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中图分类号 B 025.5
文献标识码 A
20世纪70年代中期兴起了全球范围的“浑沌”研究热，淘金者主要是数学家、力学家、物理学家、化学家、生态学家、天文学家、心脏病学家及工程师等，相关科学研究论著大量出版，到90年代后期发展趋势减缓，或者可以说是由爆发式发展转为平稳式发展。取而代之的是“复杂性”研究。
浑沌研究与复杂性研究有交叠的部分，也有先后的关系。最近我在网络刊物《复杂性研究文摘》(Comdig,www.comdig.org)上简单地搜索了一下几个关键主题出现的频率（单位为次）：浑沌58，分形24，孤子3，复杂性95，主体(agent)61，复杂适应系统(CAS)11，自组织临界性(SOC)4，等等。这说明当前浑沌研究还比较热，但已经不如复杂性热。当然，这是极粗糙的比较，换一种范围搜索可能得出不尽相同的结果。从个人接触的文献看，浑沌主题仍然倍受关注，但已经很少有新鲜观点出笼。研究的方向也趋向于半经典量子浑沌。现在处于“革命之后”。这只是一种个人印象，不知是否正确。
从80年代中期开始，非线性科学研究发生了几方面变化。1)圣菲研究所成立并顺利运行，影响很大。2)数理领域的非线性研究向社会科学甚至人文学科渗透。3)系统的自组织与层次问题越来越受到重视。4)由于难度极大，具有普适性的硬结果不多，遗传算法及CAS概念等是少有的具有重要意义的概念。5)多学科交叉仍然是非线性科学研究的突出特点，但数理部分仍然是基础，基础没有大的突破，整个领域便不会有大的进展。6)计算机模拟更显重要。
本文简要回顾一下浑沌概念，并与复杂性研究相比较，看浑沌到底有多复杂。要指出的是，现在关于复杂性没有合适的定义，我的比较也只能是相当随意的。
1 浑沌的定义
浑沌有许多定义，本质上也差不多，但至今仍然没有完全一致的意见。
一种简单的描述性定义为：确定性系统中出现的一种类似随机的行为（性态）。这里关于“类似随机性”还有模糊之处。不过由这个定义人们区分了内禀随机性与外随机性概念，有启示意义。沿柯尔莫哥洛夫、蔡汀等人的道路，从算法角度定义随机性（及复杂性）似乎很有前途。
第二种定义是李天岩和约克当年在《美国数学月刊》的《周期三蕴涵浑沌》一文中给出的。核心思想是：浑沌系统中邻近轨道可以相互接近又可以远离，在极限过程中，接近的程度可以是距离差的下极限为零，远离的程度可以为距离差的上极限大于零。这个定义是就一维映射提出的，后有人向高维推广。
第三种定义是迪万内(Devaney R L 1948-)给出的。设F是I上的一个映射，若1)F对初始条件具有敏感依赖性；2)F是拓扑传递的；3)周期点在I中稠密，则F在I上是浑沌的。这三条都有明确的数学含义。拓扑传递性是指动力系统不能分解为映射作用下不变的、非交的开子集，状态点从任意小的邻域出发，在映射的作用下最终可以到达其它任何邻域。这三条性质，按迪万内的说法，分别相当于说：1)不可预测性；2)不可分解性；3)规则性。
还有其他许多可行的定义。我们给出另一种描述性的定义：确定性系统生成的有界的回复性的非周期运动。“回复性”(recurrent)是数学动力系统中的一个概念，早年伯克霍夫对此有专门的长篇论文。我们特别区分浑沌运动与浑沌系统是不同的概念，浑沌系统中可以同时包含浑沌运动与周期运动。
2 浑沌运动的一般特征
数量特征可以在一般特征当中涉及。1994年我的博士论文将浑沌的一般特征概括为五个方面来描述，现在看来仍然是对的。这五个方面是：
2.1 确定性 严格说物理世界中不存在完全确定性的东西。但作为严格的数理研究，特别是要区分出浑沌这种特殊的运动类型，至少在开始阶段必须有确定性这一条限制。理由不是三言两语能够说清楚的。
2.2 非线性 非线性是出现浑沌的必要条件，但绝对不是充分条件。
2.3 对初始条件的敏感依赖性 这一条与非线性有关，也有明确的数量要求，可参照辛格和古根海姆的论文，这里省略不提。
2.4 非周期性 浑沌系统可以有大量甚至无穷多周期轨道，但必须有非周期轨道，否则就不存在浑沌。
2.5 某种稳定性与有界性 这一条件较含混，但也非常重要，特别是对于物理系统。关于稳定性，动力系统理论、控制理论、一般系统理论等都有深入研究和分类。主要有动态稳定性和结构稳定性两大类。两类均与浑沌有关。动态稳定性是就状态的演化过程而言的，结构稳定性是就系统的函数扰动而言的。
3 浑沌有多复杂？
因为人们对复杂性有不同的理解，浑沌有多复杂就不会有一个明确的答案。但只要限定了条件，其复杂程度是能够相对说清楚的。我从两个角度讲。
3.1 从动力系统的轨道拓扑类型上看，浑沌运动是继不动点、极限环、极限环面之后另一个定态类型，可以叫奇怪吸引子（在保守系统中可类比称作含混吸引子，因为保守系统中相体积守恒，原则上不存在吸引子）。这之后还有没有新的定态拓扑类型？不知道。数学上没有相应的结论性工作。所以，在这种意义上，浑沌是已知的最复杂的运动类型。但除了这个限定，一切都不好说了。
3.2 放在一般系统或者生命、社会复杂系统演化的论题下考虑，浑沌运动的地位要打折扣。在这样的论题下，原来用数理方法勾勒的浑沌概念显得太“干净”、太理想化。换种说法也可以说是太“简单”，单纯用浑沌不足以说明复杂系统的复杂演化与组织过程。特别是，在现实中很难真正识别出浑沌，因为浑沌运动要求足够长的时间过程才能判别出来。在实践中，长周期与非周期不好区分。总之，在复杂性研究中，浑沌研究是一个重要的基础，但离解决实际问题还有大量工作要做，还必须发明更多的新方法。
在复杂系统研究中，特别是涉及生命和社会复杂系统，定性的描述方法是非常必要的，也是可行的。基于主体的建模(ABM)、遗传算法(GA)、回声模型(ECHO)等都比浑沌模型更有用。
现在需要对浑沌研究的结论作一点补充评论：浑沌过程基本上是一种时间演化序列，不涉及空间模式。但长期的研究（庞加莱、阿达马、伯克霍夫、莫尔斯、莱温松、阿诺德、斯美尔等）取得了认识上的巨大进步。仅仅确立存在着那么一种运动类型，就是人类认识史上伟大的成就。至于这一成就能否解决更多的现实问题，那是另一回事。实在比人们早先想像的更复杂，实在总是逃避人们的捕捉。模型是鱼网，但实在中总有漏网之鱼。我们并不晓得实在之鱼是什么样，只是根据过去的经验去猜测。要捕到不同的鱼，就需要多种不同的网，既要缩小网眼，也要改变网的结构。
4 浑沌复杂性的哲学考虑
这涉及浑沌与操作性因果律及休谟问题的关系。我在《休谟问题组与浑沌理论》中作了一些阐述，但还没有把它与维也纳学派的科学哲学联系起来。这里就谈一下浑沌运动与休谟(Hume David,1711-1776)当年的表述以及费格尔的表述之间的关系。据我所知，这种对比从没有人做过。我曾与一个加拿大科学哲学家谈起过，他没听懂，说是第一次听说。
休谟对“原因”的定义为："we may define a cause to be an o-bject followed by another,and where all the objects,similar to the first,are followed.by objects similar to the second.(p.87)译成汉语就是：“我们可把原因定义为，被另一事件所跟随的事件，其中所有与前件类似的事件，后面都跟着类似的事件。”但是休谟又说："I have found that such an object has always been attended wi-th such an effect"与"I foresee that other objects which are in appearance similar will be attended with similar effects"(p.48)译成汉语，他说，“我发现此一事件总是被这样一个结果所伴随”，与“我预测外表相似的其它事件将要被类似的结果所伴随”，这两个陈述之间缺少必然联系。
休谟说的对不对？非常正确，非常有远见。但长期以来人们只注重其论证的逻辑性质，而没有注意其经验内容。非线性科学的发展正好提供了休谟论证的一个经验例证，而且是强有力的。当我们由过去的经验知道A就有B时，令δ代表小量，那么能否由A+δA就推出B+δB呢？过去人们想当然认为只要δ足够小，这种推断就没问题。但休谟质疑了这种推断，他不愧为一个严谨的科学哲学家。浑沌理论表明，休谟是正确的，上述推断的反例是大量存在的。
我们再看休谟之后自称继承了休谟传统的逻辑经验主义哲学家之一费格尔(Feigl Herbert,1902-1988)。费格尔说："A causes B"or"A is the cause of B"means that wherever and whenever A occurs it is followed(or attended)by B.Since a precise repetition of A may not be feasible(or discoverable),a less stringent formula-tion would use something like a mathematical limit process:The more the actual condition A′ approximates the conceived(ide-al)condition A,the more actual effect B′ will approximate the (ideal) effect B.汉语意思为：“A引起B”或者“A是B的原因”意味着，B总是跟随A。由于精确重复A不可能或者不可察觉，就要用到一种不太严格的类似数学极限过程的形式：实际条件A′越趋近于给定理想条件A，实际的结果B′就将越趋近于理想的结果B。
费格尔的表述隐含了一个单调的极限关系，这有什么根据吗？没有。极限可能根本不存在！如上极限大于零下极限等于零的情况。如果极限根本不存在，费格尔对因果性的定义就不成功。在这一点上，他比休谟要倒退。
如果因果律其中一条意味着：同因同果（因果性有许多复杂的内涵，这里无意揭示其全部含义，只就其中一点进行讨论）。那么这谁也不反驳了。如果把因果律作操作化理解：近似的原因产生近似的结果，或者充分近似的原因产生充分近似的结果，那么这就有问题。浑沌运动违反操作性因果律。如果说因果律根本不包含这层意思，那么是另一回事。
我认为，这是浑沌引起的最重要的一个哲学问题，可惜别人竟然没有提到，更不用说深入讨论了。
收稿日期：2001-01-20
标签：休谟论文;