时变风险厌恶下的期权定价
——基于上证50ETF期权的实证研究
吴鑫育1，2，赵 凯1，李心丹2，马超群3
(1．安徽财经大学金融学院，安徽 蚌埠 233030；2．南京大学工程管理学院，江苏 南京 210093；3. 湖南大学工商管理学院，湖南 长沙 410082)
摘 要： 传统的随机波动率(SV)期权定价是在投资者具有常数风险偏好假设下进行的. 但近年来越来越多的研究表明, 市场参与者具有时变风险厌恶特征. 基于此, 本文对时变风险厌恶条件下的期权定价问题进行深入研究. 首先, 对传统的(非仿射)常数风险厌恶SV(CRA-SV)期权定价模型进行扩展, 构建时变风险厌恶SV(TVRA-SV)期权定价模型对期权进行定价, 并分析时变风险厌恶对期权价格的影响; 其次, 采用标的资产与期权数据信息, 建立基于连续粒子滤波的极大似然估计方法, 对定价模型的客观与风险中性参数进行联合估计; 最后, 采用我国期权市场上的上证50ETF期权数据, 对构建的定价模型进行实证检验. 结果表明: TVRA-SV期权定价模型相比传统的CRA-SV期权定价模型具有更好的数据拟合效果, 能够更充分地刻画标的上证50ETF收益率在客观与风险中性测度下的波动性; TVRA-SV期权定价模型相比传统的Black-Scholes(B-S)期权定价模型和CRA-SV期权定价模型都具有明显更高的定价精确性。
关键词： 期权定价; 时变风险厌恶; 双因子非仿射随机波动率; 上证50ETF期权; 连续粒子滤波
1 引言
随着我国金融市场的快速发展, 越来越多的金融衍生产品得以推出, 例如权证、外汇期权和可转换债券等等。特别地, 2015年2月9日, 我国首支股票期权——上证50ETF期权正式推出, 标志着我国资本市场正式迎来“期权时代”, 这对于发展和完善我国金融衍生产品市场具有划时代的意义。最近, 2017年3月31日, 我国首个商品期权产品——豆粕期权又在大连商品交易所正式挂牌交易, 填补了我国商品期权的空白。另外, 中国金融期货交易所于2013年11月8日正式开展了沪深300股指期权仿真交易, 上海证券交易所也于2013年12月26日正式全面启动了个股期权全真模拟交易, 这些期权的推出也已是大势所趋, 必将对我国金融市场产生重大影响。因此, 合理地为这些复杂金融衍生产品进行定价显得日趋重要, 也是我国发展金融衍生产品、规避风险、稳定金融市场的必经之路。
A total of 160 male Sprague Dawley rats[8 weeks old and weighing 260-280 g;Beijing SCXK Laboratory Animal Co.,Ltd.(Beijing,China)]were used in this study.
期权定价中的一个关键问题是关于标的资产价格动态性的准确描述。传统的期权定价问题往往采用Black-Scholes(B-S)期权定价模型加以处理[1]。然而, B-S期权定价模型中标的资产收益率服从正态分布且波动率是常数的假设与经验特征事实往往不相符, 不能解释“波动率微笑”(Volatility smile)和“杠杆效应”(Leverage effect)。由于B-S期权定价模型严格的假设与现实存在较大的差距, 因此, 学者们围绕着如何放宽假设条件对传统的B-S期权定价模型加以修正和拓展, 寻找更符合实际的标的资产价格动态模型——随机波动率(Stochastic volatility, SV)模型, 已取得了丰富的研究成果[2-3]。在众多的SV模型中, 仿射Heston模型由于能够给出欧式期权的精确闭型定价公式以及较好地解释期权定价中的“波动率微笑”现象, 在实际中获得了广泛的关注与应用。 与此同时, 仿射Heston模型也受到越来越多的批判, 该模型对于描述标的资产价格以及期权价格动态性仍不充分[4]。 因而, 非仿射SV模型在金融计量经济学文献中获得越来越多的关注, 并取得了丰富的研究成果[5-11]。
由于SV期权定价是在风险中性测度(风险中性世界)下进行的, 需要将客观概率测度(现实世界)下的SV模型变换到风险中性测度下, 而由客观概率测度变换到风险中性测度的一个关键问题是关于方差风险溢价的合理识别。 在一个标准的跨期资产定价体系下, 方差风险溢价与市场参与者的风险厌恶(风险偏好)具有紧密的联系[12]。 在传统的SV期权定价模型(例如Heston模型)中, 方差风险溢价被设定为方差的一个线性函数, 这隐含着投资者常数的相对风险厌恶系数。 显然, 这样的设定过于局限。 基于传统的SV期权定价模型, Johannes等[13]考察了S&P 500指数收益率与期权价格两者隐含的波动率信息, 发现其存在不一致性, 他们对此的解释是方差风险溢价不合理的设定以及模型缺乏足够的灵活性, 通过引入更灵活的方差风险溢价(时变风险厌恶)来增加模型灵活性可能有助于解释这种结果。
近年来, 众多学者对时变风险厌恶进行了深入的研究。 Rosenberg和Engle[14]和Grith等[15]发现风险厌恶是时变的, 且存在自相关性、均值回复和反周期性。 Li[16]和Bekaert等[17]考察了时变风险厌恶与资产价格之间的联系。 Cotter和Hanly[18]发现基于时变风险厌恶有助于改进能源风险对冲表现。 Bollerslev等[12]估计了S&P 500市场指数的时变风险厌恶, 发现其有助于预测未来股票市场收益。 Steffensen[19]考虑了时变风险厌恶下的最优消费与投资问题。 Kim[20]和Cho[21]分别在CCAPM和ICAPM体系下, 考虑了时变风险厌恶的估计问题。 Barone-Adesi等[22]采用行为定价核理论, 估计了投资者的时变风险厌恶, 发现风险厌恶水平在市场损失后相比于在市场收益后变得更低。
由上述可见, 关于时变风险厌恶的研究已经取得了丰富的研究成果, 时变风险厌恶能够解释资产价格的诸多特征, 对金融市场相关变量的估计产生重要的影响。 然而, 现有关于时变风险厌恶对期权价格影响方面的研究还非常少见。 最近, Kiesel和Rahe[23]考虑了时变风险厌恶下的S&P 500指数期权定价问题, 他们发现当市场面临压力时风险厌恶水平显著增加, 时变风险厌恶有助于更灵活地捕获隐含波动率期限结构, 有力地解释期权定价中的“波动率微笑”现象, 提供更为合理的风险值预测结果。 然而, Kiesel和Rahe[23]构建的模型仍属于仿射SV期权定价模型, 研究针对的是美国期权市场, 且对模型的估计仅采用S&P 500指数期权价格数据, 忽略了标的资产价格动态信息。
忽然，一只灯具引起李陆峰的注意，是一架走马灯，高高挂在树枝上。这是一挂六面灯，蜡烛燃烧引发的上升气流，带动灯架不停旋转。吸引李陆峰注意的，是描摹在六面上的字画。那灯走到第二圈，李陆峰就看出门道来：金木水火土！这就是灯面的顺序。要知道，这五个字，此刻在他心中已成恶咒：“金木水火土，火烧大老虎！”
基于以上分析, 本文对传统的非仿射SV期权定价模型进行扩展, 构建符合期权市场实际的非仿射时变风险厌恶SV(TVRA-SV)期权定价模型, 对期权定价问题进行深入研究, 考察时变风险厌恶对期权价格的影响。 值得注意的是, 传统的SV期权定价模型大多属于单因子仿射波动率模型, 本文构建的模型属于双因子非仿射波动率模型。 Christoffersen等[24]研究表明, 单因子的波动率模型不能同时捕获波动率微笑的水平与倾斜形态, 有必要引入多因子波动率模型来对期权进行定价。 近年来, Li Gang和Zhang Chu[25]、Romo[26]和Bardgett等[27]也都研究发现, 基于多因子SV期权定价模型可以获得更好的期权定价效果。 进一步, 本文采用标的资产与期权数据信息, 建立基于连续粒子滤波的极大似然估计方法, 对构建的TVRA-SV期权定价模型的参数进行估计(客观与风险中性参数联合估计)。 最后, 通过采用我国上证50ETF期权的实际数据进行实证研究, 对构建的理论定价模型进行实证检验, 说明本文构建模型的合理性。
2 TVRA- SV期权定价模型
假设客观概率测度P 下标的资产价格动态性满足如下TVRA-SV模型
沙沟沿沟床两侧居民、耕地及居民集中点近0.6km2范围内有居民604人生命及4.5×104 m2建筑、金狮小学、昆达农业有限公司6500万元的财产仍然受到沙沟泥石流的危害威胁。按泥石流潜在危险性分级，该泥石流潜在危险性分级为大型地质灾害。
(1)
健康意识提高，饮食口味改变。大量减少对糖分和盐分的摄取，以“微甜”和“微咸”作为烹调食物的准则。过去，对于那些甜咸不分、味儿暧昧的食物，如甜酸肉、芒果鸭、蜜糖鸡等等，总是深恶痛绝。可是，现在不但接受了，而且，居然也渐渐地喜欢了，甜中有咸而咸中有甜，不就是“人生的滋味”吗？
(2)
dM t =κ M (θ M -M t )dt +σ M M t dW 3,t
(3)
其中S t 是标的资产价格,V t 是标的资产收益率的方差,M t 是方差的随机长期均值(随机中心趋势过程),W 1,t ,W 2,t 与W 3,t 是客观概率测度P 下相互独立的标准布朗运动,μ 是标的资产收益率的均值,κ V 是方差均值回归的速度,σ V 是方差的波动率,κ M 是随机中心趋势过程均值回归的速度,θ M 是随机中心趋势过程的长期均值,σ M 是随机中心趋势过程的波动率,ρ 代表“杠杆效应”, 其对于期权定价具有重要影响, 可以描述标的资产价格分布负的偏态, 产生“波动率微笑”[24,28]。
TVRA-SV模型(1)-(3)是一个双因子非仿射SV模型, 它是基于单因子的非仿射GARCH扩散SV模型扩展得到。 事实上, 当M t 为常数(即dM t =0), TVRA-SV模型(1)-(3)即退化为单因子的非仿射GARCH扩散SV模型, 也即常数风险厌恶SV(CRA-SV)模型。 进一步的参数约束: dV t =0, 即得到B-S模型。 Christoffersen等[29]、Kaeck和Alexander[7]、Wu Xinyu等[30-31]和Yang Hanxue和Kanniainen[32]研究表明, GARCH扩散SV模型相比其它SV模型能够刻画更为现实的波动率路径及波动率分布状态, 显著改进期权定价表现。
为了推导风险中性测度Q 下标的资产价格动态性满足的TVRA-SV模型, 定义
(3)2010～2011年城市化与生态环境耦合协调度从0.517 7提高到0.563 0，这一时期的协调类型逐步过渡到基本协调阶段。城市化综合水平在这一阶段呈线性上升，生态环境综合水平稳步提高。两系统的指标分别以不同增速较为均匀地发展，两系统的总体发展水平逐渐靠拢，耦合协调度也随之提高。
(4)
其中γ i,t ,i =1,2,3分别是S t ,V t 和M t 的风险的市场价格。 设定由客观概率测度P 变换到风险中性测度Q 的Radon-Nikodym导数过程为:
(5)
进一步, 为了使风险中性测度Q 下标的资产价格贴现过程是一个鞅, 以及客观与风险中性测度下模型在结构上的一致性, 约束
(6)
(7)
基于表2给出的参数估计结果, 运用CSIR算法可以得到滤过的方差V t 及其长期均值(随机中心趋势)M t 如图3所示。 可以看到, 方差过程V t 相比随机中心趋势过程M t 具有更大的波动性, 与σ V 与σ M 的估计结果相一致(2.8773 vs. 0.5697)。
(8)
其中r 是无风险利率,
是风险中性参数.
根据上述标准于2010年1月-2017年1月纳入笔者研究小组所在医院早期喉癌行手术治疗的患者共52例，各组26例。用随机数字表法分为两组。观察组：男性15例，女性11例；年龄(23～78)岁；平均(54.01±5.24)岁；病理分期；Tis期12例，T1a期8例，T1b期6期；分化程度：高分化15例，中分化11例。对照组：男性16例，女性10例；年龄(31～79)岁；平均(56.11±2.01)岁；病理分期：Tis期13例，T1a期6例，T1b期7期；分化程度：高分化16例，中分化10例。两组患者上述资料对比，P均>0.05。
应用Girsanov定理, 得到风险中性测度Q 下标的资产价格动态过程为:
(9)
(10)
(11)
其中
与
是风险中性测度Q 下相互独立的标准布朗运动.
在传统的SV期权定价模型中, 方差风险溢价设定为方差的一个线性函数, 即
(12)
这隐含着投资者常数风险厌恶, 缺乏足够的灵活性。 本文模型隐含的方差风险溢价由一个额外的随机中心趋势过程(也称为风险厌恶代理过程)M t 驱动, 即
(13)
其中L 是标的资产价格路径模拟数目,
是第j 条标的资产价格路径在τ 时刻的值。
2.3 妊娠结局 干预后，观察组产妇早产、剖宫产及新生儿并发症发生率均低于对照组，差异有统计学意义(P<0.05)。见表3。
传统的方差风险溢价设定只能捕获单一正的或负的方差风险溢价(取决于系数
的符号), 不允许投资者的风险偏好随时间变化。 本文方差风险溢价设定能够同时捕获正的和负的方差风险溢价, 允许投资者的风险偏好随时间变化。 具体地, 在
的情形下: 当V t >M t , 即市场处于高波动时, 方差风险溢价为正, 此时投资者表现为风险爱好; 当V t <M t , 即市场处于低波动时, 方差风险溢价为负, 此时投资者表现为风险厌恶。
由于非仿射SV模型下无法获得期权的闭型定价公式, 本文采用蒙特卡罗模拟方法来计算期权价格。 根据风险中性定价原理, 到期期限为τ 的欧式期权在零时刻的价格为:
(14)
其中h (S τ )是期权在τ 时刻的非负收益函数,
是风险中性测度下的期望。 从而期权价格的蒙特卡罗估计为:
(15)
该方差风险溢价设定显然具有更高的灵活性。
在下文中，我们总假设不空。为了求解问题(2.1)，我们定义乘积内积空间，将有限族非空闭凸集的交转化为两个非空闭凸集的交，具体如下：
为评价模型性能, 说明时变风险厌恶对期权价格的影响, 分析随机中心趋势(风险厌恶代理变量)M t 对期权价格的影响。 针对不同的方差V 0和随机中心趋势M 0值, 计算欧式看涨期权的价格, 得到结果如图1所示。 显而易见, 期权价格随着方差V 0和随机中心趋势M 0值的增加而增加, 且随机中心趋势M 0对期权价格的影响明显要大于方差V 0对期权价格的影响。
图1 时变风险厌恶对期权价格的影响(参数设定为: 
σ M =0.5,ρ =-0.5)
3 估计方法
从表3可以看到, 无论对于认购还是认沽期权, TVRA-SV期权定价模型的定价效果都优于B-S期权定价模型和CRA-SV期权定价模型的定价效果, 其定价误差相比B-S 期权定价模型和CRA-SV期权定价模型的都明显要更低。 总体上, TVRA-SV期权定价模型的定价误差相比B-S期权定价模型的降低了约18%, 相比CRA-SV期权定价模型的降低了约51%。 另外, 从表中还可以看到, TVRA-SV期权定价模型对于认购期权的定价效果比认沽期权的明显要更好。 CRA-SV期权定价模型由于对于风险中性测度下标的资产波动率过程刻画不尽合理, 因此获得最差的期权定价效果。 上述说明了时变风险厌恶对于期权定价的重要性以及本文提出模型的合理性。
然而, 直接采用期权数据的估计方法由于在其估计过程中不可避免地涉及SV模型下的期权定价, 估计程序非常耗时, 特别当定价模型(如非仿射SV模型)缺乏闭型定价公式而需要采用蒙特卡罗方法来计算期权价格时, 其估计效率愈加低下。 基于此, 本文采用上证50ETF与iVX波动率指数数据, 建立基于连续粒子滤波的极大似然估计方法, 对TVRA-SV期权定价模型的客观与风险中性参数进行联合估计。 中国波指(iVX)是由上海证券交易所发布, 用于衡量上证50ETF未来30日的预期波动。 该指数是根据方差互换的原理, 采用上海证券交易所交易的50ETF期权价格计算编制而得, 因此包含了丰富的上证50ETF期权价格与波动率动态性信息。 采用iVX进行估计可以避免SV模型下的期权定价, 从而能够极大地节省计算时间, 提高模型参数估计效率[34]。 粒子滤波是一种序贯蒙特卡罗方法, 它通过模拟抽样来产生预测和滤波分布。 该方法易于实现, 且具有非常强的适用性, 对于处理包含不可观测状态变量的各种非线性模型非常方便[29,35-36]。
首先对TVRA-SV模型作平稳变换, 令s t =logS t ,v t =logV t ,m t =logM t , 应用It
引理得到:
(16)
(17)
(18)
将式(16)-(18)Euler离散化, 得到:
(19)
(20)
(21)
其中Δt 是时间步长,ε 1,t ,ε 2,t 和ε 3,t 是独立同分布(i.i.d.)的标准正态分布随机变量, 且相互独立。
2.2.2 线性关系的考察 精密量取标准品母液（0.995mg∕mL）1、3、5、7、9、11mL加甲醇稀释至25 mL，摇匀，分别制成浓度为 0.039 8、0.119 4、0.199 0、0.278 6、0.358 2、0.437 8 mg∕mL的对照品溶液。按“2.1.1”项下条件测定葛根素的峰面积。以峰面积为纵坐标（y）、葛根素浓度为横坐标（x）进行线性回归，得回归方程y=45 960 982.05x-451 155.181（r2=0.999 2）。表明葛根素对照品在0.039 8～0.437 8 mg∕mL的范围内线性关系良好。
为了估计TVRA-SV模型的风险中性参数, 引入包含丰富期权价格信息的iVX波动率指数数据。 假设iVX 观测值与理论值具有如下的乘性误差结构
logiVX t =logiVX (V t ,M t ;Θ Q )+u t
由表5可以看出，第1期CPI对自身变动的贡献率为51.6%，至第11期之后趋于平稳，稳定在40.6%左右；第1期农产品价格对CPI的变动贡献率为48.4%，在第11期趋于平稳，稳定在59.4%左右。
(22)
其中iVX (V t ,M t ;Θ Q )是基于TVRA-SV模型计算的iVX 理论值(参见附录A),
是模型风险中性参数,u t 是均值为0, 方差为δ 2的i.i.d.正态分布随机变量, 且与ε i,t ,i =1,2,3相互独立。 误差项u t 代表iVX 的度量误差, 捕获模型定价误差以及微观结构噪声。
由此, 式(19)-(22)构成非线性、非高斯状态空间模型, 参数向量为Θ =[Θ P ,Θ Q ,δ ], 其中Θ P 是模型客观测度下的参数。 设y t =(s t -s t-1 ,logiVX t )′是标的资产(上证50ETF)收益率与对数iVX波动率指数联合观测值,λ t =(v t ,m t )′是模型中不可观测的状态向量. 状态空间模型的对数似然函数可以写为:
t-1 ;Θ )
(23)
其中t-1 ={y 1,…,y t-1 }为t -1时刻的信息集,
t ;Θ )dλ t+1
(24)
上式可以通过蒙特卡罗模拟近似得到, 即
(25)
其中
是来自预测密度p (λ t+1 |t ;Θ )的抽样, 可以通过利用粒子滤波方法获得。
根据贝叶斯原理有
t ;Θ )dλ t
(26)
其中p (λ t+1 |t+1 ;Θ )称为滤波密度。
粒子滤波即根据式(26), 通过模拟抽样(粒子)来递归地获得滤波密度p (λ t+1 |t+1 ;Θ )的近似。 具体地, 假设获得等权重抽样
t ;Θ ),i =1,…,N , 根据式(26)得到滤波密度p (λ t+1 |t+1 ;Θ )近似
(27)
为了从式(27)中抽样, 可以利用粒子滤波方法。 最经典和常用的粒子滤波方法是由Gordon等[37]提出的抽样重要性重抽样(sampling/importance resampling, SIR)滤波方法。 然而, 基于标准的SIR滤波算法得到的模型似然函数通常是不连续的, 这给采用传统的优化方法来最大化相应的似然函数造成困难。 基于此, 本文采用连续粒子滤波(CSIR)方法[38]。
估计状态空间模型(19)-(22)的似然函数的CSIR滤波算法具体如下:
大学生要清晰的认识到自己今后的职业范围，了解社会的需求，分析自己适合的职业角色，根据自己的观察能力、表达能力、实操能力、交际能力等认识到自己的长处和短处，选择自己擅长的职业岗位，有选择性、有针对性的培养自己的技能才能让自己更容易适应和接受毕业后职业岗位的需要。
给定抽样t ;Θ ),i =1,…,N .
步骤1: 根据式(20)和(21)抽样
dV t =κ V (M t -V t )dt +σ V V t (ρ dW 1,t
基于TVRA-SV期权定价模型, 估计得到上证50ETF方差均值回归的速度为κ V =5.2848, 方差的波动率为σ V =2.8773。 上证50ETF方差具有随机长期均值(随机中心趋势), 且随机长期均值服从一个均值回复的过程, 其长期均值为θ M =2.65%, 均值回复的速度为κ M =0.5104。 杠杆效应参数值为ρ =-0.2561, 其相比基于CRA-SV期权定价模型估计的结果要更低。 与CRA-SV期权定价模型估计风险中性参数
明显小于0不同, TVRA-SV期权定价模型下风险中性参数的估计值明显大于0。 从δ 的估计结果可以看到, 相比CRA-SV期权定价模型, TVRA-SV期权定价模型下δ 的估计值要更低, 表明TVRA-SV期权定价模型具有更低的iVX定价误差, 能更好地描述风险中性测度下隐含波动率(iVX)动态性。
(28)
其中
设计单位对装配式的方案策划、过程实施予以技术支持，需从设计角度复核装配式方案，对原结构安全性、外观、功能等因素进行把控，尽力配合预制构件标准化设计的要求。同时，配合装配式方案对设计文件和概预算进行相应的调整。
步骤3: 以概率
对
连续重抽样N 次, 得到滤波抽样
t+1 ;Θ ),i =1,…,N 。
基于CSIR算法, 得到连续的似然估计为:
(29)
其中
是CSIR算法步骤2中计算得到的非归一化权重。 从而, 模型对数似然的估计为:
t-1 ;Θ )
(30)
上述对数似然估计不是无偏的, 进行偏差修正得到无偏的对数似然的估计为:
(31)
其中
从而, 基于极大似然方法可以得到TVRA-SV期权定价模型的客观与风险中性参数的联合模拟极大似然估计为:
(32)
4 实证研究
4.1 数据
为了考察TVRA-SV期权定价模型的定价表现, 本文选取我国上证50ETF期权的实际数据进行实证分析。 上证50ETF期权数据的抽样阶段选取为2017年9 月15日到2017年10月31日。 期权数据(包括期权执行价格、期权到期期限、期权类型(认购或认沽)及期权收盘价)来源于国泰安(CSMAR)数据库。 考虑到到期期限过短的期权可能存在与流动性相关的问题, 因此将期权样本中到期期限少于7 天的期权丢掉, 共获得2040个期权样本数据, 其中认购期权和认沽期权各1020个, 所有期权均为欧式期权。 对应每个期权到期期限的无风险利率采用上海银行间同业拆借利率(SHIBOR)通过插值计算得到。 SHIBOR数据来源于WIND资讯。
为了估计定价模型参数, 采用从2015年2月9日至2017年9月14日的上证50ETF收益率与iVX波动率指数数据。 数据来源于Wind资讯。 图2给出了用于模型估计的上证50ETF收益率与iVX波动率指数的时间序列图。 表1给出了上证50ETF收益率与iVX波动率指数的描述性统计量。 从表1可以看到, 上证50ETF 收益率存在明显的负偏和尖峰厚尾特征, 其无条件年化波动率为
统计量表明其拒绝正态分布的假定。 iVX波动率指数的描述性统计量表明, 上证50ETF 收益率在抽样阶段内的预期年化波动率约为25.32%, 波动率变动范围为8.31%到63.79%。
图2 上证50ETF收益率与iVX波动率指数时间序列图
4.2 定价模型参数估计结果
基于上证50ETF收益率和iVX波动率指数联合时间序列数据, 运用第3部分给出的基于CSIR滤波的极大似然估计方法得到TVRA-SV期权定价模型的参数估计结果如表2所示。 为了比较起见, 表2也给出了传统的CRA-SV(单因子GARCH扩散SV)期权定价模型的参数估计结果。 CRA-SV模型可以看作是TVRA-SV模型的特例, 因此对第三部分给出的用于估计TVRA-SV模型的基于CSIR滤波的极大似然估计方法进行简单的修改即可用于CRA-SV模型的估计。 具体地, 只需要将M t 看成常数, 将不可观测的状态变量λ t 修改为:λ t =v t =logV t , 后面的估计程序则完全类似。
表1 上证50ETF收益率与iVX波动率指数描述性统计量
注: ()中是Jarque-Bera统计量的p -值。
表2 参数估计结果
注: 粒子数选取为N =500, Log-lik是对数似然值, AIC是赤池信息准则, BIC是贝叶斯信息准则, ()中是极大似然估计的渐近标准误差。
从表2可以看到, 基于CRA-SV期权定价模型, 估计得到上证50ETF方差的长期均值为θ V =4.29%, 相当于年化波动率约为20.71%, 低于无条件年化波动率26.96%, 方差均值回归的速度为κ V =1.2675, 方差的波动率为σ V =1.7295, 杠杆效应参数值为ρ =-0.2091, 表明上证50ETF收益率与波动率在抽样阶段内存在杠杆效应, 风险中性参数估计值明显小于0, 与Duan Jinchuan和Yeh[39]、吴鑫育和周海林[40]的研究结论一致, 这使得风险中性测度下的波动率过程不是一个均值回复过程。
步骤2: 计算归一化权重
从对数似然(Log-lik)值、赤池信息准则(AIC)和贝叶斯信息准则(BIC)的结果可以看到, TVRA-SV期权定价模型相比CRA-SV期权定价模型具有更高的Log-lik值以及更低的AIC和BIC值, 表明TVRA-SV期权定价模型相比CRA-SV期权定价模型具有更好的数据拟合效果, 能够更充分地刻画标的上证50ETF收益率在客观与风险中性测度下的波动性。
γ 3,t =0
图3 方差(V t )及其长期均值(M t )的滤波估计
进一步根据式(13)计算得到方差风险溢价如图4所示。 从图4可以看到, 方差风险溢价并不总是为正或为负, 而是在高波动时期为正, 低波动率时期为正, 表明市场参与者具有时变风险偏好特征。
图4 方差风险溢价(VRP)的估计
4.3 期权定价
结合模型参数估计结果, 选取模拟路径数目L =50,000, 运用蒙特卡罗模拟定价方法得到TVRA-SV期权定价模型下上证50ETF期权的定价结果, 进而计算得到其定价误差(按认购与认沽)如表3所示。 为了比较, 表3 也给出了基于传统B-S期权定价模型和CRA-SV期权定价模型的定价误差。 本文期权定价误差的计算基于相对均方根定价误差测度:
其中C mod 是期权模型价格,C mkt 是期权观测市场价格。
表3 期权定价误差(按认购与认沽)
将定价模型应用于实际的一个关键问题就是如何采用实际市场观测数据得到模型参数的估计值, 即定价模型的参数估计问题。 本文考虑同时采用标的资产与期权数据信息来估计定价模型的参数, 以联合估计得到定价模型客观与风险中性参数, 保证模型客观与风险中性测度的一致性, 而这在理论上与实际中也是非常重要的[33]。
为了进一步考察模型对于不同类型(按实值度(moneyness)和到期期限分类)的期权在定价上的差异, 表4给出了不同类型上证50ETF期权的定价误差。 从表4的结果可以看到, 对于各类型期权, CRA-SV期权定价模型的定价效果均是最差的(具有最高的定价误差)。 对于短期期权(到期期限为7-60 日), TVRA-SV期权定价模型与B-S期权定价模型在定价效果上并没有明显差别。 但是对于中期期权(到期期限为60-180日), 尤其是长期期权(到期期限超过180日), TVRA-SV期权定价模型相比B-S期权定价模型的定价效果改进明显, 具有明显更低的定价误差。 此外, TVRA-SV期权定价模型对于实值(ITM)期权的定价效果相比对于虚值(OTM)期权的定价效果要更好, 这也可以从图5中直观看到。 一种可能的解释就是, OTM期权的市场价格相对于ITM期权的要低, 更容易受到投资者的追捧, 由于我国金融市场投资者的投机炒作等非理性行为以及卖空交易的限制, 使得OTM期权市场价格偏离其理论价值, 产生较大的偏差。
根据标准规范及产品设计技术要求，对试验试件焊接接头进行无损检测、力学性能检测、金相检测和腐蚀试验结果如下。
表4 期权定价误差(按实值度与到期期限)
注: OTM表示虚值(out-of-the-money)期权, ATM表示平价(at-the-money)期权, ITM表示实值(in-the-money)期权, ()中是期权合约数目。
图5 期权定价误差(按实值度与到期期限)
5 结语
传统的期权定价是在投资者具有常数风险偏好假设下进行的。 然而, 现实市场中投资者往往具有时变风险厌恶特征。 本文结合期权市场的实际, 构建TVRA-SV期权定价模型对期权进行定价研究, 探寻时变风险厌恶对期权价格的影响。 为了估计定价模型的参数, 采用标的资产与期权数据信息, 建立基于CSIR滤波的极大似然估计方法。 期权价格数据信息采用波动率指数(iVX)作为代理, 其包含了丰富的期权价格与波动率动态性信息。 采用波动率指数(iVX)进行估计可以避免SV模型下的期权定价, 降低计算量, 提高模型参数估计效率。 基于CSIR滤波的极大似然估计方法可以获得TVRA-SV期权定价模型客观与风险中性参数的联合估计, 保证定价模型客观与风险中性测度的一致性。 采用我国期权市场上的上证50ETF期权数据, 对构建的定价模型进行实证检验, 结果表明: TVRA-SV期权定价模型相比常数风险厌恶SV(CRA-SV)期权定价模型具有更好的数据拟合效果, 能够更充分地刻画标的上证50ETF收益率在客观与风险中性测度下的波动性; TVRA-SV期权定价模型相比传统的Black-Scholes(B-S)期权定价模型和CRA-SV期权定价模型都具有明显更高的定价精确性。 本文研究工作不仅丰富和完善了现有的期权定价理论与参数估计方法, 而且为投资者和风险管理者提供了参考, 具有重要的理论价值和现实意义。
附录A: TVRA-SV模型下iVX公式推导
基于风险中性动态过程(10)-(11), 运用It
引理得到:
故有
M s =e -κM (s -t )M t +θ M (1-e -κM (s -t ))
因此
其中
是风险中性测度下基于t 时刻信息的条件期望.
由此, 有
从而, 根据iVX的定义, 有
=aV t +bM t +c
其中τ =30/365, 以及
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Option Pricing Under Time -Varying Risk Aversion :An Empirical Study Based on SSE 50ETF Options
WU Xin -yu 1, 2，ZHAO Kai 1，LI Xin -dan 2，MA Chao -qun 3
(1.School of Finance, Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030, China;2.School of Industrial Engineering and Management, Nanjing University, Nanjing 210093, China;3.Business School, Hunan University, Changsha 410082, China)
Abstract ： In the past decades, with the rapid development of China's financial markets, more and more derivative products, such as warrants, currency options and covertible bonds have been introduced into the markets. Specially, the SSE 50ETF option, the first stock option in China, was introduced in February 2015. The introduction of the SSE 50ETF options makes the China's equity market more complete. The purpose of this paper is to develop reasonable model for the pricing of the options. It is of great importance for investors and risk managers.
Traditionally, the pricing of options is based on the classical Black-Scholes (B-S) option pricing model. However, an extensive empirical literature has documented the empirical biases of the B-S option pricing model. Most prominently among these biases, observed market prices for out-of-the-money puts and in-the-money calls are higher than the B-S prices. This stylized fact is known as the “volatility smirk”. To modeling the smirk, stochastic volatility (SV) models have been introduced. The SV models are popular in the option pricing literature, which have been proved to be helpful in modeling the smirk.
However, in the conventional SV option pricing, investors are supposed to have constant risk preferences. Numerous recent studies have found that the market participants' risk preferences exhibit time-varying characteristics. In contrast to conventional SV option pricing with constant risk aversion, this paper concentrates on the issue of option pricing under time-varying risk aversion. Firstly, by extending the conventional (non-affine) SV option pricing model with constant risk aversion (hereafter CRA-SV option pricing model), a SV option pricing model with time-varying risk aversion (hereafter TVRA-SV option pricing model) is developed to price options, and further the effect of time-varying risk aversion on option prices is examined. Secondly, an estimation approach, the continuous particle filter-based maximum likelihood estimation method, is presented for joint estimation of the objective and risk-neutral parameters of the pricing model, using information provided by the underlying asset and options data. Finally, using the actual financial market data on the SSE 50ETF options, empirically the performance of the developed pricing model is investigated. The results show that the TVRA-SV option pricing model leads to substantial improvements in the empirical fit over the conventional CRA-SV option pricing model, and can describe the volatility dynamics of the underlying SSE 50ETF returns more adequately under both the objective and risk-neutral measures. Moreover, the TVRA-SV option pricing model produces much more accurate option prices than the conventional B-S option pricing model and CRA-SV option pricing model.
Key words ： option pricing; time-varying risk aversion; two-factor non-affine stochastic volatility; SSE 50ETF options; continuous particle filters
中图分类号： F830.9
文献标识码： A
文章编号： 1003-207( 2019) 11-0011-12
DOI: 10.16381/ j.cnki.issn1003-207x.2019.11.002
收稿日期： 2017-10-15； 修订日期： 2018-02-14
基金项目： 国家自然科学基金资助项目(71501001, 71431008); 教育部人文社科研究青年基金资助项目(14YJC790133); 中国博士后科学基金资助项目(2015M580416); 安徽省自然科学基金资助项目(1408085QG139); 2017年度高校优秀青年骨干人才国内外访学研修项目(gxfx2017031); 苏南资本市场研究中心(2017ZSJD020)
通讯作者简介： 吴鑫育(1982-), 男(汉族), 湖南衡山人, 安徽财经大学金融学院,副教授, 博士, 南京大学工程管理学院博士后, 研究方向: 金融工程与风险管理, E-mail: xywu.aufe@gmail.com.
标签：期权定价论文; 时变风险厌恶论文; 双因子非仿射随机波动率论文; 上证50ETF期权论文; 连续粒子滤波论文; 安徽财经大学金融学院论文; 南京大学工程管理学院论文; 湖南大学工商管理学院论文;