“任意角”教学的观课思考与实践，本文主要内容关键词为：，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
2012年11月在安徽省黄山市举办了第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动，参赛教师、观摩教师与专家评委畅所欲言、近距离地深入交流，取得了良好效果.特别是专家点评，平易近人、高屋建瓴、内涵丰富，深受广大一线教师的欢迎.
活动最后一天的现场公开课引起了高度关注，课题是人教A版必修4的章起始课“任意角”.教者具有较高的专业素养和较扎实的教学基本功，能站在学科的高度，以高观点整体把握课堂教学，突出了为什么要学习本章和本节内容；始终注重引导学生探究新知，追求课堂教与学的“原生态”，体现了“以生为本”的科学理念.然而，白玉有瑕，本节课从实际教学来看也有不尽如人意之处.观摩归来，笔者尝试对这节课作出思考，在此基础上进行具体的教学实践，得到一些粗浅体会，概述如下.
一、观课思考
笔者和同事反复观看了本节课的全程录像，认真讨论了各个教学环节的具体呈现，从中揣摩教者的教学理念和教学设计意图，最终得出两点主要的思考意见.
1.过于突出“高立意”，导致入题太“绕”
在“创设情境，导入新课”环节，教师首先指出已学的幂指对函数都是用来刻画现实中某类变化规律的，接着播放“月亮绕地球旋转”、“摩天轮旋转”的视频，然后让学生举出一些具有这种变化规律的例子（转动的自行车轮、电风扇、水车、齿轮、手表指针等）.当教师让学生概括这些例子的共同点时，学生的回答（都是旋转的、都形成一个圆、都绕着固定一点运动时都可以形成一个角）似乎都没有完全达到预期，于是教师再次结合两个视频带领学生分析规律，最终教师自己说出“循环往复、周而复始、周期性现象”这个共同点，并指出无法用已学的函数模型来刻画，从而引出本章乃至本节的学习.
笔者认为，“让学生了解引入新的函数模型研究周期性现象的必要性”是正确的，充分反映了教者课堂教学的“高立意”，相应的视频展示、学生举例也是可行的.但是，教者刻意想让学生概括总结出“循环往复、周而复始”等名词，就显得机械了，超越了学生的现实水平.何况，周期性现象还有很多，如潮汐现象、日月更替等，而课堂上出现的全是匀速圆周运动，学生“答非所愿”是不足为奇的.另外，“高立意”固然重要，但在实际教学时也不一定要“浓墨重彩”，也要视学情而定，很多时候以渗透甚至直白的方式呈现更为合理，太“绕”了反而效果不好.
2.过于注重“自主探究”，导致进程太“涩”
在“问题引导，共探新知”环节，首先，教师以质点B绕着定点O从初始位置A进行匀速圆周运动为载体，结合齿轮的转动，得出了任意角的概念；然后，通过学生画角、师生评价、研究角的放置，得出象限角的概念并及时练习；最后，从寻找-20°，340°，-380°之间关系（终边关系和数量关系）入手，得出终边相同角的规律.
笔者认为，这一环节的教学，教者始终突出学生的“自主探究”，出发点是好的，但由于“事无巨细”都让学生思考探究，过分纠缠于细枝末节，加上一些问题设置的不合理，导致课堂教学主次不分、重点不明、节奏拖沓.例如，教师通过问题“怎样准确刻画质点的运动变化过程呢”以及“假设点停在某个位置，你能用一个量（数据）来说明它到底停在哪吗”等，试图引导学生探究，但由于指向模糊，学生的思维很混乱.又如，在得出用正、负角来区分两种旋转方向的角后，教师的追问“哪一种是正角？为什么？”显然多余，学生根本不知如何回答，只好由教师自己说出“实际上可以按照自己想法定义，但为统一标准，数学家作了规定”草草收场.再如，任意角在坐标系中如何放置，可以作为一种规定而完全没有必要进行开放式的探究，等等，都是造成教学“滞涩”的重要原因.探究，也要有个“度”，不是什么内容都拿来引导学生探究，只有那些核心知识和重难点知识才值得探究，而设计好的问题是保证探究效果的重要前提.
二、实践改进
那么，如何设计“任意角”教学呢？笔者认为，由于角是“转”出来的，因此本节课的教学应以“旋转”贯穿始终，无论是任意角、象限角还是终边相同的角，都引导学生从“旋转”的角度进行思考；要在学生的“最近发展区”内设计问题，激发认知冲突，引发新旧联系；要处理好“高立意”与“低起点”的关系，合理设计探究活动，注重学生动手动脑，保证学生思维的深刻性和较高的活跃度.通过“磨课”，现将最终的教学流程简介如下.
环节1：揭示主题，引导探究.
上课伊始，播放短视频：摩天轮的旋转、钟表的走动，进而抽象成《几何画板》动画，教师指出：这里，质点在作匀速圆周运动，呈现出一种“周而复始，循环往复”的特征，我们的生活中还有很多这样的现象，如风车的运动、星期的更替、潮汐现象等，质点的这种运动规律无法用已经学过的数学模型来描述，因此，本章我们学习一种刻画“周而复始”现象的数学模型——三角函数，我们从研究角开始.
（板书：角.“角”字的左边留有空白，待写“任意”二字）
问题1：（手表实验，课前布置学生每人带一块机械手表）手表现在显示的时间是下午2∶00，若显示的时间比实际慢5分钟，如何校准？若显示的时间比实际快1.5小时，如何校准？请分别描述校准后分针所转的角度.
学生动手实验，并尝试描述.两个问题是逐层递进的：前一个问题中，角度的大小（最简便的操作办法是顺时针转30°）在初中所学范围内，但加入了方向的因素，若学生没有回答方向，则出示预设动画：将分针逆时针转30°，旨在使学生感悟到不仅要考虑角的大小，还要考虑角的旋转方向；后一个问题中，角度的大小（最简便的操作办法是逆时针转540°）已经超越了初中所学范围，同样需要考虑方向.在此过程中，自然引导学生回顾初中角的定义和范围，结合分针旋转方法的多种选择，自然引入研究课题：“任意角”.
（板书“任意”二字）
问题2：（播放运动员单杠比赛模拟动画——三个不同的旋转动作）请用准确的语言描述运动员的旋转方式.
（学生回答，师生共同评价，进一步强化描述角的两个要素——旋转方向和旋转量）
问题3：你能举出生活中其他类似的例子吗？
（学生思考回答，体会数学与生活的密切联系，再次感受周期性现象，凸显刻画任意角的关键元素）
环节2：归纳总结，形成概念.
问题4：根据刚才的研究，你认为刻画这些角要抓住哪些要点？
学生不难回答：既要考虑角的大小，又要考虑角的旋转方向.
（这里，教师一定要强调是“旋转方向”，而不是别的方向，诸如“前进方向”、“后退方向”等等）
问题5：如何用数学的方法将按顺时针、逆时针两种不同方向旋转的角加以区分呢？你以前有过类似的经验吗？学生回忆思考，教师适时提醒.由于初中已经学过用正负数表示相反意义的量（如零上多少度和零下多少度），自然想到用正负数区分两种角.
师：现在我们如法炮制，用正负数区分按逆时针、顺时针方向旋转的角.规定：按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角，未作任何旋转形成的角为零角.
（板书：角的分类.结合图形介绍角的始边、终边等概念）
（1）填空：闹钟慢5分钟，只需将分针旋转______即可校准；闹钟快1.5小时，只需将分针旋转______即可校准（填度数）.
（2）思考：始边与终边重合的角是零角，对吗？为什么？
（引导学生从旋转量和旋转方向两个因素分析，得出不一定是零角，然后让学生说出几个符合条件的角）
（3）作图：作角α=210°，β=-660°，并描述一下你是如何作出来的？
（让多个学生板演同一个作图，旨在由角的位置的多样化引入学习象限角的必要性）
环节3：深化概念，尝试应用.
问题6：由刚才学生们的作图可以看到，同样度数的角，不同的学生作出的图形有区别，如何能够统一呢？
教师可适当提示学生从构成角的要素考虑，得出：只需要统一规定好任意角的顶点和始边的位置就可以了.然后教师指出：为了以后学习三角函数方便，我们把角放在平面直角坐标系中，角的顶点统一放在坐标原点，角的始边统一放在x轴的非负半轴，这样，研究角，只需要研究角的终边就可以了.
（出示课件：显示角的顶点与始边的放法）
问题7：我们把角组成一个集合，记作集合A；角的终边的位置也组成一个集合，记作集合B，这两个集合之间就存在一种对应关系，这种对应关系有什么特点？
（板书：用韦恩图的形式在黑板上写出两个集合）
让学生先独立思考，再相互交流讨论，若学生对该问题的含义不是非常明确，教师可适当提示：这里所谓“对应关系的特点”，具体就是“给定一个角，它对应的终边位置是否存在，是否唯一？反过来，给定一个终边位置，它对应的角是否存在，是否唯一？”
得出结论后，由“给定一个角，它对应的终边位置存在且唯一”给出象限角的概念，并让学生判断具体的角（包括锐角、直角、钝角）属于哪个象限.而对于“给定一个终边位置，它对应的角存在但并不唯一”，让学生进一步思考.
问题8：以第一象限角平分线为例，它对应无数个角，这无数个角是杂乱无章的，还是有某种规律性？请同学们研究一下.
学生思考、讨论，教师可适度提示：不妨以45°作为“基础角”，找出其他角与45°角的关系，用统一的式子可表示为：β=45°+k·360°，k∈Z.教师追问：为什么都能写成这种统一的形式？引导学生从旋转的角度加以解释，得出：都可以看做是将45°角的终边按逆时针（或顺时针）旋转360°的整数倍而得到的（包括45°角本身），再以角45°+2·360°、角45°+（-3）·360°为例，具体说明它们分别是由45°角如何转来的.最后得出与任意角α终边相同的角的统一形式，即｛β｜β=α+k·360°，k∈Z｝，并运用动画显示角β是如何在角α的基础上得到的.
练习2：指出下列各集合中角的终边的位置：
（1）｛α｜α=345°+k·360°，k∈Z｝；
（2）｛β｜β=-45°+k·180°，k∈Z｝；
（3）｛γ｜γ=-45°+k·90°，k∈Z｝.
变式：写出终边在y轴上角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β ＜720°的元素β写出来.
学生思考解答，教师引导学生用旋转的眼光理解问题、解决问题，突出“基础角和每次旋转的旋转角”的重要作用，渗透了最小正周期的意义.
环节4：归纳小结（略），课后思考.
思考1：分别表示出终边在第一、第二、第三、第四象限的角的集合.
思考2：已知集合A=｛α｜α=60°+k·360°，k∈Z｝，B=｛α｜α=60°+k·90°，k∈Z｝,C=｛α｜α=60°+k·180°，k∈Z｝，那么集合A、B、C的关系如何？
思考3：已知α是第一象限角，指出
终边的位置.
三、几点体会
针对本节课教学的思考与实践，结合全国优秀课展示活动期间的观摩与交流，笔者有以下几点体会.
1.“高立意”≠“高起点”
课堂教学的“高立意”已成为共识，只有这样才能使学生在学习数学知识的过程中学会数学地思维，养成理性精神.但“高立意”不能脱离学生的实际情况，要以学生的已有认知基础为出发点，要符合学生现阶段的思维特点.由于不同学生的情况复杂而多变，因此“高立意”往往要落脚在“低起点”上，实现“阳春白雪”与“下里巴人”的和谐统一.否则的话，起点太高，容易导致学生不明就里，甚至觉得数学太悬乎，敬而畏之，无形中人为地拉大了教与学的距离.温家宝说的“仰望天空，脚踏实地”，应该能给我们以很多的启示.
2.“倡导探究”≠“处处探究”
由于探究式教学是以培养学生的创新精神和创造力为基本任务、以问题解决为主线，注重学生的自主探究、注重探究过程，因而是新的教学理念所倡导的教学形态.但是，学生的数学学习毕竟不能完全等同于数学家的发明创造，这种“再发现”的过程受到时间、空间等多种条件的制约，因而只能在关键环节上、在重难点处引导学生探究，不能也没有必要面面俱到，处处让学生探究.这就需要教师科学地把握教学的主次与轻重，抓大放小，张弛有度.
3.“展示课”≠“作秀课”
随着新课改的推进，教师的教研意识逐渐增强，“理解数学、理解学生、理解教学”也更多地成为一线教师的专业追求并付诸行动.但不可否认的是，仍然有相当多的教师不屑于研究“如何上好课”，认为那是“展示课、比赛课”的专利，与“常规课”完全是两码事，甚至认为“展示课、比赛课”就是“作秀课”、“表演课”，华而不实，是“花架子”，不如多做题来得实在，这是典型的功利主义思想.
本次观摩活动，我们看到了一大批质量很高的课例.执教者体现出了较高的学科观点、科学的教学理念、深厚的教学功底、精心的教学设计，这是“秀”不出来的；“双基”的高效落实，学生高度的思维参与、显著的能力提升、积极的情感体验，更是无法“作秀”.这样的课不是太多，而是太少，若每一节“常规课”都能这样上，学生数学思维能力的培养、理性精神的发展何愁得不到保障？
4.“专家领课”≠“千课一面”
教研，提倡“百家争鸣”、“百花齐放”.本次活动中的专家点评以及与观摩教师交流，笔者认为专家们的初衷不在于显示权威，而在于真正促进教师的思考，促进教师以“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的态度和精神对待教研，体现“重在参与，重在过程，重在交流，重在研究”的活动宗旨.
然而，有的观摩教师寄希望于专家能教给自己一个确定的上课模式，就像有的学生希望老师教给自己“题型套路”一样，这是专家们所不愿意看到的.于漪老师认为，改进课堂教学质量第一需要的就是增强教师的自信力.对课的思考与处理不能用一个模式，一定要有争论，浅者深之，窄者广之，要追求多样，彰显个性，不能将“专家领课”变了味，只有模仿没有思考，只有照搬没有创造，结果只能是“千课一面”，原本鲜活的课堂成了机械而呆板的“加工厂”.因此，对“专家领课”应信服而不盲从，关键是要内化为自己的教学思想与行动，形成自己独特的教学风格.