“反比例函数的图象和性质”（第一课时）教学设计与反思，本文主要内容关键词为：反比例论文,课时论文,教学设计论文,图象论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第六次课题研讨会，于2010年4月8～10日，在江苏省南通市第一初级中学召开。天津市新华中学的李庆老师在本次活动中，采用“借班上课”的方式，以“反比例函数的图象和性质”为课题上了一节研究课。该课题的教学设计，是天津市课题研究小组基于对“反比例函数的图象和性质”概念的理解，对“反比例函数的图象和性质”内容、地位和作用的认识，考虑数学学科学习的特点，遵循学生的认知规律，根据人教社课题组提供的教学设计框架，在多次集体研讨、试教交流、修正设计方案的基础上共同完成的。
教学设计
一、内容和内容解析
本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质。
反比例函数是最基本的初等函数之一，是后续学习各类函数的基础。反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质。反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在。
反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。第一，反比例函数的图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法。这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势。第二，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。第三，将函数中变量x、y之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想。第四，用描点法画反比例函数的图象时，先由函数解析式考虑自变量的取值范围，分析x、y的对应变化关系，然后构思函数图象的大致位置、轮廓、趋势，进而列表、描点、连线作出函数图象，反映了作函数图象的一般规律。另外，利用图象“特征”确定函数“特性”，也是初中阶段研究函数性质的常用方法。
对于反比例函数图象及性质的研究与学习，尽管还处于函数学习的初级阶段，但它所体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化。教材中呈现的“函数概念—函数的图象和性质—函数的实际应用”的结构，是学习初等函数的有效方法。
此外，反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃。图象由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，无不反映出对函数概念本质属性认识的进一步深化。因此，学好本节课内容，将为今后的函数学习奠定坚实的基础。
教学重点：反比例函数的图象和性质，以及本课内容所蕴含的思想方法。
二、目标和目标解析
教学目标
(1)会画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质。
(2)感悟“数形结合”、“变化与对应”和“转化”的数学思想，并能应用数形结合和转化思想，根据反比例函数的图象探究其性质。
(3)培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力。
目标解析
(1)本节教学内容的脉络是：先使用描点法画出反比例函数的图象，然后依据图象分析、探究、归纳得到函数的性质。因此，准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提。此时，虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习的目标之一。通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数3种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解。
(2)数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期4个阶段，而不能复制与灌输。在探究反比例函数性质时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质。
(3)在探究反比例函数性质的过程中，让学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生的思维能力。
三、教学问题诊断分析
对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但因当时处于函数学习的初始阶段，重点只是让学生掌握用描点法画函数图象的“3步曲（列表、描点、连线）”，学生对每步要求的理解并不深刻。因此，在画反比例函数图象时，常遇到如下的问题：
(1)“列表”时，确定自变量x的取值缺乏代表性及忽略x≠0等现象；
(2)“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；
(3)对双曲线与x轴、y轴“越来越靠近（但不相交）”的趋势不易理解。
教学时，应注意进行有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数”(x≠0,y≠0,k≠0)、“式”（解析式中x、y的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识。
在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解，因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象相对于一次函数图象，其形态丰富、结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深入理解和掌握，对性质探究中数学思想的体会和运用，还存在一定的困难。教学中，应注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动。
教学难点：准确画出反比例函数的图象，理解反比例函数的性质，并能灵活应用。
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更形象、直观地突出重点、突破难点，可借助信息技术工具，以《几何画板》为平台，绘制反比例函数图象，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律，进而探究反比例函数的性质。
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
问题1 我们已经学习了正比例函数的哪些内容？是如何研究的？
（以正比例函数y=6x为例。）
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在表格中，强调是从形状、位置、变化趋势3个方面去研究的。
【设计意图】通过复习正比例函数的图象和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫。
（二）观察探究，形成新知
问题2 反比例函数的图象是什么样的？
以画出反比例函数
的图象为例，教师弓导学生经历列表、描点、连线的过程。
(1)列表（如表1）：
表1
列表时，关注学生是否注意到自变量的取值应使函数有意义（即x≠0），同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或是太小，以便于描点和全面反映图象的特征。
(2)描点：一般情况下，所选的点越多图象越精确。
(3)连线：引导学生用平滑的曲线，按照自变量从小到大的顺序连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。
师生活动：教师引导学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征。
【设计意图】图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用描点法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数先有一个初步的感性认识。
问题3 观察反比例函数的图象，有哪些特征？
师生活动：教师引导学生观察、类比正比例函数，归纳说出反比例函数图象的形状、位置、变化趋势及函数的增减性。
【设计意图】通过类比正比例函数，引导学生观察图象的形状、位置、变化趋势，感受“形”的特征，感受自变量与函数值之间变化与对应的关系，使学生对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。
问题4 是不是所有的反比例函数的图象都具有这样的特征呢？
以讨论反比例函数
为例。在教师的引导下，学生借鉴画反比例函数的图象的经验，自主画出反比例函数的图象，教师巡视指导。作图完成后，学生展示作品，并说出该函数图象的特征，教师适时点评。
【设计意图】通过再次画出反比例函数的图象，帮助学生巩固前面已获得的作图经验，提高学生利用描点法画出函数图象的能力。同时，在总结、说出反比例函数的图象特征的过程中，增强学生对图象的观察、感知、分析、概括的能力，让学生经历，画出函数图象、并利用图象研究函数性质的过程。
问题5 反比例函数与的图象有哪些共同特征？有哪些不同点？是由什么决定的？
师生活动：教师启发学生对比、思考，组织学生讨论，引导学生关注反比例系数“k”的作用。
【设计意图】学生通过观察比较，总结这两个反比例函数图象的特征，在活动中，让学生自己去观察、发现、总结，实现学生主动参与、探究新知的目的。
问题6 当k取不同的值，上述结论是否适用于所有的反比例函数？
教师演示课件，赋予不同的k值，观察所得到的不同的反比例函数图象的特征，引导学生归纳“变化中的规律性”。然后，从解析式的角度，引导学生分析上述结论的合理性。
【设计意图】通过计算机动态演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，加强对反比例函数图象“特征”和函数“特性”以及它们之间的相互转化关系的认识。
问题7 总结反比例函数
(k≠0)图象的特征和性质。
教师帮助学生梳理、归纳，填写表2：
表2
【设计意图】通过归纳，培养学生的抽象、概括能力。
（三）巩固提高，应用新知
课堂练习
1.下列图象中，可能是反比例函数的图象的是()。
(A)正数(B)负数
(C)非正数(D)非负数
【设计意图】通过一系列的练习，实现知识向能力的转化。
（四）归纳反思，深化新知
问题8 通过本节课的学习，你有哪些收获？
学生谈本节课的学习感受，教师梳理、概括本节课主要的学习内容，并揭示蕴含的数学思想方法。
【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对反比例函数的图象和性质有一个较为整体、全面的认识，同时，使学生养成良好的学习习惯。
布置作业
1.基础达标：教材中练习的第1、2题，习题17.1的第3题。
2.反思提升：将反比例函数（k为常数，k≠0）与正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）进行对比，可以从以下3个方面考虑。
(1)两种函数的解析式有哪些相同与不同之处？两种函数的图象的特征有何区别？
(2)在常数k相同的情况下，当自变量x变化时，两种函数的函数值丁的变化趋势有什么区别？
(3)两种函数中x的取值范围有何不同？常数k的符号改变对两种函数图象所处象限的影响如何？
六、目标检测设计
1.反比例函数
的图象在()。
(A)第一、二象限(B)第一、三象限
(C)第二、三象限(D)第二、四象限
2.在同一直角坐标系中，函数y=2x与
上的图象大致是()。
3.写出一个反比例函数，使得该反比例函数的图象在第一、三象限，该函数可以是＿＿；若点P在该函数的图象上，则点P的坐标可以是＿＿。（分别写出一个即可。）
(1)填写表3中相应的y值。
表3
(2)根据表中的数据，描点画出函数
的图象。
6.某住宅小区要种植一个面积为1000
的矩形草坪，设草坪的长为y（单位：m），宽为x（单位：m）。
(1)y与x之间有怎样的函数关系。
(2)画出该函数的图象。
(3)若限定草坪的宽大于10 m且不超过20m，求草坪的长的范围。
教学反思
一、关于数形结合的处理
在“反比例函数的图象和性质”这一课的教学过程中，“数”与“形”的转化，是贯穿始终的一条主线。主要反映在以下3个方面。
第一，反比例函数的图象和性质，是“数”与“形”的统一体，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，都充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，是数形结合思想的具体应用。本课的教学设计与实施中，通过“描点法”作图、观察几个具体的反比例函数的图象、课件演示展示“由动点生成函数图象”，很好地反映了“数”、“形”之间的这种内在的联系。
第二，在“列表取值为何不能取0”、“反比例函数的图象为何与坐标轴不会相交”、“特殊的反比例函数性质能否推广到一般”这几个问题中，如果单纯依靠观察图象，是无法得出具有“说服力”的结论的，这就需要“回归”解析式，再引导学生进行分析。即可以借助直观图形，帮助学生思考相关的问题。但仅有图形的直观是不够的，必须考虑“已经”形式化的“数”的本质“特征”，使“数”、“形”之间达到统一。于是，在教学中，我们同样关注了对“解析式”的分析。
第三，在总结得出反比例函数的图象和性质之后，我们为学生提供了一组题目，目的是为学生提供一个体会“数形结合”、应用“数形结合”分析问题的平台，使学生经历利用“图形直观”来认识、解决与函数有关问题的过程。
二、关于教学效果的反思
在实际授课过程中，教学环节的展开是自然、顺畅的，如“观察探究，形成新知”环节，学生能够在教师的引导下，说出一次函数的图象特征及性质，并通过类比一次函数的研究方法，完成列表、描点、画出反比例函数图象的过程，也可以通过观察所画出的反比例函数的图象，得出其图象的“特征”和函数的“性质”。
然而，由于学生刚刚接触反比例函数的图象，图象的外在形式（双曲线）与一次函数的图象（直线）之间存在较大的差异，学生还缺乏对反比例函数图象“整体形象”的把握。一方面，当反比例系数的绝对值较大时，部分学生画出的图形，不能完整地反映其图象“渐近”的特征；另一方面，在应用反比例函数（增或减）的性质，比较反比例函数的两个函数值的大小时，学生还不能有意识地从“自变量的正负”来考虑问题，导致学生在课后“目标检测”时，对部分问题的解决出现偏差。
此外，展开本节课学习的一个重要的方法，就是“类比”。在教学过程中，教师极力引导学生要“类比一次函数学习的方法”，最大限度地调动学生“合情推理”的因素，以确保学习知识的“正迁移”效应。事实上，这样也会带来一些负面的影响，学生往往对属于一次函数和反比例函数“共性”的结论印象比较深刻，而对于新的反比例函数“个性”的结论，在理解上反而会受到一些干扰。
三、关于教学设计的改进
基于上述思考，以及研究课后课题组成员的研讨，我们认为在教学设计中，还存在2处需要改进的地方。
（一）应强调“回归”解析式的必要性
在本课题的教学中，通过“画出”图形，使反比例函数解析式表示的函数关系直观化，更易于学生通过观察，得出函数图象的“特征”及函数的“性质”，但由于这样得出的结论，对“图形”的依赖性过强，甚至形成了“解析式—图象—性质”的思维定势，而忽视了数学形式化的意义，也有悖于“图形直观”在研究函数问题中的辅助性作用，也就是说，不能将对函数的认识完全等价于对其图形的认识，应该把“图形”与“解析式”结合起来，以利于更好地探究两个变量之间“变化中的规律性”。
因此，本教学设计应在注重分析“反比例函数图象的位置特征”、引导学生观察“反比例函数的增减变化趋势”的同时，更加强调对反比例函数解析式的剖析，如对于反比例函数（k≠0），当k＞0时，x、y的正负符号相同，以(x,y)为坐标的点位于第一或第三象限，且y随x的增大而减小；当k＜0时，x、y的正负符号相反，以(x,y)为坐标的点位于第二或第四象限，且y随x的增大而增大。同时，从解析式本身来看，显然x≠0，y≠0，图象一定不经过坐标原点，也永远不会与x轴、y轴有交点。
这种从“数”的方面的再强调，会使学生对反比例函数图象和性质的认识更加科学精确。
（二）应关注“类比”中的“差异性”
反比例函数图象和性质的学习，可以类比一次函数的研究方法进行，从而体现了函数学习的一般规律和方法。本教学设计尊重人教版课标教材的编写意图，呈现了从“描点”画图，到“观察”图象，到分析图象“特征”，再到确定函数中变量x、y之间的“变化规律”，从而得出函数的“特性”的过程。这一探究的过程和方法，是学习初等函数时不可或缺的。事实上，初中学段后续研究的二次函数，高中学段研究的指数函数、对数函数、幂函数等，都可以采用与之类似的研究“模式”。无疑，“类比”是一种重要的方法，对于学生理解反比例函数、建立完善的认知结构具有重要的意义。
但是，在运用“类比”的方法研究反比例函数的过程中，还应注意“趋同求异”，关注反比例函数与一次函数之间的“差异性”，如图形的“曲”与“直”、“间断”与“连续”等，这样的认识，在本课教学时，应加以强调，并传达给学生。
注：天津市课题研究小组：李果民，刘金英，何志平，顾洪敏，刘士勇，李庆，袁爽，张淑媛，张宗玲，王振红，刘静波。
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