从“直接探索”到“几何直觉”--对类型区问题解决方案的分析_数学论文

从“直接探求”到“几何直观”———类面积问题的解答探析，本文主要内容关键词为：探析论文,直观论文,几何论文,面积论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      动态问题是初中数学非常重要的一类题型，因其综合性强、涉及知识点多、解答能力要求较高等特点，一直受到命题者的青睐.随着研究的深入，其考查方式也在不断地创新，如从函数图象的视角将动态问题设计成选择题，使其成为潜伏在全卷中的一个难点.本文笔者以图形运动引起部分面积变化的选择题为研究对象，对其解法进行探究，供同行参考.

      一、直接探求

      根据选择题的特点，探究时我们结合排除法或把各选项的部分函数图象补全等方法进行辅助分析.

      例1 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，平行于对角线BD的直线l从O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S，直线l运动的时间为t（秒），图2的图象中能反映S与t之间函数关系的是（

       ）.

      

      

      解答困惑：（1）对于什么是“直线l扫过正方形OBCD的面积”理解不清；（2）当直线l越过BD之后，扫过部分的面积应如何表达感到茫然.

      思路点拨：（1）理解、分类.这里的动态组合是静止的正方形与平移的直线l，所谓“直线l扫过的正方形OBCD部分”就是指直线l平移过程中经过或覆盖在正方形OBCD的部分的面积，操作可以发现，其图形开始是一个等腰直角三角形，后来变化为一个五边形OBEFD（如图3）.

      

      

      

      变式1 如图4，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止.设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是图5中的（

       ）.

      

      解答困惑：在把小三角形移出大三角形的过程中，对重叠部分面积逐渐减少的情形在选项B和选项C之间徘徊，拿捏不定.

      

      二、几何直观

      在问题提供相关数据的情形下，依据上述方法确定选项，固然是比较理想和可靠的，但往往会耗时过多，在考场上不宜采用.根据选择题题型的特点，小题不大做，运用几何直观探索解决问题应当是一种更有实效性的解题思路，对于题目中没有提供数据的情况更适用.

      

      例2 如图6所示，已知等腰梯形ABCD，AD//BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是图7中的（

       ）.

      

      解答困惑：（1）各选项中的图象信息初看区别不明显；（2）没有相关的数据，难以捕捉与把握阴影部分面积的变化情况.

      

      （2）直观感知.当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；当直线l经过AD段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；当直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小.

      综上，直线l在BA段扫过阴影部分的面积在图象上的体现就是开口向上的抛物线的一部分；在AD段扫过的阴影部分的面积在图象上的体现就是一条上升的线段；在CD段扫过的阴影部分的面积在图象上的体现就是开口向下的抛物线的一部分.由此可得选项A正确.

      本题的运动系统由直线与梯形组成，实际上也是三角形与四边形之间的运动.对于三种不同状态的函数图象，在没有数据的情况下，抓住图形面积变化的本质，采用几何直观能够更快地获得答案.例1及变式1，也可用几何直观方法来做判断.

      在例1中，当动直线l扫过的部分开始为等腰直角三角形时，如下页图9（1）所示，阴影部分的面积越来越大，且增大的速度越来越快，对应图象是开口向上的抛物线上升的那一部分；当越过对角线BD之后，扫过的部分为梯形，可转化为“定值+变量”关系，如图9（2）所示，阴影部分的面积越来越大，且增大的速度越来越小，对应图象是开口向下的抛物线上升的那一部分.结合各选项图象，只有选项D符合.

      

      动态问题中，由图形的运动形成的图形的面积问题，具有很强的张力，既可改编为更有难度的解答题，也可以以选择题或填空题形式来呈现.就选择题型而言，既要从函数角度来研究面积的变化，还要从几何直观与求函数解析式相结合的角度深入思考与研究.当然，考试中如果遇到此类选择题，几何直观的解答方式是我们的首选.以下变式2可供读者进一步研究、领悟.

      变式2 如图10，点G、E、A、B在一条直线上，Rt△EFG从图中所示的位置出发，沿直线AB向右匀速运动，当点G与B重合时停止运动.设△EFG与矩形ABCD重合部分的面积为S，运动时间为t，则S与t的图象大致是图11中的（

       ）.

      

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