我国中小学数学课程发展的思考，本文主要内容关键词为：中小学论文,我国论文,数学课程论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我国数学课程的产生和发展经历了漫长的历史。这里将仅对新中国建立后我国数学课程的演变和发展做一简要的回顾，以便了解过去，认清现在，展望未来。
解放后我国数学课程的演变
我国中学数学课程真正得到迅速发展，是在1949年中华人民共和国成立以后。五十多年来，经历了多次重大变革。
1 全面学习苏联
新中国建立后不久，教育部门就着手制订全国统一的中学数学教学大纲。
其指导思想是全面学习苏联。1952年以苏联中小学数学教学大纲为基础，制订了我国《中学数学教学大纲（草案）》。1954年和1956年教育部又两次对这份大纲进行了修订，制订了《中学数学教学大纲（修正草案）》，与此同时，人民教育出版社以苏联十年制学校的数学课本为蓝本，编译成我国中小学数学教材。
这两份大纲都明确规定了教学目的，例如在“修正草案”中指出：“中学数学教学的目的是教给学生有关算术、代数、几何和三角的基础知识；培养他们应用这些知识解决各种实际问题的技能和技巧，发展他们的逻辑思维和空间想象力；在数学教学过程中，贯彻新民主主义教育的一般任务；形成学生辩证唯物主义的世界观，培养他们新的爱国主义及民族的自尊心，锻炼他们的坚强的意志和性格。”从而使我国数学教学明确了为社会主义建设服务的方向，加强了数学基础知识，基本技能的教学和思想品德教育。同时建立了大纲和教材全国统一的数学课程体制。
但是在学习苏联的过程中，也存在着盲目照搬的倾向，把苏联十年制学校的数学课程内容，放到我国十二年制的学校中来，不必要地延长了算术课的教学时间（苏联算术课学习五年，而我们到初中一年级还要学，共用了七年），而且取消了高中平面解析几何课，降低了我国中学数学教学的水平。
2 教育大革命
由于“大跃进”和国际数学教育现代化运动的影响，全国掀起了群众性的教育革命的热潮。1958年中共中央提出了“教育为无产阶级政治服务，教育与生产劳动相结合”的教育方针和“教育必须改革”的号召，破除迷信、解放思想，发动群众，有不少数学家、数学教育家、大学师生和广大中小学数学教师参加，对数学教学的目的、任务、大纲和教材、数学课程现代化等问题展开了热烈讨论，提出了各种改革方案，进行了各种数学教学改革的实验。1960年2 月在上海举行的中国数学会第二次代表大会，可以认为是1958年开始的数学教育改革运动的高潮和总结。这次大会的中心议题之一是根本改革各级各类学校的数学教育问题。在这次大会上，北京师范大学数学系中小学数学教育改革研究小组提出了《对于中小学数学教材内容现代化的建议》（以下简称《建议》），认为目前中小学数学教材“内容贫乏，陈腐落后；脱离政治，脱离实际；孤立割裂，繁琐重复”，主张：（1 ）数学教学体系必须为社会主义服务，特别是为现代化生产和尖端科学技术服务，因此仔学必须讲授某些近现代数学知识，如解析几何、数学分析、概率论与数理统计等。加强对学生计算能力的培养及计算工具的使用；（2 ）数学教材必须有严谨的理论体系，这个体系应体现理论联系实际的精神，尽量做到数与形的结合，概念与计算的结合，消除人为的对灵活有力工具与恰当运算方法的限制，打破原来各分科的界限，新教材的系统以函数为纲来整理；（3 ）数学教材的份量和难易程度应符合学生的学习水平和认识能力发展的客观过程，概念尽量从实际引入，由具体到抽象，由浅入深，并注意通过培养训练及早为接受较难概念的能力做好准备。《建议》提出以函数为纲，把原来的算术、代数、几何、三角、解析几何等课的材料结合在一起，处理成为统一的数学。
这次大会前后各地提出了各种各样的改革方案，编写了大纲与教材，其中最有影响的是北京师范大学中小学数学教育改革研究小组按上述方案编写的《九年一贯制学校数学教材》，这套教材在北京景山学校及其他省市的一些学校进行了试验，在试验基础上修改成了十年制数学教材。九年一贯制学校数学教材程度提得过高，九年学到微分方程是学生力所难及的，把欧几里得几何作为陈旧落后的典型加以删减，对几何体系完全否定，予以废除，也是过分的。十年制教材延长了学制，减少了内容，这项改革实验一直坚持到1962年。这时在“大跃进”后，贯彻“调整、巩固、充实、提高”八字方针，编写出了通用数学教材，这项试验就停了下来。但是改革中的一些好经验、成功的成果，如强调函数，在中学数学课中增加解析几何的内容，把方程与函数和图象联系起来等，都在通用教材中被采用了。
3 调整、巩固、充实、提高
为了纠正1958－1960年出现的“左”的毛病，中共中央、国务院决定对国民经济进行“调整、巩固、充实、提高”。教育工作在贯彻“八字方针”中，从1961年到1963年也对教育事业进行了大幅度的整顿，认真总结了全面学习苏联和教育大革命的经验教训，1961年和1963年教育部先后两次修订了中学数学教学大纲。1961年10月制订的《全日制中小学数学教学大纲（草案）》提出了确定教学内容的原则：（1）必须选择算术、代数、几何、平面三角、平面解析几何各科中主要方面的基本知识，使学生既全面又有重点地掌握数学的基本知识和基本技能；（2）适当增加在近代科学技术上广泛应用的数学知识，如函数的知识应特别加强，近似计算、概率、视图等知识应适当介绍；（3 ）注意与高等学校的学科衔接，如关于极限的概念在中学就应当引入，长期培养；（4）必须注意反映我国数学上的优良传统和成就。如勾股定理，祖冲之圆周率，祖暅原理，杨辉三角等。这个十年制教学大纲，把初一算术完全下放到小学，平面几何完全下放到初中，高中增加了平面解析几何和概率初步，基本上符合既缩短学制又提高程度的要求。
1963年5月，在1961 年大纲的基础上又编制了十二年制的《全日制中学数学教学大纲（草案）》。这个大纲第一次明确提出要“培养学生正确而且迅速的计算能力、逻辑推理能力和空间想象能力”的要求。根据这个大纲，人民教育出版社编写了十二年制中小学数学教材，包括代数、平面几何、立体几何、平面三角、平面解析几何，从1963年开始使用。当时普遍认为这是建国以来编写得最好的一套教材。和1956年的统编教材相比，它增加了平面解析几何，适当加深、拓宽了数学各科的内容。例如，初中几何增加三角初步知识，高中代数增加了概率初步知识、行列式。增加的内容比较适合我国国情，使我国中学数学教学质量得到稳步提高。
4 十年动乱
1966年到1976年这“十年动乱”中，一切都搞乱了，教育也一样，数学教学遭到破坏，数学教学质量和知识水平降到建国以来的最低程度。
5 新时期的数学课程改革
1976年粉碎“四人帮”以后，我国开始进入社会主义四个现代化建设的新时期。为了适应新时期社会主义现代化建设的需要，数学教学必需赶上时代的要求。根据邓小平同志“用先进的科学知识充实中小学教育内容，吸收国外先进教学内容”的精神，通过对先进国家的数学教学大纲和教材的分析研究，1978年制定了《全日制十年制学校数学教学大纲（试行草案）》，并据此编写了全国通用的数学教材。这份大纲对数学教学内容的确定提出了“精简、增加、渗透”的六字方针， 即：（1）精简传统的中学数学内容。应从传统数学内容中精选参加工农业生产和学习现代科学技术所必需的基础知识，删去传统数学中用处不大的内容；（2）增加微积分以及概率统计、逻辑代数等的初步知识；（3）把集合、对应等思想适当渗透到教材中去。在内容的体系安排上，把代数、几何、三角、解析几何、微积分、概率统计等内容综合成一门数学课，采用混合编排的体系。在数学教学的程度上，初中数学讲完二次函数、二次不等式以及解析几何的一部分（直线与圆），高中数学提高到微积分、行列式、概率、逻辑代数的新水平。但是由于增加了新内容，部分教师的水平一时跟不上，对数学合科教学也不太适应，而且学生负担过重。为此，中央决定把中学学制从五年改为六年，代数、几何分开编排。
由于我国幅员辽阔，各地经济、文化发展极不平衡，针对1978年的大纲与教材与此不相适应的情况，为了大面积提高数学教学质量，对数学教学内容又做了多次调整。1983年11月，原教育部颁发了《高中数学教学纲要》，提出两种教学要求：基本要求与较高要求。在基本要求中又区分为必学内容和选学内容，还编写了甲种本和乙种本两种教材，试行课程设置与教学要求多层次的改革试验，开始迈出了数学教学区别化的步伐，实行数学课程统一性和灵活性相结合。1985年6月， 国家教委又颁发《调整初中数学教学要求的意见》，对教学内容作进一步的调整，例如提出可根据实际情况，把二次函数、一元一次不等式组和一元二次不等式移到高中学习等等。1986年11月，国家教委又按照“适当降低难度，减轻学生负担，教学要求尽量明确具体”的三项原则制订过渡性的《全日制中学数学教学大纲》。将微积分初步、概率、行列式和线性方程组改为选学内容。理论要求有所降低，例如对方程、不等式同解原理，不要求学生判别两个方程或不等式是否同解。对习题的难度也作了规定。
1988年1月， 国家教委制订《九年制义务教育全日制中学数学教学大纲》，在数学教学的目的方面将实现由升学教育向公民素质教育这一根本性的转变，为数学课程改革指出明确的方向。在内容方面强调知识面要宽些，难度要适当降低些，要求也越来越具体明确。国家教委按这个义务教育数学教学大纲组织编写了适应不同地区（沿海、内地）、不同学制（“六、三制”、“五、四制”）的五套数学教材，经国家教委中小学教材审定委员会审查通过后，从1993年开始在全国试用。
与此同时，国家教委支持上海针对发达地区城市的需要，不受义务教育教学大纲的限制，编制了《九年制义务教育数学学科课程标准（草案）》，并据此编出了全套（18册）数学教材，在上海地区进行实验。这套教材贯彻了上海市课程教材整体改革的思想，力求做到全面提高学生素质，减轻学生过重负担，把培养社会主义事业接班人的任务放在首位，并体现经济、文化比较发达地区的特点，在实验中取得了良好的教学效果。国家教委还支持浙江省针对农村的需要制定数学教学大纲，编写体现农村特点的数学教材，进行实验。
此外，还有几套中学数学实验教材。例如按照项武义教授的设想组织编写的《中学数学实验教材》，以“精简实用，反璞归真，顺理成章，深入浅出”为基本指导思想，精选基础数学的内容，注重通性通法。体系安排与教材处理上注意逻辑顺序与认识程序相统一，知识教学与能力培养相统一，完整性与发展性相统一。教材通过十多年在一些重点中学的实验，取得了良好的效果。初中部分已通过国家教委中学数学学科审查委员会审查，推荐在全国条件较好的学校试用。另外中科院心理研究所卢仲衡主编的《初级中学数学自学辅导教材》也通过审查委员会审查在全国试用。
1996年国家教委编订了《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》并编写了教材，从1997年9月开始在江西、 山西和天津进行试验。这个新大纲精简了内容，更新了部分知识、讲法和技术手段，增加了灵活性而且重视数学应用。比如删减了幂函数、指数方程、对数方程、部分三角恒等变形公式、反三角函数、三角方程、立体几何中的面积与体积计算等，增加了简易逻辑、平面向量、空间向量、概率统计、微积分初步等。实行三种不同的要求，高中一、二年级的教学内容和教学要求相同，作为共同的基础。高中三年级分三种不同的水平即文科、实科、理科三种水平，打好分流基础。
从以上简单的回顾，可以看出，我国的数学课程经历了多次重大变革，实施义务教育以来，我国的数学课程已经进入独立发展的阶段。虽然仍有“全面学习苏联”的痕迹，但是毕竟建设起了符合我国国情的中学数学教材体系。然而面向新世纪的挑战，中小学数学课程将面临重大改革。教育部《面向21世纪教育振兴行动计划》提出了实施“跨世纪素质教育工程”，建立新世纪基础教育现代化课程体系的任务。正组织制定新的数学课程标准。编写新的教材，2001年暑假以后已开始试验。可以预见，在不远的将来，一个适应新世纪社会发展的新的数学课程体系即将在我国诞生。
我国中小学数学课程发展的思考
新世纪社会、数学、教育这三个主要方面都有很大发展，预示着数学课程必将有重大改革。这里我们将综合一些研究成果或有倾向性的预测，展望一下新世纪的数学课程。
1 90年代数学课程的特点和发展趋势
“新数”运动以后，人们对数学教育改革进行了认真的总结与反思。80年代以来数学课程理论研究不断深入，数学教育观念有了很大变化，数学教学的内容和体系不断地改革。回顾数学课程的演变，比较各国的数学课程尽管存在各自的特点，但它们有着许多共同点，反映了数学课程发展的主要倾向。这些共同特点，概括地说大致有：
1.数学为大众。面向全体学生，建立大众数学。注意提高人的素质。更多地考虑满足日常生活和就业的需要；
2.区别化。注意学生个性、兴趣、能力的差异，实行区别化，包括实行水平区别化与分流区别化；
3.注重应用。问题解决成为数学教学的核心，注意数学建模能力的培养；
4.充分使用计算器和计算机。它既为数学应用提供了广泛的可能性，同时也带来了数学教学内容的变化。注重算法、估算和近似计算；
5.注意学生的活动，尤其是探究活动。注重过程，而不仅仅是结果；
6.灵活性和统一性结合。西方国家从原先过度的“自由化”逐步走向统一，建立国家统一的课程框架；前苏联（俄）、日本、中国等国家则由以往统得过死开始注意一定的灵活性，如采用“一纲多本”、“必修加选修”等形式；
7.评价（包括目标、手段）引起高度重视。
2 条件的重大变化
社会、数学、教育的发展对数学课程发展有重大影响。在研究新世纪的数学课程时，首先要从分析推动数学课程发展的条件的重大变化开始。
2.1 数学的社会需要有很大改变
随着经济适应信息时代的需要，每个部门的工作人员都必须懂得计算机控制过程。现在大多数职业都要求从业人员具有分析能力而不单纯是机械的操作技能，所以绝大多数学生需要更多的数学能力作为普通职业的准备。同样，在每天的报纸和公众的政策讨论中都广泛使用图表、统计数据，为了更有效地参加社会生活，不能不要求普通公民具有更高标准的数量意识。市场经济需要人们掌握更多有用的数学。随着承包制、股份制、租赁制的进一步推行，市场经济的逐步完善，无论是城市还是广大农村，生产者也将成为经营者，因而，成本、利润、投入、产出、贷款、效益、股份、市场预测、风险评估等一系列经济词汇频繁使用，买与卖、存款与保险、股票与债券、…几乎每天都会碰到，相应地，与这些经济活动相关的数学，如比和比例、利息与利率、统计与概率、统筹与最优化以及系统分析与决策……就应成为中小学要学的数学了。
科学技术的迅速发展，特别是信息时代的到来，要求人们具有更高的数学修养。随着计算机的发展，数学深入到各行各业，并且物化到各种先进设备之中。从卫星到核电站，从天气预报到家用电器，高技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的，所以高技术说到底是数学技术。高科技的发展、应用，把现代数学以技术化的方式迅速辐射到人们日常生活的各个领域，智能机器人、办公自动化以及计算机储蓄、售货和个人电脑等电子产业将高速发展，到新世纪，一个普通老百姓是“计算机盲”，将会像现在的文盲一样不适应现代生活。
生活中需要越来越多的数学语言。各种统计图表、数学符号向各行各业的职工传递着大量信息。
2.2 数学及其应用有很大变化
最近二三十年来，数学的性质及其应用的途径发生了巨大变化。不仅发现了许多新的数学领域，而且应用数学的范围大大扩充了。最显著的是计算机的发展和计算机应用的爆炸性的增长，它们绝大多数都要求发展新的数学。同样，与广泛应用相联系的几个主要数学分支产生了大量思想财富。学生必须学习这些应用中使用的数学，以便运用数学的威力去解决实际问题。
数学的发展使人们对“数学是什么”的认识有变化。数学是一门科学，观察、实验、发现、猜想等科学方法在数学研究中有重要的作用，尝试与纠错、假设和调研以及度量和分类是数学家常用的一些技巧，学校应当教。实验作业和实习作业对于理解数学是什么及其如何使用不但是适宜的，而且是必需的。
像生物是有机体的科学、物理是物和能的科学一样，数学是模式的科学。通过它的所有表现形式－数、数据、形、序，甚至模式本身来划分、解释和描述模式，数学确信科学家遇到的任何模式都可以在某处解释为数学实践的组成部分。
数学也是一种交流形式。数学不仅是一门科学，而且也是一种语言。数学科学现在是自然科学、社会科学和行为科学的基础。由于计算机和世界范围的数字式交流的支持，商业和工业都越来越依靠现代数学的分析方法。数学可以作为商业和科学的语言，是因为数学是描述模式的语言。用它的符号和句法、词汇和术语，数学语言是交流关系和模式的通用工具，它是一种每个人都必须学习使用的语言。
如果说数学是模式的科学和语言，那么要学懂数学就应该研究和表示模式之间的关系：在复杂、模糊的环境中辨明模式；理解并变换模式间的关系；对模式分类、编码、描述；用模式的语言读、写；使用模式的知识去达到各种实际目的。要掌握模式的多样性，数学课程需要介绍和发展多种不同类型的数学模式。数学要研究的模式并不限于算术法则，所有中小学数学里研究的模式必须打破人为的限制。
一个搞数学的人，他搜集、发现、创造或表达关于模式的事实和思想。做数学是一种创造性的、活跃的过程，和被动地掌握概念和程序很不相同。事实、公式和信息有多大价值，只有看它在多大程度上支持有效的数学活动。虽然有些基础的概念和程序所有学生都必须知道，但是学数学要追求去理解、去交流，而不仅仅是去计算。通过展开模式的基本原理，数学可以使大脑成为处理现实世界问题的有效工具，从这些观点能够为新世纪导出有效的、能动的中小学数学课程。
2.3 新技术的作用有很大变化
计算器和计算机已经深刻地改变了数学世界。它们不仅影响到什么数学是重要的，而且也影响到如何做数学。例如对发展常规计算技能的重视程度应降低，以便有更多的时间发展对数学过程的理解力。中学里应加强估算和口算，一个学生能准确作2507×4131的乘法和能够说出结果大约是一千万，哪个更重要呢？常常是一个近似的答案不仅已经足够，而且比精确的答案需要更多的洞察力，而且近似答案可以给精确结果提供快速检验。
计算器和计算机不仅改变了什么数学重要，而且也改变了数学应当如何教。它们把困难的变得容易，使不可行的变得可行。例如，计算机能够显示和操作二维、三维的形状复杂的数学对象。使用计算机，学生能够解决与他们的日常生活有关的现实问题，能够激发他们对数学的兴趣。计算机把教师解放出来，去完成只有教师才能完成的任务，如与学生一起去探索、猜想。计算机提供了一种动态的、画图的手段，它还提供了许多有效的途径去表达数学思想。
新技术使数学更加现实。计算机出现之前，不少现实问题所要求的计算难以完成，有了计算机，计算不再是障碍了。只要问题能被掌握，就能解出。实验中得到的现实数据可以得到分析处理，表达重要的物理现象的方程可以解出，许多精深的概念用计算机比用其他任何工具更易于理解。
2.4 对学生学习的理解有变化
学习不再看成是一种被动地吸收知识，并通过反复练习强化储存知识的过程，而是学生用原有的知识处理新的任务，同化新知识，并构建他们自己的意义。再者，一些思想、概念在记忆里不再是孤立的，而是有组织的并且和他过去用的自然语言及遇到过的情况相联系。这种对学习的积极的、建构性的观点必须在教数学的途径中反映出来。
3 建立新数学课程的原则
新的数学课程的形式可以多种多样，但它应该遵循一些基本原则。这里我们介绍美国数学科学教育委员会在《重建中小学数学》一书中提出的几条原则：
原则1.数学教育必须着眼于发展数学能力
数学能力使学生理解数学概念和方法，并且在各种情况下辨明数学关系。它帮助学生逻辑地推理，解决各种常规的和非常规的问题。数学能力要求学生能够用数学方法阅读文献，能够用口头和书面的形式表达数量关系，进行逻辑分析。
数学能力强的学生能够在他的职业和日常生活中运用数学。他们是数学思想的明智使用者，接受或者拒绝表面上有数学论证的主张。他们会数学地看问题，知道什么时候数学的分析有助于解释清问题。他们有充分的数学知识去选择职业和进一步学习要求精通数学的学科。
数学能力包括交流数学的才能。除了知道如何解决问题外，学生还必须会阅读并理解数学课本，并会口头和书面地把数学研究和问题解决的结果向别人表达。因此，数学课程必须提供适当的情境，使学生能够学习读数学、写数学、谈数学。
原则2.数学课程自始至终都应当使用计算器和计算机
学生只有把数学看成配称现代的科目才能获得数学能力。新课程教材的设计必须考虑到科学技术的进一步发展而不断改革。在数学教学中，如果学生不积极参与数学的实际活动过程（猜想与论证、探索与推理、问题的提出与解决、计算与检验），往往不可能得到真正的理解。计算器功能像“快笔”，能够使数学过程比用纸笔更准确有效。同样，计算机能使学生算得快，画得快，能快速地模拟过程，这是使用其他手段所难以作到的。因此，使用计算器和计算机的教学比传统教学更有潜力，更能使学生获得深刻的理解。
原则3.恰当的应用应当是课程的有机组成部分
学生需要在自然地产生数学思想的情境（从简单的计算和度量到商业和科学中的应用）中体验数学思想。计算器和计算机能使课程中引进实际应用。
一项应用是否恰当，重要的标准是看它能否引起学生的兴趣，能否激发他们的数学思维。有吸引力的数学应用应当取自儿童生活的世界，取自社会事件，或课程的其他部分。不仅取自自然科学，也要取自商业、地理、艺术和其他科目。
教学的基本目的应当是使学生在反映实际应用的情境中使用数学工具。数学思想应在有意义的数学活动的情况中呈现和发展。
原则4.课程的每一部分都应当由其本身的价值来证明其必要性
数学提供了如此丰富、有趣、有用的思想，以致难以挑选。虽然，有许多概念或技能在现在课程中是有效的，但我们不能把“现在课程中已经有了”作为这个课题应当保留的主要理由。我们需要“从零开始”，仔细考察论证其必要性。
修订课程不应当只是增加更多的课题，而是应当确立重点。有些重点应当取消，有些要增加，有些要保留。即使对于确实要保留的重点，现代应用或现代技术可以作十分不同的处理，一种新颖的处理方法，往往可以避免思想僵化，促进必要的改革。
原则5.各级的数学教学都应当促进学生积极参与
恰当使用新技术要求有新的数学教学方法。使学生成为更积极的学习者。除了使用新技术之外，对于学生如何学习的研究提出了更多的教数学的有效方法。数学教学必须适应这两方面的发展。大多数的数学教学不再适于传统的教师讲学生被动地听的模式。
没有单独的一种教学方法，也没有单独的一类学习经验能够发展各种数学能力，需要的是各种活动，包括学生之间的讨论，实习作业，重要技术的实践，问题解决，日常的应用，调查研究以及教师讲解。此外课堂活动应当给学生提供充分的机会，用口头和书面的数学语言彼此交流。
教师应当是催化剂，他帮助学生学会自己思考。他们不应当只扮演教育者，只是告诉学生正确方法。有这样一个有用的比喻说，教师是一个明智的辅导员，不同的时间，要求教师充当以下几个不同的角色：
模特儿。他不仅演示正确途径，而且也演示错误的开端和高级的思维技能，引导去解决问题；
顾问。他帮助个人、小组或全班决定他们的工作是否紧扣主题，进展是否合理；
仲裁人。他提出问题让学生考虑，但把决定留给全班去做；
对话者。他支持学生在班上发表意见，鼓励他们靠自己的活动去作出反应，靠自己去探索数学；
询问者。他鞭策学生弄清楚他们做什么才是合理的、有目的的，使学生确信他们能够捏卫自己的结论。
4 新数学课程的构造性框架
数学教学有几种非常不同的目的，它们是数学在社会中的作用的反映。它们是：
实用目的；帮助个人解决日常生活问题；
公民目的：使公民能够明智地参加公民事务；
职业目的：为学生找工作、就业或学业务做准备：
文化目的：传递人类文化的主要要素。
这里要谈的目的是前面所述的一般原则的具体化，它们可以为新的数学课程提供一个构造性的框架。
4.1 小学数学的基本目的是发展数的意识
学生用数值信息有效地说理的能力要求有以下的体验：
表达—用数表达数量和数量关系的能力；
操作—熟练—维数的算术；决定适当的算术程序的能力，熟练估算；选择适当的方法进行复杂计算的经验；
解释—从数据中抽取结论的能力，检验数据和结论的正确性和合理性的能力。
小学数学教学应当使用具体材料、计算器和计算机软件。应当强调口算，特别是估算多位数计算的结果，同时应当大大削减教多位数、分数和小数的传统笔算方法的时间。用这种观点处理小学的算术课程将同今天教的普通算术有显著的不同。今天小学数学的中心任务是发展整数、分数、小数的各种运算的手工技巧。要根本改革小学数学课程，不再强调上述课题，而应增加说理、发现模式、辨明正确程序以及抽取结论的机会。这样安排重点小学数学课程将会使数量推理的水平获得惊人的提高。
4.2 小学数学应当打好各方面的数学基础
为学生升学、就业和日常生活作更好的数学准备，小学数学必须包括比算术更多的课题，如：
1）几何：包括二维、三维图形的性质，对称和全等， 几何图形的作图和变换；
2）度量：包括度量单位，报时，量温，算钱；
3）数据分析：包括搜集、整理、表示和解释数据； 制作统计图表；用数据去作分析和预测；
4）概率：介绍简单的试验和数据收集；
5）离散数学：包括组合的初步思想和用图作问题模型。
每个这样的课题都能使小学数学课程更有趣，更适合学生。几何提供了观察物理世界的窗户。而通过计算机画图更提高了明显程度。在数学中，也和在生活中一样，一图值千言。度量能为即便是很年轻的儿童提供有意义的应用，并加强数的概念。数据分析提供了有趣的、合适的问题的来源。概率也是如此，它还能和熟悉的游戏相联系，特别是和计算机联系。
另外，数学应当是综合的，使得不同领域间的关系得以领悟，混合加强。例如，应加强算术在几何和概率中的使用，以及几何概念在数据表示中的使用。
4.3 在教学和评估中都应使用计算器
计算器在学校数学中一开始就应当作为设备使用，儿童用它来发现数的关系和解决问题。不动脑子的训练用纸笔和用计算器是一样的，但是用计算器便于学生进行发现和探索的活动，这是用纸笔计算难以作到的。数学教师利用计算器进行教学有助于学生获得理解。
4.4 学生应当使用现实事物和现实数据学习数学
观察对数学和对科学一样是基本的。儿童学习数数和算术时需要摆弄现实的东西。儿童学习数学要发展长度、面积、体积和形状的正确直觉必须画图、切割、折叠、灌注、度量。
各年龄段的学生都必须经常探索学校数学中学到的比较原始的模式和纷繁的现实世界实际资料数据间的关系。现实数据比编造的更可信。收集数据的行为，不管是测量的、数出的、民意测验的、实验的、还是计算机模拟的数据，都可以丰富学生的学习活动。而且度量出的数据和计算出的数据之间，即理论的和实验的数据之间的交流有利于获得完整的数学科学。
4.5 中学数学应当强调实践的数学能力
如果说教学是要给学生数学能力，那么在各年级都必须始终强调问题解决。学生需要领会比教师教的更多的数学。推理训练能使学生接触并解决日益困难和复杂的问题。在整个数学课程中重要的是强调问题而不是练习。
扩充小学数学课程有个重要的涵义就是进入中学数学。中心应当是日常生活中的数学。一个富有激发性的主题，可以自然地导出许多重要的数学课题（如数据分析、几何度量、利率、电子数据表分析）。理解小学数学的概念对于学习中学数学是根本的，然而，不应当把笔算的熟练程度作为评定学生进一步学习的准备程度的标准。
4.6 应当加强学校数学与其他科目的联系
数学发展的动因与科学有关，在学校里数学和它的应用之间有着可贵的纯朴的联系。数学的应用已经远远超越了自然科学的范围。已扩展到社会科学、地理、各种职业以及商贸领域。在探索的情境中儿童可以学到很多数学。高中学生需要在数学课上自己去体验应用，也需要在其他课上运用数学。
数学是科学的语言，是模式的科学，数学和科学之间的特殊关系远比理论和应用之间的联系多。数学和科学研究的方法都集中注意探索、调研、猜想、证明和推理。科学与数学之间的学校这条纽带应特别帮助加强学生对这两个领域的掌握。
4.7 中学数学课程的重要目的之一是发展符号意识
从具体对象到抽象符号是小学过渡到中学的一个特征。发展正确而熟练地使用符号和其他抽象名称（可能是几何的、代数的或算法的）的能力是中学数学课程的中心目的。学生有效地使用符号进行推理的能力要求有以下体验：
表达—用符号形式表达数学问题并在关系、式子和方程中使用这些符号表达式的能力；
操作—确定适当的符号程序并选择适当的方法解决用符号形式表达的问题的能力；
解释—用符号系统推理、得出结论并检验所得结果的准确性和合理性的能力。
计算器和计算机在发展符号意识中起着重要作用。在中学应从强调操作技能转到强调理解和问题解决。新技术对中学课程的影响将是发展高级软件，使学生能够发展模式而不仅仅是符号操作。
4.8 中学数学应当引进整套数学科学
中学数学要为学生就业、升学、为作公民做准备，课程应当包括充分反映数学科学威力的广泛的课题，例如：
1）代数：包括一般算法和各类函数（多项式函数、三角函数、 指数函数、对数函数）；
2）几何：包括变换几何、向量几何、立体几何和解析几何；
3）数据分析：包括不确定性的度量、概率和抽样分布、 推理论证：
4）离散数学：包括组合论、图论、递推关系、递归， 它们都要强调算法思想；
5）最优化：包括数学建模、“如果…会怎样”（what if）分析、系统思想和网络流程图。
4.9 学生应该领悟在数学中推理论证是确定真理性的准则
学会理解和建立逻辑的、首尾一贯的数学论证是学校数学的主要目的。应该看到，欧几里得几何不是数学生推理的唯一载体，代数和离散数学都为论证提供了很好的机会，甚至流程图和电子数据表也能用来说明数学论证的逻辑性质。
比熟练的形式证明更重要的是，从各种基本例子中理解数学真理是逻辑的而不是经验的。少年儿童能够从算术的基本经验中培养逻辑意识。一旦理解了符号，许多基本思想就可以证明，并且常常可以用多种方法证明。
5 新数学课程设计中的几个问题
5.1 关于教学内容
教学内容的变革是数学课程演变与革新的重要方面之一。各国的大纲在教学内容上存在很大程度的一致性，特别是在算术、度量、代数方面没有很大的差异。1985年ICMI（国际数学教育委员会）在斯特拉斯堡（Strasbourg）召开会议，在讨论“计算机和信息论对数学及其教学的影响”时认为“在中学数学课程中代数仍然处于极其重要的地位，然而值得注意的是不应使学生完成大量的代数运算训练（例如在多项式代数中），而应使学生懂得在许多场合下代数是解决问题的自然工具，但是运用公式和其他代数表达式的能力仍然是必需的”。
在学校课程里，没有哪个数学领域像几何那样引起数学家的广泛关注。近30年来，几何教学经历了一次总体的转变，这种关注也得到了许多数学教育工作者的响应。对于新数学课程几何内容的设计，1986 年ICMI科威特会议提出：人们大致会面临三种可能的选择：
第一种选择：放弃那种几何应该或能够在学校中作为一个知识体系来处理（演绎地或非演绎地组织）的想法，在这种体系中，各种概念和结论之所以要学，仅仅是因为它们属于这个体系。代之以把几何与空间看作在各种水平上为多种创造性活动提供极好话题的来源，还应通过提供代数方法使几何教学服务于生活。
第二种选择：仍然试图在修改过的欧几里得几何或变换几何的基础上进行公理化或拟公理化的学校几何课程教学。
第三种选择：在普通课程中给有些学生至少提供几何的孤岛，即局部的演绎系统（例如关于圆的角的单元，关于初等射影几何的单元）。
计算器在新的数学课程中应起重要作用，计算机将带来数学课程重点的改变，特别值得注意三点：一是算法，它需要更加强调，虽然计算的复杂性的理论不能进入学校，但要注意比较解决同一问题的不同算法的效率；二是离散数学，对离散数学－布尔代数、差分方程、图论－的兴趣已经有了很大的增长，要求在中学课程中引入更多的离散数学，甚至使得传统上对微积分的强调，无论在中学或大学中都成了问题。虽然未必会导致取消微积分教学，但是微积分教学必定要改革；三是符号操作，现在有些微机用的软件可以有效地进行学校所教的全部微积分的运算－微分、分部积分、换元法、展开成幂级数－并且还能处理学校所教的多项式代数的大部分内容，那么是否仍有必要教学生去做那些计算机能做的事呢？
教学内容的另一个问题是“大众数学”（Mathematics for All ）的研究。从1984年开始，大力研究把中小学数学同“民族数学”（Ethnomathematics）结合起来，搞面向大众的“大众数学”运动。要回答的一个主要问题是数学是否应该保持在为大众的中小学课程中的核心地位？可能有四种选择：一是否定的回答，认为不能对每个人都教“纯数学”；二是肯定的回答，但必须设计好；三是肯定的回答，但未必所有的人都学懂；四也是肯定的回答，但要设计区分的课程，对不同水平的学生区别对待。
从我们20多年《中学数学实验教材》的实验研究中体会到，中学数学教学内容应当精选传统数学那些普遍实用的最基础部分，这就是理论上、应用上和思想方法上都是最基本的、长期起作用的通性、通法。对于那些理论上虽有一些作用但发展余地不大，或没有普遍意义和使用价值，或不必要的重复与过于繁琐的内容，作了较大精简或删减。基础数学可以归结为四套简朴好用的运算和运算律。代数学的基础在于数的运算和运算律；几何学的基础在于向量的运算和运算律；逻辑学（即思维法则）的基础在于命题的运算与运算律（与集合的运算同构）分析学的基础在于微分、积分运算与运算律。中学数学应当是代数、几何、分析、概率统计和离散数学几科恰当配合的整体。应当从这几科中精选内容。代数的重要内容主要是数系：有理数系、实数系和复数系，最普遍有用的是数系的运算律；多项式运算：多项式的加、减、乘和单元多项式除法，综合除法，余式定理；解代数方程：解低次方程主要用运算律、配方法，解高次方程主要采用函数观点，不等式，线性方程组，行列式，矩阵；待定系数法。几何的重要内容是教学生学习演绎法，重点在于让学生逐步体会空间基本性质的本质和用法。例如等腰三角形定理的本质在于平面的轴对称，其基本用场在于边等与角等的互相转换；平行四边形定理是欧氏平面具有平移的具体表现；相似三角形定理是相似形的基本定理，而相似变换是欧氏平面上常用的特性；而勾股定理则是把边角数量化的基础，这四大定理是平面几何的重点，它们也是把空间结构全面代数化的理论基础，用向量把几何学全面代数化，向量几何，解析几何及其原理，这就是整个几何课的重点，几何选了向量（二维、三维）、平面三角、立体几何、坐标几何。分析的重点内容，除函数（含指数函数、对数函数、三角函数）、极限、连续等分析学的基本概念之外，变率是要紧的概念，分析学中最基本的方法是逼近法，微积分选了极限、导数、积分。概率统计选了概率初步与数理统计初步。
5.2 关于课程的结构
课程改革不仅是内容问题，还有课程的结构问题，即要回答“如何构建课程才能不仅易学，而且符合教学目标？”“只是学结果呢，还是要学过程？”数学课程应该以数学过程为基础，而不是像现在这样以学科内容为基础来重新编制。数学是一系列的过程，学校的任务是帮助学生去“数学化，”因此，不仅要确定哪些课题对于中学生是必不可少的，而且更重要的是选择哪些过程可能会更好地为提高公民的素质服务，以及什么学校实践可以帮助学生学习这些过程。
在一个计算机化的社会里，这些过程也包括：比较、分类、排序、符号化、一般化、…等等。所有这些都可以归入“数学化”这个术语之中。如何才能发展数学化的功能呢？过程能够作为数学课程建构的实际可能的基础吗？等等仍然是值得研究的课题。
从《中学数学实验教材》的实验研究中我们体会到，要从历史发展程序和认识规律出发，自然地处理课程教材，力求顺理成章、深入浅出。注意提前渗透后面的重要概念和思想，为后面的学习预先作好准备，使学生易于接受。同时兼顾分析、综合、归纳、演绎几种方法，使学生真正掌握数学的精神实质和思想方法，培养学生的思维能力。数学的历史发展经历过若干重要转折，学生的认识过程与历史发展过程有一致性，教材与教学也要着力采取措施引导学生合乎规律地实现那些重大转折。使学生的数学学习由一个高度发展到另一个新的高度。中学数学中突出了五个转折。
由算术到代数是第一个重大转折。关键在于灵活运用运算律，整个代数学的基本主题就是以通性求通解。从算术进化到代数，关键性的突破点就是发现了如何运用数系通性（运算律）去解简单的代数方程这个原理。多项式的产生则是后来进一步把上述解方程的原理加以形式化的结果。实现这个转折，重要的是要向学生讲清代数的基本精神是灵活运用运算律谋求问题的统一解法。由实验几何到论证几何是第二个重大转折，要对空间的基本概念和基本性质加以系统的观察、分析与实验，建立“空间通性”的一个明确体系，达到“探源、奠基和启蒙”三个教学目的，然后引进集合术语并借助集合和描述集合的特征性质之间的关系来说明性质之间的逻辑关系，即以集合作工具，讲清一些基本逻辑关系、推理格式再转入欧几里得的推理几何。第三个转折是从定性几何到定量几何，即从综合几何到解析几何。要对几何谋求统一解法，出路在于代数化。用代数工具去研究几何问题是数学史上一个创造性的成功。首先要把一个几何量代数化，位移是基本的几何量，加以抽象就得到向量的概念，然后运用欧氏空间特有的平移、相似与勾股定理等基本性质引进向量的加法、倍积与内积这三种向量运算。这样就把空间的结构转化为向量与向量运算这种代数体系。向量的运算律也就是代数化了的几何公理，这样就把空间的研讨彻底地推进到有效能算的水平，实现从定性几何到定量几何的转折。第四个转折是从常量数学到变量数学。从常量数学到变量数学，在概念和在方法论方面都有相当大幅度的飞跃，需要早做准备，初中二年级已有三角函数的初步概念，初三正式研究各种函数，到高一、高二的代数与解析几何中，就逐步地讨论到连续性、实数、切线等概念。数列、逼近的思想也早有渗透，到高三进一步突出逼近法研究极限、连续、微分、积分等变量数学问题，实现到变量数学的转折。第五个转折是从确定性数学到随机性数学的转折。通过排列组合引进古典概率计算，过渡到随机性数学的初步研究。这样，既遵循历史发展的规律，又突出了几个重大的转折关头，缩短了认识过程有利于学生掌握数学思想的脉络，提高数学教学的思想性。
5.3 关于数学的应用
近年来，对于应用，对于使数学教学结合实际，对于数学模型的教学已经引起人们的关注与讨论。在历史上，数学教学几乎总是与各行各业联结在一起的。只有随着中学和大学的学院化，数学与现实的联系才被忽视或受到歪曲。
教应用和使用现实生活例子的问题，仍然是有待解决的问题。应用在数学教育中有许多解释，正如知识有许多水平一样。应用能够为各种目的服务，在设计新的数学课程时，对这些应用加以区分是重要的。有些问题并不真正是现实生活的问题，但是它可能具有重要的教育价值，也可能养成学生应用数学的技能，不能一概否定。还有一类传统的例子是过分现实的，是直接从职业中拿过来的，如税收、簿记、联系特殊工业的数学，如“三机一泵”这样的例子，这就提出了一个谁的实际的问题。这些例子只是社会的一些特殊的需要，不足取。就算排除了这类实例。还会有多种形式体现应用。比如守门员如何站位才能缩小对手的射角？攻球员应当把球带到离球门多远射球才能取得最大的射角？这些问题把数学与实际问题联系在一起，对某些学生有吸引力，能引起他们的兴趣，但这并不是真用数学去解决问题，没有哪个球员会这样去计算他们站立的位置去守门或攻球。这种例子提供了数学与现实世界的联系，在一定意义下，使所学的数学合理化，但它们未必能激发学生学习数学的动机。数学的重要性并不在于这种应用。
更重要的是，这种联系不可能总是结合学生实际的。 正如卡森（Carson）所说：“现实是主体和时间的函数，对我是现实的，对别人未必是现实的；在童年时代是现实的，在现在就不再是现实的了。”这就表明，要使课程有应用性是一个复杂而长期的任务。
前面说的都是用来为数学教学服务的现实例子。当数学用来为现实服务时，情况就完全不同了。它是用数学去描述、理解和解决学生熟悉的社会现实问题，这种问题不仅有现实意义，而且不局限于数学一科，还要用到学生多方面的知识。
现在有一种愿望，希望在中小学引进跨学科的、以社会为基础的设计，在这种设计工作中，学生会看到数学如何才能用到真正的现实生活问题上去，并且可望获得进一步学习的动力，自然地产生建立数学模型的机会。
新时期的数学课程不仅要求提供适合于学校里进行教学的应用的实例，而且要求更深入地研究各类应用的教育目的与正确性。教会学生如何应用，是新时期数学课程的一个主要目标。这里有三种可能的选择值得考虑：第一，数学应用在数学课内，这种应用可以直接引起动机，但要求学生具有数学以外的知识；第二，数学应用在其他课内，它能使数学与其他学科如物理、生物、地理等联系起来，但会出现能否协调和配合的问题；第三，数学应用于跨学科的设计中，它有利于实现长远的教学目标，但由于要求协同工作，往往会与传统的课程组织形式发生矛盾。
5.4 关于问题解决
问题解决是数学教育改革的一个热门话题，研究范围也在日益扩大。美国的课程标准曾把问题解决作为一切数学活动的组成部分，应当成为数学课程的核心，整个数学课程都要围绕问题解决来展开；日本已把问题解决纳入《指导要领》；英国也把问题解决作为一种数学教学模式和指导思想来对待，SMP还为A水平数学专门设计一个单元“问题解决”，并编出了教材。面对文化压力的增大和新技术的挑战，问题解决越来越显得重要，要通过教育中更大问题的解决方法去开发学生的智力，以满足迅猛发展的技术革命的要求。这里的原则是：如果我们不能预测明天需要什么，那么最好的回答是用思想武器武装下一代去面对新的挑战，当然不能低估实现这种措施的困难。和60年代的“新数”运动不同，“新数”至少是受过大学训练的教师是了解其内容的，而问题解决对绝大多数人来说是全新的课题。
有些研究建议通过数学建模把更多的问题解决因素引入高中数学：“我们确实要学生能把数学技能用到实践中去，而且只有通过活跃的问题解决才能作到这一点，问题可以是现实的，也可以是纯数学的，其共同点都是要为学生提供这样的机会：应用他们的数学技能；小组活动；表现创造性、想象力、革新精神和批判性；激励进一步的数学学习。”