花木成畦 一水护田——2005年全国高考数学试题大家评，本文主要内容关键词为：花木论文,数学试题论文,全国高考论文,一水护田论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
上篇：接天莲叶无穷碧 映月荷花别样红
2005年高考数学试题印象
曹凤山 山东省东明实验中学
国家教育部考试中心及14个有自主命题权的省、直辖市命制的2005年高考数学试卷共16套（文理共29份试卷），每套试题个性鲜明，独具匠心，似绽开的花朵，争艳斗芳，让人大饱眼福。笔者以删5年高考数学试题为对象，探讨分析，并作评析，以期抛砖引玉。
一、岸芷汀蓝，郁郁青青
1.试卷结构的变化
2005年高考数学试题变化最明显的是“试卷的结构”。以往的《考试说明》严格规定了选择题、填空题、解答题三种题型的分数比例。各题型分数的固定，带来了题型、题量的相对稳定，试卷的结构模式（“12+4+6”）维持了较长时间。而2005年高考数学《考试大纲）中没有以上的要求和设置，试卷的结构发生了较大变化，在8套16份试题中得到体现（以下只对2005年高考数学理科试题进行分析，不涉及文科试题）。
(1)从题量上看
表1 各试卷各题型题量对比表
附图
①2005年拥有自主命题权的江西、山东（安徽没有单独命题，采用了全国卷(1)采取了相对稳健的做法，第一年单独命题，与全国卷采取了完全相同的结构，其他已有单独命题经验的省、直辖市采取了一些新的变化。
②有5套试题（北京、广东、浙江、湖南、江苏）总题量有所改变，上海、天津、重庆卷在总题量不变的同时，各题型题量与以往的试卷结构也不相同，其主要是增加了填空题。
③从总体上看，试题数量在减少，减少的主要是选择题。只有江苏卷采取了减少解答题、增加填空题的做法。
(2)从分值上看
表2 各试卷各题型分值对比表
附图
①总体趋势是增加主观题的分值，减少客观题的分值。江苏卷减少了一道解答题，虽解答题只有66分，但主观题的分值没有减少，仍保持在90分水平上。
②不同试卷中相同题型赋分分值不等，在选择题上上海卷为4分，其他试卷均为5分。而北京卷、广东卷填空题比往年分值有所提高，提高到5分。
另外值得一提的是，在福建卷、天津卷中，首次出了一行“祝各位考生考试顺利！”的文字，让考生感到高考试题有选拔功能的同时，有了人情味，这有利于减轻考生的紧张情绪，多了一份关怀与和谐。
2.试卷解答题的分布
表3 各试卷解答题统计表
附图
在布局形式上，上海卷继续保持先填空题，再选择题，后解答题的模式，其他试卷模式都保持稳定。变化较大的是试题内容的编排，全国卷、辽宁卷、上海卷都改变了以往代数、三角题开头的格局，分别出现了解析几何、立体几何和概率应用题（全国Ⅲ），打破了几十年的固定模式，进行了有益的探索。在“压轴题”中，最后一题中涉及函数内容的有8道题，占到一半；涉及圆锥曲线的有4道，涉及不等式的有7道，有4道涉及数列内容。倒数第二题中，涉及圆锥曲线内容的有8道，函数、数列、不等式内容分别占4道、3道、3道，另有一道是概率问题。即“压轴题”仍然是函数、圆锥曲线、数列、不等式内容在唱“主角”。
二、保持稳定，锐意创新
1.稳定的大局来自命题原则
从表3可以看出，在独立命题的同时，以往的命题理论和经验得到了继承和发扬，“重点知识重点考查”“在知识交汇点设计试题”“加强考查中学基本的数学思想方法”“不单纯追求知识的覆盖率”等命题原则在所有的试卷中得到充分体现。
中学数学传统的主体内容，代数中函数、数列、不等式、三角函数，立体几何中的直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，解析几何中的圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系，新增内容中的向量、概率与统计、函数极限与导数等内容在每份试卷中都占有相当的比重。从知识块的组合来看，在16份理科试卷共95道解答题中涉及函数、数列、不等式的分别有22道、18道、14道，涉及立体几何、解析几何的分别有18道、16道，其中新增内容中向量的工具地位最为突出，直接考查或应用向量的有22道，涉及概率、导数的分别有14道、11道。
从具体问题来看，以“能力立意”已是命题者自觉追求的目标。如全国卷Ⅰ的理科第17题：设函数f(x)=sin（2x+ψ）（-π＜ψ＜0），y=f(x)图象的一条对称轴是直线
。（Ⅰ）求ψ；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调增区间；（Ⅲ）证明直线5x-2y+c=0与函数y=f(x)的图象不相切。单从知识点上看，涉及直线的斜率、正弦函数的求导、导数的几何意义等，难度不大，但综合程度高，其中（Ⅲ）的证明要具备一定的灵活性，对推理、运算能力有较高的要求。
在知识的交汇点设计试题是今年高考题的一大亮点。由于课程内容的变化，使知识的交汇点出现丁新动向，如从概率统计中产生应用型试题，从导数应用中与函数性质的联袂，从解析几何中产生与平面向量的联系，立体几何、三角函数、数列内容中渗透相关知识的综合考查（如三角与向量的结合、数列与不等式结合、概率与数列内容的结合），让人耳目一新。
2.创新的几个看点
(1)题型、题量的调整与变化（见表1）
(2)内容设置的创新
随着新课程的实施，课程内容在发生变化，考查的内容也会做出相应的调整。较明显的表现在解答题的内容上。1995年以来的数学试卷中，基本上保持了应用题“一大一小”的模式，有一道涉及排列组合的客观题，有一道解答题。而2005年湖南理科卷中安排了“两大两小”四道应用题，分别涉及排列组合、抽样、概率、函数和数列、不等式等内容。辽宁理科卷的第20题把我们传统的应用题去掉了“包装”，附上以概率、线性规划为模型的应用题。广东卷的解答题中出现了两道解析几何题，创新力度较大。
(3)题型的创新
2005年高考数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也有突破，如只猜不证，只算不写等。填空题中出现条件、结论完全开放的设计（福建卷），广东卷、湖南卷等出现了一题双空的填空题。题型的创新，带来了新的理念，也必将促进教学的创新。
三、提升新课程，推动新课改
国家教育部考试中心多次指出，高考命题要“关注数学教育改革的进展”，“更加关注高中数学课程改革的进展，了解使用新课程考生的实际情况，汲取新课程中的新思想、新理念，使高考数学科考查更加反映数学教育改革发展的方向”，在2005年的高考试题上已得到印证。
1.新增加的内容比例超出课时比例，考查逐步深入
为了使得与时代发展相适应的新知识体系逐渐在新教材中站稳脚跟，必然会增加对新增知识内容的考查力度。从表3可以看出，除个别试卷外，在解答题中，应用题基本上都是涉及概率内容的问题，而出现频率较高的三角、函数、不等式、数列问题又总是和导数相联系，同2004年一样，新增加内容所占分值超出了其所占课时比。另一方面，考查的层次也呈现逐步深入态势，2004年的新课程卷考查层次定位在容易或中档题上，考查知识点大部分局限在知识块内部。而2005年的考题在这些方面有了新的动向，如全国卷Ⅰ理科第17题、江西卷理科第7题对函数导数的考查，不是停留在简单的层次，而是要充分理解导数的几何意义并能够运用。辽宁卷理科第20题考查内容涉及概率与线性规划，并附以图表，符合现代生活的需求，同时引导教师对新增内容的重视、研究。
2.传统内容的“双轨”处理
在理科16份试卷中，有13道立体几何题明显给出了空间坐标系的框架，只要有利用空间向量的意识，建立空间坐标系后就容易求解，即立体几何问题大多可以用向量作工具解决，兼顾了(A)、(B)两种教材版本。而对函数、不等式、数列、圆锥曲线等问题大多需与导数相联系，促进了新老内容的衔接。
3.体现课改理念，探索考查的新方式
新课程的实施特别强调了创新意识的培养和研究性学习的理念，而在高考中如何考查、如何体现，是摆在命题者和高中教学过程中的新问题。2005年高考数学试题在这些方面做出了积极的探索。
例1 （全国卷Ⅲ，理，12）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：16进制 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F10进制 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（
）。
A.6E B.72 C.5F D.B0
此题以我们熟悉的十进制为基础，设定了十六进制下的运算这一新颖的情境，以考查学生迁移、类比的数学素质、创新意识和能力。
附图
图1
例2 （江西卷，理，7）已知函数y=xf′(x)的图象如图1所示（其中f′(x)是函数f(x)的导函数），下面四个图象（图2）中y=f(x)的图象大致是（
）。
附图
图2
此题情境新颖脱俗，对形与数的转化和信息的加工处理，都有深度和广度的要求，较好的体现了创新意识。
例3 （福建卷，理，16）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数f(x)=3+
的图象与g(x)的图象关于____对称，则函数g(x)=____。（不唯一）（注：填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）。
例4 （上海卷，理，21）对定义域分别是
附图
(1)(2)略；(3)若g(x)=f（X+α），其中α是常数，且α∈[0,π]，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)，及一个α的值，使得h(x)=cos4x，并予以证明。
例3中条件、结论都是开放的，学生拥有主动权，虽是探究，但考生亦可“避生就熟”去解答。例4中结论是开放的，而条件要考生自己去探索，需考生加工信息，调动储存，制定出合理的解题思路。仔细分析，这两例对我们的研究性学习会大有裨益的。
四、注重调控，平衡文理
由于文、理考生的教学内容以及后续发展需求的不同，近几年在文、理科高考数学试题上都保持了一定的差异。2005年高考数学试题继承了以前的成功经验。本文以全国卷为例，对文、理卷比较，了解调控方法和量化指标。
表4 全国卷文、理科差异量化对比表
题型
相同
不同
姊妹
相导分值
相异分值权重全
选择题
6
4
2
30国
填空题
2
1
1
8
78
52%Ⅰ
解答题
2
3
1
40全
选择题
5
5
2
35国
填空题
3
1
4
87
58%Ⅱ
解答题
2
2
2
48全
选择题
11
1
5国
填空题
2
2
8
44
29.3% Ⅲ
解答题
3
3
31
1.从定量上看，文理区别最小的是全国3，此套试卷继续保持2004年全国卷Ⅲ在文理差异上的风格，即减少相同题，减少姊妹题，增加不同题，但不同题的数量较上年有所减少。全国Ⅰ、全国Ⅱ两套试题在保持一定量的不同题外，还出现了姊妹题。三套题三种模式，不同题、姊妹题的数量、分值各有不同，既考虑考生的水平，又从不同程度上进行文理差异调控实验的对比尝试。
2.从定性方面分析，文理试卷的差异除换题、姊妹题外，还以调整题序进行控制难度，即文理相同的题目在试卷中的排序不一致，相同的题目出现在不同的难度位置。
在姊妹题的处理上形式也不尽相同，如全国卷Ⅰ第20题，文科题以多层设问，搭桥铺路，分散难度，步步深入，而理科题则单刀直入，需要考生自我设计，合理安排。又如全国卷Ⅱ文第18题，理第19题也体现出相同的特点。另如全国卷Ⅰ第17题，文理的区别在第三问上，旨在调整文理的难度。
不同题目的设置，不是因教学内容上的差异导致的，而是从考查层次、侧重点、知识综合性和思维能力要求层次上的差异，如全国卷Ⅰ第17题，理科的综合性质要求高，文科只是在技能和知识上加以考查，理科侧重于抽象思维，文科突出形象思维。
中篇：清水出芙蓉 天然去雕饰
能力考查不拘一格
朱成万 邱山
为了有效检测考生的能力，高考试题的命制者广泛地猎取各种素材，并对其巧妙地加以利用或改造。这里的素材既包括高等数学背景，也包括竞赛背景或竞赛题，还包括已有的成题，已考过的高考题等。
例如，全国卷Ⅰ第22题的背景是下凸函数及琴生(Jensen)不等式；湖北卷理科第22题的背景为发散的调和级数并结合高斯函数；而重庆卷（文科）第10题可认为与第十届“希望杯”高一第二试的第20题同源；全国卷Ⅲ的第11题就是一道成题（十几年前就有了）；全国卷Ⅰ的第5题恰与1999年高考的第10题同根，仅是数据的变化而已。
再来看考查学生应用意识和能力的应用题的素材选取；涉及旅游观光的（如湖南卷文科第20题）；住房问题（上海卷第20题）；体育比赛和游戏（如全国卷Ⅱ理科第19题，江西卷第19题），资源的利用与开发（如湖南卷理科第20题）；生产经营与投资效益（如辽宁卷理科第20题），真可谓“五花八门”，引人注目。
除了素材的选取，为了体现“能力立意”，命题者还在以下几方面下功夫：
一、以数学知识为载体，考查一般能力
一般能力是指顺利完成各种活动所必须的基本心理能力。高考对数学一般能力的考查主要有符号学习能力、概念学习能力和规则学习能力。符号学习能力是指知道和记忆符号表示名称的能力；概念学习能力是指掌握事物的共同本质属性，并能辨别本质属性和非本质属性的能力；规则学习能力是指揭示几个概念之间的关系，掌握规则并能运用的能力。2005年高考数学试题主要是定义一些新的概念、符号或运算规则等来考查学生的一般能力。
例如，湖北卷第1题定义了集合P+Q=｛a+b｜a∈P，6∈Q｝；再例如辽宁卷第7题定义了一个新的运算
；上海卷第21题由两个常规的初等函数y=f(x)、y=g(x)定义出一个复合函数h(x)；北京卷第20题，定义了一个新的函数——“单峰函数”等。尤其是北京卷第20题，题目有366个字，这么长的题目，在高考试卷中不多见，对阅读理解能力要求较高。这些题目的解答，首先要求考生学习一个新的符号、概念或新的运算规则，进而理解这些符号、概念或规则，并在理解的基础上运用它来解决相关问题。从而考查考生接受新知识、运用新知识以及进一步学习的能力。
二、以思想方法为桥梁，注重能力的形成
《高中数学课程标准（实验）》指出“数学教学应注重提高学生的数学思维能力”，在教学中要注重学生形成知识和技能的过程，在建构知识网络中培养能力。因为这个“过程”是创造性的思维元，学生在解决问题的过程中，建构解决问题的方法和技能。高考试卷通过考查最基本的思想方法和解题策略，从而使考生在问题解决的过程中形成能力。
例如辽宁卷第21题，问题呈现的背景是圆锥曲线与向量的综合，背景熟悉、题型常规。尤其是第一小问，“设x为点P的横坐标，证明
”。这是对椭圆焦半径公式的考查，有着深刻含义。一方面，解答它要用到解析几何里的最基本思想方法，证明的方法多种多样，可以用两点间距离公式来求，也可以用椭圆第一定义来求，还可用椭圆第二定义来求。另一方面，这一公式考生很熟悉，有许多考生记得，而且平时都在运用。高考试题要求考生写出它的来龙去脉，充分体现了新课标“重过程”的理念，在过程中形成能力。
三、以思维能力为核心，考查数学能力层次
要培养学生的思维能力，应当探讨思维能力的层次，探讨学生能达到的思维广度和深度。一般来说，知识和方法水平层次越高，即知识的抽象度和所用方法的熟悉程度越高，学生的思维层次越高。高考对思维能力层次的考查主要有两个方面：一题多解，不同的切入点体现不同的思维层次；一题多问，不同的设问体现不同的思维层次。
附图
四、以数学素养为目标，发展理性思维能力
数学是一门思维的科学，思维能力是数学能力的核心，是人们进行思维活动的基础，是一个人基本素养的标志。高考把思维能力的考查放在重要位置，上升到理性思维的高度，以此来检测学生的数学素养以及“进入高校继续学习的潜能”。2005年数学试题变化之一是题目数量减少，如天津卷、浙江卷、广东卷、重庆卷等比2004年减少两道题目，由22道减少到20道，湖南卷为21道。题目数量减少，不是要求降低，相反，知识的综合性越来越强，对思维的要求越来越高。例如浙江卷理科第20题，主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。但由于问题所呈现的背景新颖，表述独特，对题目的阅读就要花一定的时间，对阅读能力、符号辨认能力等要求较高。题目共两个设问，第一问虽然是直接套用，但在运算过程中要注意策略，如果能够整体代换，则简单得多。第二问，字母更多、运算式子更长，对思维的要求更高。
五、以“双基”为立足点，着意创新能力
“双基”教学是中国的教学特色，对“双基”的考查一直是高考命题的重点。“没有基础的创新是空想，没有创新的‘双基’是傻练。”近几年的高考试题一直在寻求“双基”与创新之间的一个平衡。2005年高考试卷中有许多新颖别致的试题，这些试题的编制，是以“双基”为立足点，进行横向类比、纵向加深或陈题开放。这些题目背景新颖、运算量不大、但思维容量较大，靠“题海战术”和大量重复操练是无法达到的，能很好地考查学生的创新意识和创新能力。
例如全国卷Ⅲ文科第12题，关于16进制的运算，虽然不是什么新的概念，但对于高中学生来说是没有接触过的新知识，他们只能是根据十进制的运算法则，进行横向类比来完成题目。再例如北京卷第20题是类比单调递增函数概念定义出一个新的函数“单峰函数”。
例如上海卷理科第12题，定义的n！行的数阵，题目的背景是高等数学里的行列式，但实际的运算法则还是数列的运算，要求学生通过观察，发现规律，进而得出结论，从而考查考生观察问题和发现问题的能力，可以看做是对数列问题的纵向加深。
把一些比较常规的陈题改编成开放题，是2005年高考数学考查创新能力的又一策略。例如福建卷（理）第16题要求学生把不完整的命题补充完整，并使之成为真命题，条件和结论都开放，给考生解答带来很大的创造空间。
六、应用能力的考查注重实效
仅以试卷中是否出现应用题为例，为了防止应用性命题脱离学生的实际以致形同虚设，命题者恪守着“宁缺勿滥”的原则，以引导应用性问题的教学健康发展。
积极稳妥 科学和谐
2005年普通高等学校招生全国统一考试中，吉林、黑龙江、广西等地采用教育部考试中心命制的第二套试题，即全国卷Ⅱ：理科数学（必修＋选修Ⅱ），文科数学（必修＋选修Ⅰ）。两份试题贯彻了《考试大纲》确定的高考命题的指导思想和原则，试题在平和的氛围中透出清新，在稳定的前提下追求创新，达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标；符合高中数学的教学水平，切合学生的实际情况，使不同水平层次的学生都能充分发挥，达到了使考生满意，家长高兴，老师放心的效果，试题的区分度、信度、效度都很高。另外，试题难度保持基本稳定。首先，12个选择题平易近人，易于下手，运算量很小，而且有合适的梯度；其次，4个填空题非常平和，几乎没有难度，更不需太繁的计算，考生感觉比选择题还顺手，不会在这些题上浪费时间；最后的6个解答题由易到难，入手容易，深入也不困难，尤其是最后两个“把关”题，基本上是送给学生的大礼：这两题涉及的知识内容既基础又常规，背景单纯，形式熟悉，设问不陌生，考生读完题后解法也就浮现在眼前了，考生的感觉只有一个字：爽。
（山西 岳剑兰 金良）
全国卷Ⅲ（陕西、四川、云南等地使用）总体呈现平稳，没有偏题、怪题，呈现“新题不难，难题不怪”的格局；试题切入容易，深入难，优秀考生得高分容易得满分难。
（陕西 赵文涛 王群会 四川 毛仕理）
全国卷Ⅲ（文科）紧扣教材，适度变通，梯度平稳，难易适中，知识覆盖不刻意追求，应用题不再望尘莫及。
（陕西 李鹏武）
备受社会关注的2005年高考数学（江西卷）终于撩开了她神秘的面纱。开考后，考生们发现整个试卷的题面和题型都无新“面孔”，他们的心情才恢复了“平静”，于是乎觉得每一道题都能做下来；但随着答卷的逐渐深入，考生们感觉到有多股潜流在整个试卷中不断涌动：发现拿下每道题都须经周折；发现含在题面中的隐形条件往往不易被人察觉；发现考生心理承受能力的极限受到严峻的挑战。考生们对试卷的评价是：“会做”＋“易错”，即“能做”却不易“做全”。
（江西 梁建华）
2005年的高考数学试题浙江卷命题遵循普通高校招生《考试大纲》的各项要求，在继承和总结去年浙江省自主命题改革的成果和经验的基础上，进一步加大了改革力度，融入了新大纲的教育理念，拓宽题材，选材多样，创设新颖情境和设问方式，宽角度、多视点地考查学生的数学素养和学习能力。
2005年的高考数学试题浙江卷，延续2004年试题的风格，选择题、填空题和解答题三种题型结构、排列次序仍然保持不变，没有偏题怪题，试题层次分明，梯度合理，试题中各类题型的起点难度较低，阶梯递进，由浅入深，使考生在解题过程中有拾阶而上的感觉。选择题、填空题的前几道运用基础知识即可一望而解，而后几题则需要在深刻理解知识的前提下灵活运用；解答题6道题目中有13道小题，仍然有去年“多问把关”的命题特点，设问入口容易、层层推进，整卷难易、梯度合理。
（浙江 张忠尧）
2005年高考数学试卷（安徽省），继续贯彻“总体保持稳定，深化能力立意，积极改革创新”的指导思想，兼顾数学基础、方法、思想、思维、应用和潜能的考查，在整体保持稳定的情况下加大了改革创新力度，形成了立意鲜明、背景新颖、设问灵活、层次清晰的新特色。整卷创设了“天高任鸟飞，海阔凭鱼跃”的竞争平台，有利于高校选拔人才，有利于引导中学数学教学克服“题海战术”和“大运动量”重复训练的倾向，向全面提高学生的数学素养（尤其是创新意识和实践能力）的方向发展。
（安徽 蒋文冰）
贯穿着数学理性精神的2005年高考数学试题全国卷Ⅰ，没有超越《考试大纲》的要求。这套试题，全面综合地考查了基础知识和基本技能，对学生的分析判断能力、逻辑思维能力和灵活运用数学知识解决问题的能力要求较高，特别是运算能力。同时，我们也应看到试卷的难度有所提高、题量隐性增加。该套试卷有以下特点：
(1)试题的表达方式较为抽象，隐含条件多，学生难以把握，如第2、5、8题等；
(2)试题的设问方式新颖，如第10、15、17（Ⅲ）题等；
(3)解题方法灵活，虽为常规方法，但非常用方法，如第7、15题；
(4)试题的综合性强，如17（Ⅲ）、21题等；
(5)解答题的一题多问，题量隐性增加。
由试题的上述特点，造成了试题的难度加大并在试题排序上位置有所提前，如考生在解答选择题时就感到不顺手而在心理上有些别扭，加重了心理负担，心理压力变大，降低了解题效率。
整套试卷给人们以注重数学思想方法的应用，注重数学的深层理解，突出基础，特别是注重运算能力。从解法上来看给人以灵巧与厚重感。
（安徽 范宏业 高令乐）
关注品质 体现人文
《考试大纲》要求高考试题要关注对考生个性品质的考查。要求考生“具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚科学的理性精神，形成审慎思维的习惯，以实事求是的科学态度答题，树立战胜困难的决心，体现锲而不舍的精神”。
2005年浙江卷从不同角度应用不同思维方法，创设了多种解题途径，使考生寻找数学概念的蕴涵性质，考查了考生的个性品质和人文精神。如选择题第9、10题既有代数的精确又有几何的直观，背景新颖。要求考生在解答前要仔细阅读题意，深刻理解内涵，面对新题时沉着冷静，仔细读懂题目，寻求解答。如第18题求出PA与平面PBC所成的角为
，这个答案数字不是很简单，有许多考生在求出这个答案后，认为自己算错了，这是对自己不自信的表现。如第18题第(3)小问，许多考生在求出k=l后，就感觉大功告成，没有证明必要性。这从表面上看，是少了一句话“反过来当k=1时，三棱锥是正三棱锥”，实际上是思维不到位，平时只求一知半解的结果。又如第20题的第(1)题只需根据题意代入数据，进行简单运算即可。显然，是为第(2)问做准备，这种准备是心理上的体验。第(2)问是一般情况，全是字母运算，相当复杂。有许多考生根本不敢动手去做，这说明面对困难信心不足，没有克服困难的决心和勇气，有的考生看到题目费解，阅读一遍没能理解题意时，就放弃了，说明其缺乏锲而不舍的精神。
（浙江 朱成万）
高考数学试卷对运动变化观点及对运动和静止的辩证关系的认识的考查，也是对数学人文价值的考查的一个方面。2005年浙江卷特别突出了这一考查，如理科第10题中，设O、A为定点，
，题中“对任意t∈R，恒有｜a-te｜≥｜a-e｜”显示，t在变，te也在变，即点P在动，而向量te与向量e共线，得O、P、H三点共线，设为直线l。｜a-te｜表示线段AP的长，且在动，｜a-e｜表示线段AH的长，则有｜AP｜≥｜AH｜，而点A到直线l上任意点P的距离中，垂线段最短（动中有静），所以OH⊥AH，即e⊥(a-e)，选择C。
另外，理科第17、20题也是“动中有静”。
（浙江 楼可飞）
新课程标准的基本理念是构建共同基础，适应个性选择，使不同的学生在数学上得到不同的发展。基于这一理念，连续两年的江苏省高考数学命题都力求让每位考生都有成功的体验。人人都是“成功者”，并不意味着每位学生都能得到高分，但要能得到与自身数学水平相符的分数。
与以前的命题指导思想不同的是，江苏省的高考数学命题变以“淘汰”作为基本特征为以“成功”作为基本特征；变考查学生“不会什么”为考查学生“学会什么”；变设置陷阱从“反面”考查学生对知识的理解与掌握为不设置陷阱从“正面”考查学生对知识方法的掌握情况。如在2005年的试卷中，直接运用基本概念与公式的有第1、2、3、6、7、8、9、13、14、16等题，计43分；在两到三个步骤内就能解决问题的有第4、5、11、15、17、19、20(1)(2)、22(1)(2)、23(1)等题，计70分。这样，基本分已在110分以上，保证了大多数学生能笑着走出考场。
（江苏 王克亮）
下篇：采菊东篱下 悠然见南山
细悟深思 提高复习效率
范宏业，安徽马鞍山成功学校；高令乐，安徽马鞍山无为中学
每年的高考，既是考查学生的学，也是在检验教师的教。高考试题是年年都创新，我们教师应该怎样组织高考复习以及进行数学的教学？靠猜题押宝拿高分，乏力无效，“三多一少”（讲、练、考的多，思的少）已成为教学中最大的困惑。笔者通过透视2005年高考数学试题，对我们今后复习和教学工作有以下几点启示：
一、与时俱进，提升课改
当今教育的一个显著特点就是与时俱进的新课程改革。我们每一个教育工作者都不能怠慢，必须认真学习和深思课改的根本性的纲领性文件——《课程标准》，领会其精神实质，以此来指导我们的教学和高三复习工作。从近几年高考试题我们看到，新增内容的分值明显地超出了其授课课时比例，这也是高考支持课改的有形例证。向量、概率、导数等内容，所占比例逐年增加，此三部分内容的分值占到整套试题总分值的40%，如全国卷Ⅰ（理）第15题考查的就是对向量的灵活应用，全国卷Ⅰ（理）第20题所考查的是概率和数学期望的知识。课程改革已是一只无形的手操纵着高考试卷。可以这样说，如果我们在教学中忽视了课程改革，我们的教学就会受到严重的影响，这也是我们还在按老套套组织高考复习时，总是难有从前的成就的根本原因。
二、研究规律，科学复习
对目前高考中所使用的数学思想方法，学生可谓是耳熟能详，为什么到应用的时候就想不起来呢？究其主要的原因是，教师在教学中生硬地将数学思想方法灌输给学生，而学生则是食而不化，当然就谈不上在紧张的高考考场上使用了。认知心理学成果给我们的启示是，在高三复习的全过程中，无论是在第一轮的系统整理知识、转化知识结构阶段，还是在第二轮的专题深化提高阶段以及在第三轮的强化训练阶段，教师要始终坚持指导学生自己进行数学基本思想、数学基本方法的提炼，让学生从思想上去揭示问题的实质，遇到一个问题时，能在数学思想和数学方法的观点上宏观地驾驭解题的思路，迅速地做出一般性解决。这样做虽然从表面上看学生做的题少了，但其收效远比只追求解题的数量，稀里糊涂地盲目地靠碰运气去解题有着不可比拟的优势。若我们留心一下有关省市的高考“状元”们的经验时，在解题后进行反思和提炼是他们成功的宝贵经验之一。
纵观近几年的高考数学试题，我们可以看到：对数学思想方法的思考、提炼与总结，在数学解题中自觉应用乃至成为一种思维习惯，已成为提高数学修养的基本形式。如全国卷Ⅰ（理）第8题需要灵活应用二次函数的性质进行判断，理第12题必须发挥空间想像能力，有着恰当的分类方法，才能不重不漏找出符合要求的所有异面直线，理第17题第三问需要灵活运用导数的知识来判断直线与曲线相切与否；理第22题在熟练掌握求导公式的基础上，考生应能自觉意识到，对和正整数有关的命题需采用数学归纳法进行证明。
三、夯实基础，提高运算能力
运算能力是最基础又是应用最广泛的一种能力，是思维能力和运算技能的结合。高考对运算能力考查的重点是对算理和逻辑推理的考查，特别是对运算能力的核心——运算合理性的考查。运算合理性的标志是运算的简捷，是指在运算过程中要求路径短、步骤少、时间省，主要体现在运算过程中概念的灵活应用，公式的恰当选择，数学思想方法的合理使用，尤其是数学思想方法，它对简化运算，提高速度有着特殊的功效。因此，运算能力的考查中包括了对思维能力的要求以及对思维品质（如思维的灵活性、敏捷性、深刻性）的考查。
高考对运算能力的要求要在高三复习过程中一一落实，以促进解题能力提高。当学生的运算能力得到了扎实提高后，我们认为，像面对今年高考题，难度提高，运算量加大时，也是能够较为成功地解答好这套题的。很多考生今年措手不及，发挥不理想，主要是因为，对运算能力只有着狭隘的理解，对学过的知识还是停留在记忆、模仿阶段，并未能真正理解和掌握，当然难以灵活应用。如全国卷Ⅰ（理）第5题只简单应用体积公式很难完成，但若能灵活地应用正三角形和正方形的性质，将多面体的体积转化为直棱柱和三棱锥的体积之和，此题便迎刃而解；全国卷Ⅰ（理）第7题首先应进行恒等变形，但是仅这还不够，还需要用到不等式的基本性质；全国卷Ⅰ（理）第10题只要认真对绝对值进行分析，就可知不等式组所表示的平面区域，再灵活应用具体公式，问题就解决了。因此，我们必须提高对运算能力的认识，要在算中进行思考，在思考中辅以运算，将运算与思考融为一体，从而实现数学整体素质的提高。
掌握导向 高屋建瓴
王克亮，江苏射阳县教研室，许少华，艾龙彪，广东中山一中
一、注重复习的全面性
由于高考试题涉及知识面有一定的广度，因此，要注重全面掌握基础知识和基本技能。不可随意地划定“不考”内容，轻易地放松或降低某些内容、方法的需求，要贯彻“普遍撒网，重点摸鱼”的复习方略。
二、弃题海，重基础
纵观2005年高考题江苏卷，试题皆“朴素”，既无高深的知识，又无生僻的技巧。许多题目取材于课本的基本题或基本题的改造，即使综合题也是由若干个基础题的组合加工而成。因此，该卷可引导我们在教学中要跨出题海训练，避免复习时搞得过难，真正回到重视基础的正确轨道。同时，还引导我们要正确理解这里的“基础”，它不是指应对考试的基础，即机械重复训练的常规题目，而是指体验知识的形成过程以及对知识本质意义的顿悟。
三、知识与能力并重，比翼双飞
2005年高考题江苏卷在考查知识的同时，也加大了考查学生的能力。既考高中数学的主体内容，又考查学生继续学习的潜在能力。许多问题需要考生凭借自己的灵活去独立解决。它启示我们培养学生独立解决问题的能力始终是数学课堂教学的出发点，也是落脚点。要在知识传授的同时，注重学生能力的发展，系统设计，立体发展，让学生在老师的传授中得到点拨、归纳。建立以问题为核心，引导学生既当演员，又当导演，体验知识与能力掌握中的全过程，不走过场，稳扎稳打，比翼双飞。
转变角度 与时俱进
曹凤山 山东东明县实验中学
做好高考复习的前提是对高考相关规律的准确把握。把握高考，给学生指明方向，应该有对高考的前瞻性理解，应该是与高考的与时俱进，而我们往往站在“望尘莫及”或者“望其项背”的尴尬境地。究其原因之一，在于我们研究高考的角度，我们已习惯于根据以往高考题来研究推测高考的趋势。从2005年高考题可以看出，要研究高考、把握高考的走向，应该研究的是一个多变量的函数，不能仅仅依靠以往的高考题这一变量，主要的变量如素质教育的要求、课程改革的进度、理念以及由课改引起的中学数学知识结构的调整等。素质教育的大背景决定了高考考素质、考能力的大目标，课改的理念无异会逐步渗透到试题命制的过程中，课改的进度使原有知识在知识结构中的地位会发生变化。而新增加知识需要准确的定位，新知识点的研究深度、广度需要不断调整，如2005年高考数学立体几何试题，大多突出了空间向量的工具地位，尤其是法向量的应用，而函数问题中突出了导数的地位。这是课程改革的必然结果，是引导大家对新课程内容的关注。如果教师没有对这些内容做深入的分析，依靠学生的“自悟”是不可能有理想成绩的。我们研究高考的视野应更开阔，从社会发展对人才的需求，从素质教育的大背景下，从课改进行的程度，从知识结构的调整更新等多方面分析。站得高，才能看得远，把握今后的教学和高考复习，才心有底气。问渠那得清如许，为有源头活水来，当我们的研究角度开阔后，新理念、新办法会油然而生，学生的成绩也不愁得不到提高。
对2006年高考数学复习的几点建议
王鹏飞 陕西西安市航天中学
一、抓纲务本，明确方向
认真研究《考试大纲》，明确考试内容的知识要求、能力要求和个性品质，要求考生要具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，祟尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯，体会数学的美学意义。要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。
二、依据新大纲，夯实基础知识
要把握《考试大纲》的基本要求，夯实基础知识，特别是新增加内容基础知识的落实，形成知识纵横联系的网络，突出知识主干，重视思想方法的渗透和运用。
学生要根据自己的学习实际，确定复习的重心。《考试大纲》中多次指出，高考数学题中容易题、中等题、难题的比重为3:5:2，即基础题占80%，难题占20%，因此，应当把复习的重心放在对基础知识、基本技能、基本思想方法的掌握上。事实上，现在许多同学的“三基”并不过关，经不住考试的考验。所以，切不可忽视“三基”的落实，死抠一些难题的做法是非常危险的！一定要把复习的重心放在对“三基”的落实上，关键是要真正落实，经得起考验。只有“三基”扎实过关，才有可能去攻克难题。
三、重视新增的教学内容
近几年高考数学题对新增内容的要求一年比一年高，如向量，从新教材试验区6年前简单的理解判断题一直发展到近年的综合应用，用平面向量的方法解决解析几何问题，用空间向量解决立体几何问题，难度越来越大。又如概率部分年年有题，基本考全了所有内容。再如用导数研究函数的性质，一举打破了多年函数考题的传统模式，呈现出崭新的面目。因此，在复习中一定要把这些知识向传统的知识渗透融合，相互贯通，达到灵活应用。
四、创设问题情境，引导主动学习
解决实际问题的能力作为数学能力的一个重要方面，是高考考查的重点，它包括数学地提出问题、分析问题和解决问题的能力，数学探究能力，数学建模能力，数学交流能力，数学实践能力。这一能力的培养，需要在平时的教学中结合生活实际挖掘教材中的素材，恰当地提出问题，创设问题情境，引导学生积极主动地分析、探究、交流、实践，并有针对性地开展一些研究性学习课题。
五、加强针对性训练，增进数学素质
茫茫题海，只埋头演题是没有出路的。演题是一种训练，是训练同学们应用数学知识去分析问题、解决问题的能力，因此关键是思考总结。演题不在多而在精，要做到“一题多思，一题多得”，不断磨炼自己的数学思维，通过演题把知识串在一起，把知识揉在一起，使自己的数学知识系列化、网络化，这样才能派上用场。
坚定不移地抓好基础
曹凤山，山东东明县实验中学；朱成万，浙江杭州市长征中学
2005年高考数学试题没有出现偏题、怪题，都是考查最基本的数学思想、方法和基本知识，得到广大一线老师们的好评。
但高考之后，老师都说：题不偏、不怪，难度不大；学生也说，感觉还可以吧！当分数下来之后，老师困惑：怎么考的？！学生更是伤心委曲：怎么也应该比这分数高吧？
问题出在哪儿？仍然是基础（基础知识，基本技能，基本数学方法）不过关。基础的缺陷造成了容易题拿不稳（分），中档题拿不全（分），难题拿不到（分），和考前背的口诀（容易题稳拿（分），中档题不丢（分），难题争取（得分））背道而驰。
说老师、学生不知道基础的重要性是站不住脚的，知道基础的重要性仍不能抓好基础的症结在于复习过程中“双重”针对性的薄弱，落实的不力。所谓“双重”针对性是既要“针对高考”，又要“针对学生实际”，搞好两个“针对”的平衡、落实，不面对高考肯定是瞎指挥，而不顾学生实际，盲目地要达到高考的某一水平，累了老师，害了学生，因此要根据高考的特点，正确估量自己的现实水平，从现实出发，抓好落实，在此基础上，在进行解题指导，心理培养等相关指导，逐步提高学生的能力。
我们建议在高三复习工作中，首先要抓好课本，过好基础关，并在此基础上，加强各知识块间的纵横联系，小步快跑。然后抓主干知识，理清框架，构建知识网络，持之以恒在基础知识的理解、应用和综合上下功夫，让落实基础有系统性、计划性、阶段性和实效性，这样学生的能力肯定会得到飞跃。
白璧微瑕 恳请改进
王克亮 江苏射阳县教研室
2005年高考数学题亮点很多，但试题中仍有某些不足。这里仅以笔者所在的江苏省的高考卷为例谈几点建议。
一、立体几何试题欠公平
因立体几何有(A)、(B)两种版本，所以命题时应考虑试题对所有考生的公平性。可以说利用向量工具解决问题是立体几何改革的一个趋势所在，但江苏省的高考数学试卷连续两年都未能很好地体现这一趋向。2004年的试卷，在参考答案中连向量方法都没有给出来；2005年的试卷，虽在参考答案中给出了向量解法，但有牵强附会之感。因为如果按照参考答案中提供的方法来建系，那么第(2)小题就已做出来了，有理智的学生是不会多此一举的。显然，这对于学习立体几何(B)的考生来说是不公平的。另外，本卷第(3)小题的设置也值得商讨，一方面，该题不要求写出解题过程，就已失去了作为解答题的一部分价值；另一方面，该二面角的大小按常规解法难度较大，这会给老师们在以后的教学中造成一个不良的导向。
二、进一步把好严谨关
江苏卷第16题中，对区间[k,k+1]来说，如果明确一下“k∈Z”似乎更好，因为由题意知a=
0.618=-0.438，欲满足a∈[k,k+1]，除了可填写k=-1外，k还可以取-1.4、-1.1、-0.9、-0.7、-0.5等若干数据。
全国卷Ⅰ（理）第15题所给标准答案为m=1，而当ΔABC为等边三角形时，m可为任意实数，与标准答案就有了差异，不利于考生从特殊情况思考和作答。
三、减少把关题数
选择题与填空题的最后一题较难（江苏卷），这是学生所能接受的，而解答题从第二题开始就连续设置较难的小题，这无形之中增加了学生的应试心理压力，不利于学生的正常发挥。考后有不少数学成绩较好的学生反映今年的数学试卷较难。
四、答题卡要适当改进
由于实行网上阅卷，所以今年江苏高考的数学答题也采用了答题卡。但答题卡在制作上还需要进一步改进，如A、B卡最好用不同的颜色区别开来，以防止监考老师发错卡而影响学生的答题；又如，缺考标记前面最好加上“缺考标记”字样，以避免有参加考试的学生也把它填涂起来。