刘敏[1]2002年在《环上模子范畴间的等价与对偶》文中指出本文主要讨论了叁个内容： 1 给出了模子范畴间等价、对偶的特征。同时，引入了co-self-small模的概念给出了投射模范畴与内射模范畴间存在一个对偶的等价刻划，并且，我们给出了投射模范畴与内射模范畴间的对偶与Cogen(U_R)与Cogen(_AU)间的对偶间的关系。特别地，在Noether情形下，给出了余-*-模的一些刻划。 2 建立了π-凝聚环上有限生成无挠模范畴的Tilting定理及相关的广义Morita对偶。建立了与Colby有关Noether环的一系列平行的结果。 3 引入了π-凝聚环上的余*-模和余tilting模的概念。得到了余*-模的叁个刻划，并且利用余*-模给出了π-凝聚环上余tilting模的特征性质，从而推广了[8]中的结果。
刘敏, 朱浸华[2]2006年在《模子范畴间的对偶》文中进行了进一步梳理针对模论中两类重要的模子范畴:投射模范畴与内射模范畴,以及模论中两个重要的概念:sm all模和self-sm all模,对偶地引入了co-sm all模和co-self-sm all模的概念,给出了这两类范畴间对偶的等价刻画,特别地,给出了在Noether情形下余-*-模的刻画.
邢建民[3]2007年在《几类特殊的模，子范畴和余代数》文中认为Tilting理论在上世纪八十年代由Brenner，Butler[5]，Happel和Ringel[6]等在研究Artin代数的有限生成模时提出。因此在代数表示论的发展中起到了重要的作用。并由此衍生出了wakamatsu tilting模，*-模，和*~n-模等。在[1]中Idun Reiten给出了wakamatsu tilting模的性质。在[25]中魏加群讨论了环扩张上的n-star模。在[7]中，Robin Haetshorne研究了coherent函子以及性质。在[8]，[9]，和[10]中，Robert Wisbauer介绍了R模范畴的子范畴σ[M]，并给出了σ[M]关于扩张闭的等价条件。在[11]中，J．den Berg和P．Wisbauer讨论了其遗传pretorsion classes关于直积闭的模类的性质。在[12]中，Lixin Mao和Nanqing Ding介绍了相对copure内射和平坦模并考虑了他们的等价定义和性质。In[20]，作为群的推广，李方给出了余代数上的Green等价的定义并介绍了一些性质。为了丰富Tlting理论及更加完善上述子范畴及相对模理论。作为上述问题的进一步研究。本论文主要研究了五个方面的问题。第二章研究了wakamatsu Tilting cotorsion pair，环同态上的costar模，co-*~n-模的性质和n-coherent函子。第叁章研究了子范畴π[M]的性质；第四章研究了几类相对模的性质，包括copure投射模，n-cotorsion模和强cotorsion模，并讨论了这些模与相应的cover和envelopen的关系。以及一个环的弱整体维数与Tor-torsion pair的关系；第五章定义了π-余代数上的Green等价并研究了与其余代数张量积上的Green等价的关系。对于tilting模T，Trlifj在[2]中定义了tlilting cotorsion pair C=(A，B)并找到了A，B与其kenel之间紧密地关系。在第二章第一节中，我们把这个结果推广到wakamatsu tilting模上。定义了wakamatsu tilting cotorsion pair并找到了类似的关系。结果如下设Λ为Artin代数，T为wakamatsu tilting模。定义Gen~*T为所有的满足下列正合列的Λ-模N其中T_i∈AddT且Ext~1(T，kerf_i)=0，i∈N。我们定义χ_Υ=T~⊥∩Gen~*T。定理2．1．3设T∈ModΛ是wakamatsu tilting模，则(a)(~⊥χ_T，χ_T)是完备的cotorsion pair且其kernel为Add T。(b)~⊥χ_T和满足下列条件的模类一致。其中的元素M满足正合列0→M(?)T_0(?)T_1→…其中T_i∈AddT，cokerf_i∈~⊥χ_T。(c)存在正合列0(?)Λ(?)T_0(?)T_1(?)…，其中T_i∈AddT，K_i=cokerf_i∈~⊥T且对任意的i，f_i是极小的左Add T-逼近。设S={K_i|i∈N}∪{T}。则χ_T和所有的S-filtered模的直和项的模类一致。(d)χ_T和满足下列条件的模类一致。其中的元素N满足正合列…→T_1(?)T_0(?)N→0其中T_i∈AddT，kerg_i∈χ_T．在[3]中作者定义了costar模并给出了一些性质；在[4]中作者研究了环扩张上的n-star模．作为这两篇文章的启发，在本文第二章第二节中研究了环扩张上的costar模和co-*~n-模．主要结果如下：定理2．2．3设ξ：A→R是环同态，若_AU是costar左A-模且Hom_A(_AR_A，_AU)∈Cogen_AU，则Hom_A(_AR_R，_AU)为costar左R-模。定理2．2．7设ξ：A→R是环同态，若_AU是左A-co-*~n—模且Hom_A(_AR_A，_AU))∈Cogen_AU．则Hom_A(_AR_R，_AU)是左R-co-*~n—模．在第二章第叁节中，作为[7]中coherent函子的推广，我们定义了n-coherent函子，并研究了一些性质．设R是环，R-mod为所有的有限生成模．定义2．3．2．F∈F称为有限生成的，如果存在一个正合列h_M→F→0，(?)M∈R-mod．F称为n-coherent若存在正合列h_(M_n)→h_(M_(n-1))→…→h_(M_1)→h_(M_0)→F→0其中M_i∈R-mod，i=0…n．定理2．3．3．(a)设n=3k+1，k∈Z，F和G是n-coherent函子．即存在下列正合列h_(M_n)→h_(M_(n-1))→…→h_(M_1)→h_(M_0)→F→0h_(A_n)→h_(A_(n-1))→…→h_(A_1)→h_(A_0)→G→0for some M_i，A∈R-mod，i=0…n．如果F(?)G是n-coherent函子间的同态，且满足对任意i=3k+2，0≤i≤n，k∈N都有h_(M_i)(?)h_(A_i)．则coker f也是n-coherent函子．(b)若0→F→G→H→0是函子正合列，其中F，H是n-coherent函子，则G也是n-coherent函子．第叁章第一节我们找到了π[M]关于扩张闭的等价条件．定理3．1．7对U∈π[M]，下列结论等价．(a)π[U]在π[M]中关于扩张闭．(b)每个π[M]中满足正合列U~Λ→N→U~Λ(Λ为集合)的模N都在π[U]中．第叁章第二节，我们研究了与π[M]中关于直和闭的余遗传的pretorsionfree类的模的性质．主要结果如下R-Mod中的非空类F称为余遗传pretorsionfree类，若F关于直积和同态像闭．如果对π[M]中任意的余遗传的pretorsionfree类F，任意{N_i|i∈Γ)(?)F都满足(?)~(π[M])N_i=Tr((?)N_i，F)∈F．则称M∈R-Mod是直和闭的．定理2．3．4若左R-模M是直和闭，则π[M]的每个生成子都是π[M]地弱子生成子．定理3．2．5设M是左R-模且在π[M]中内射，且M存在单子模K．则K在π[K]中内射．定理3．2．6设M是左R-模，若F是π[M]中的M-codominated余遗传的pretorsionfree类，则F是可由M的所有F-torsionfree子模类弱子生成．第四章第一节，定义了相对copure投射模并给出了其等价定义，并研究了一些性质．主要结果如下：定义4．1．1．设R为环，n是固定正整数，P_n是投射维数小于等于n的左R-模类．左R-类M称为n-copure投射模，若对任意N∈P_n都满足Ext~1(M，N)=0．定理4．1．4设R是环．则对左R-模M下列等价：(1)M是n-copure投射模．(2)对任意的正和列0→K→P→M→0，其中P∈P_n，K→P是K的P_n-preenvelope．(3)M是左R-模A得P_n-preenvelope f：A→B的cokernel，其中B是投射的．(4)任意满足A∈P_n的正合列0→A→B→C→0在函子Hom(M，-)作用下保持正合．设I为所有的内射模的集合，则有下面的结果．定理4．1．12．设R是环且sup{pdE|E∈I}≤n，n≥1．若M是(n-1)-copure投射左R-模，则存在正合列0→M→P→K→0，其中P是投射模，K是n-copure投射模．第四章第二节讨论了n-cotorsion模和强cotorsion模以及相对应的cover和envelope；设n是正整数，定义F为所有平坦左R-模类，F_n为所有平坦维数小于等于n的左R-模类，F~(＜∞)为所有有限平坦维数的左R-模类．定义4．2．1左R-模M称为n-cotorsion模，若对任意X∈F_n，满足Ext~1(X，M)=0；左R-模C称为强cotorsion模；若对任意X∈F~(＜∞)，满足Ext~1(X，C)=0．主要定理为：定理4．2．4若环R为IF环，则对任意左R-模M，下列等价：(1)M是n-cotorsion模．(2)对任意正合列0→M→F→L→0，其中F∈F_n．则F→L是L的F_n-precover．(3)M是F_n-precover f：A→B的kenel，其中A是内射模．(4)对任意正合列0→A→B→C→0，其中C∈F_n，Hom(-，M)是正合函子．定理4．2．15若环R满足条件：(*)对任意左R-模N，存在正整数n满足Ω~n(N)~*是强cotorsion模．则每个左R-模存在强cotorsion envelope当且仅当每个左R-模存在F~(＜∞)-cover．在[16]中，X．jinzhong研究了cotorsion模的性质并证明了任意R模都有cotorsion envelope．对偶的，在第四章的第叁节，我们研究了对于什么样的环满足~⊥F和~⊥P是precover class，其中F和P分别表示所有平坦模和投射模类．主要结果如下：定理4．3．4设R是交换的凝聚IF环，且wgldim R≤2，则每个左R-模都有~⊥F-precover．定理4．3．5若R满足1)(~⊥P)~⊥=P2)每个左R-模都有单的投射envelope．则每个左R模都有~⊥P-precover．第四章第四节介绍了环R的弱维数与其Tor-torsion pair之间的关系．定义4．4．1设R是环，F是R-模类，C是左R-模类．我们称(F，C)是一个Tor-torsion pair，如果对任意的右R-模F，F∈F当且仅当对任意的C∈C满足Tor_1~R(F，C)=0；，类似的对任意的左R-模C，C∈C当且仅当对任意的F∈F都满足Tor_1~R(F，C)=0。设(F，C)是R-模的一个Tor-torsion pair，n=sup{flat dimF|F∈F}；p=sup{flat dimC|C∈C}．m和l分别是R的左和右弱整体维数．(有可能m，l=∞)．定理4．4．6设(F，C)是R-模的Tor-torsion pair．且若m，l，n，p如本上所定义，则max{m，l)≤n+p．第五章，我们定义了π-余代数的Green等价，并研究了其与π-余代数的张量积，余理想，同态之间Green等价的关系．设C=({C_α}_(α∈π)，Δ，ε)是π-余代数，C~*={(C_α~*)，m，μ)是C得对偶．定义C~*在C上的作用→和←分别为：对任意α，β∈π，c_β~*∈C_β~*，c_α∈C_α．对任意c∈C，C_β~*→C，c←C_β~*；C_β~*→c←C_β~*是右余理想，左余理想和理想，分别定义为[c＞_β，＜c]_β＜c＞_β定义5．5设C=({C_α}_α∈π，Δ，ε)是π-余代数，定义C得Green等价如下，对任意c，d∈C_α引理5．12设E是C的π-子余代数，则E的每个Green类都是C的Green类。定理5．16设C，D为π-余代数，c_1，c_2∈C_α，d_1，d_2∈D_α．则(c_1(?)d_1)J(c_2(?)d_2)(?)c_1Jc_2和d_1Jd_2定理5．24设φ：C→D是π-余代数同态，若对任意的α∈C_β满足＜α＞_β=φ~(-1)＜φ(α)＞_β(＜α]_β=φ~(-1)＜φ(α)]_β，[α＞_β=φ~(-1)[φ(α)＞_β．则φ是J-提升((?)-提升，R-提升)．
吴学谋[4]2008年在《泛系方法论与百维泛网——Hilbert第6/23问题的变解》文中指出论述方法论的来来去去,从笛卡儿的多学科.跨学科网联性探索、恩格斯的转化观与辩证综合、Hilbert问题、爱因斯坦的世界观与认识论论到泛系方法论。林林总总的理法或明或暗地统驭或归寓于泛系变分运筹和泛系之道.泛极之道。具体阐述泛系化扬弃扩变的方法论的八大特点、泛系百域和泛系递归,讨论了它们和泛系理性、泛系模式的关系以及泛系论理法50多种泛系化扬弃扩变,具体建构了百科千题理法网络性的百维泛网平台,研究了Hilbert第6/23问题和Walsh猜想的泛系变解以及Banach-Taylor-Jackson定理的泛系化扬弃扩变,它们统驭或归寓于泛系变分原理的特化诠释——泛系变分运筹相对论R***∥D*0*symmetry*0**COR**R**Q**,另外有120多种多变少变的泛系辩证,它们充实了泛系变分原理,对特化诠释的泛系变分运筹展开新的研究,再次是论述了泛系网络博弈和Bellman动态规划原理的泛系化扬弃扩变。泛系论本身可以看成是百科千题理法的泛系化扬弃扩变的综合集成。本文二百多理法均可统驭或归寓于泛系变分运筹相对论的特化展开。
王飞飞[5]2014年在《乘法模的Kothe根》文中研究表明如果对于模RM的任意子模N,均存在R中的理想I,使得N=IM,则称M为乘法模.乘法模是一类“年轻”的模类,它是由A. Barnad于1981年定义的.1988年,Z.A.El-Bast和P. F. Smith对其进行充分刻画以后,乘法模就被广泛地研究,成为当今国际上研究的热点之一.迄今为止,关于乘法模主要有叁个研究方向：1.乘法模的子模；2.乘法模的推广和对偶；3.乘法模的自同态.本文受上述第一和第叁两个研究方向所取得的学术成果的启发下,主要讨论了乘法模子模的幂零性,定义了乘法模新的根一一Kothe根,为乘法模的研究提供了新的根理论.并通过研究乘法模的自同态,讨论了乘法模与Hopf模和余Hop模的关系.论文主要分为以下叁部分：第一部分,列举了一些定义、术语和已知结论.第二部分,首先利用乘法模子模的积,定义了乘法模的幂零和诣零子模,并将环的有关幂零和诣零理想的相关结论推广到乘法模.接着,利用幂零和诣零子模定义了乘法模的Kothe根,并对其进行了充分的刻画,证明了乘法模的Kothe根、所有诣零子模的和以及所有素子模的交叁者的等价性.最后,利用Kothe根定义了Kothe半单模和根模,给出了乘法模分别成为Kothe半单模和根模的条件,并讨论了这两类模的相关性质.第叁部分,首先讨论了一般的非交换环上有限生成模自同态环的结构,得到了有限生成模的自同态环是基环上矩阵环的子环的同态像.接着,研究了有限生成乘法模自同态环的结构.最后,讨论了乘法模与Hopf模和余Hopf模的关系.
参考文献：
[1]. 环上模子范畴间的等价与对偶[D]. 刘敏. 西南交通大学. 2002
[2]. 模子范畴间的对偶[J]. 刘敏, 朱浸华. 四川师范大学学报(自然科学版). 2006
[3]. 几类特殊的模，子范畴和余代数[D]. 邢建民. 山东大学. 2007
[4]. 泛系方法论与百维泛网——Hilbert第6/23问题的变解[J]. 吴学谋. 计算机与数字工程. 2008
[5]. 乘法模的Kothe根[D]. 王飞飞. 浙江师范大学. 2014