合A，设｜A｜表示集合A所包含元素的个数。此处仅讨论总人口有限情形下的收入分布。很明显，在非负象限假设下，若x＜0，则F(x)=0。
⑤如果一个社会福利泛函的定义域为O(X)n或U(X)n，则称该社会福利泛函具有无限制的定义域；更一般地，如果一个社会福利泛函的定义域为O(X)n或U(X)n的一个子集，则称社会福利泛函具有受限制的定义域。
⑥关于阿罗不可能定理，文献中已经有大量的证明。较为新近的证明可参考Geanakoplos(2005)、Miller(2009)、Cato(2010)、Yu(2012)、欧阳葵和王国成(2013b)等。
⑦在适当的处理下，纳什社会福利函数可满足基数不可比性(但却不再满足不相关选择的独立性)。可参见欧阳葵和王国成(2013b)。
⑧若一个矩阵
，则称S为一个双随机矩阵。性质(ii)常被称为随机凹性。请注意，S将收入分配向量x转换成一个新的n维向量xS，其与x有着相同的平均收入水平；此变换使得收入分配变得更“平均”了。因此，直观地说，随机凹性意味着这样一种使得收入分配更“平均”的变换会提高社会福利。
⑨当然，若
。
⑩直观上，此处的参数β体现了对于不平等的厌恶程度：β的值越低，对于不平等的厌恶程度越高。
(11)关于基尼系数所对应的其他形式的社会福利函数，可参见Sheshinski(1972)等。
(12)作者对本文中的所有定理、各类福利函数的定义及属性等都有严谨、详细的和逻辑一致的表述与推证，限于篇幅，仅保留最为核心的定理4的精简证明。对其他的数理证明感兴趣者，可参见作者的学术专著(欧阳葵和王国成，2013b)。
(13)当然，若
。