刘兴国[1]2007年在《几类平面微分系统的定性分析》文中研究表明本学位论文利用常微分方程定性理论和Lyapunov稳定性理论的基本方法,研究了几类平面微分系统的平衡点的性态和极限环的存在性与唯一性.本篇论文由六章组成:第1章简述了问题产生的历史背景及研究意义、相关预备知识和本文的主要工作.第2章主要讨论了两类无极限环的高次系统的全局结构.用奇点理论分析了两系统有限处与无穷远处奇点的性态,借助Dulac函数法讨论了系统全平面上闭轨的不存在性,分别作出了相应参数条件下系统于Poincaré圆盘上的全局结构相图.第3章对一类叁分子生化反应系统模型的平衡点性态、解的正向有界性及极限环的存在性进行了讨论,推广了已有的结果.第4章对一类平面2 n +1次多项式微分系统的平衡点性态及极限环的存在唯一性进行研究.运用形式级数法进行了中心焦点的判定,借助Dulac函数法讨论了闭轨的不存在性,依据Hopf分支理论分析了从平衡点分支出极限环的充分条件,然后在时间变换下将系统转化为Liénard方程,再通过构造对比系统和运用微分方程比较原理来验证Л.А.Черкас和Л.И.Жилевыч的极限环唯一性定理中所要求的条件,然后依据该定理分析得到了多种参数条件下极限环的唯一性和稳定性.第5章通过对一类叁次系统增加高次扰动项和减少对参数的假定条件得到更一般的平面微分系统.依据Hopf分支理论分析了极限环存在的充分条件,根据Л.А.Черкас和Л.И.Жилевыч的极限环唯一性定理分析得到了多种参数条件下极限环的唯一性和稳定性.在关于包围原点极限环存在唯一性的讨论中所得结论改进了已有的结果.第6章采用类似第五章的方法,对一类平面微分系统的平衡点性态、闭轨的不存在性及极限环的存在唯一性进行了研究.
李国涛, 刘兴国[2]2008年在《一类非多项式微分系统的定性分析》文中指出利用常微分方程定性理论方法,借助函数的Taylor展开,对一类非多项式微分系统进行定性分析;利用基于H.Poincaré思想的形式级数法,对系统的细焦点进行分析,并根据对称原理对系统进行中心的判定;借助Dulac函数讨论了闭轨的不存在性;利用Hopf分支理论根据参数变化时焦点稳定性的变化,分析得到极限环存在的若干充分条件。
曹斌[3]2007年在《几类多项式系统的定性分析》文中提出本文研究了几类特殊的高次多项式微分方程的极限环问题以及一类由微分方程诱导的动力系统的ω-极限集的结构.应用微分方程定性分析理论,我们给出了高次多项式系统极限环不存在的条件.并且通过变换将高次多项式系统转化为广义Lienard系统,再利用广义Lienard系统已有的丰富结果研究了系统的平衡点和极限环,分析了平衡点的类型,得到了极限环存在和不稳定的条件.Conley理论在动力系统定性分析中被成功应用,我们指出了Conley定义集合的ω-极限集与N.P.Bhatia等给出的以及其他文献中的不同之处,并给出其包含关系.应用Conley的Morse分解理论,我们研究了动力系统的ω-极限集,给出了系统的结论.全文共分为五章,第一章给出了本文的研究背景和用到的主要方法;第二章是预备知识,给出了动力系统和极限环的相关概念和相关结论;第叁章和第四章是主要结论部分,第叁章对几类高次多项式系统进行定性分析,得到了其极限环存在与不存在的条件,推广了文献[1],[2]中的结果;第四章研究了一类由微分方程诱导系统的ω-极限集的结构,给出了系统的结论,推广了J.Schropp的结论,并以一些具体的系统为例分析了其轨线的大范围定性性态;最后一章是对后期工作的展望,提出了有待于进一步深入研究的问题.
蒋自国[4]2008年在《一类高次多项式系统的定性分析》文中研究表明作者研究了一类平面高次多项式微分系统的奇点性态和极限环问题,给出了系统的奇点为稳定焦点、不稳定焦点和鞍点的充分条件.通过选取恰当的Dulac函数,作者给出了该系统极限环不存在的一些充分条件,并利用Hopf分支问题的Liapunov第二方法得到了该系统极限环存在性和稳定性的若干充分条件,然后利用Cherkas和Zheilevych的唯一性定理得到了极限环唯一性的若干充分条件.
李世霖[5]2010年在《几类叁次多项式系统极限环的存在性》文中研究说明由H.Poincaré所开创的常微分方程的实域定性理论已经历了一个世纪的发展,而极限环在定性理论中扮演了“一个主要的角色”。有关极限环的理论已在天体力学、无线电技术、自动控制等方面得到广泛的应用,而工程技术的需要又反过来推动了极限环的研究。与极限环问题密切相关的是中心焦点判定问题以及焦点量、鞍点量与奇点量的计算问题。对于二次系统,有关这些问题的研究方面已取得了丰富的成果,而对于叁次系统已有的工作相对较少一些。本毕业论文采用常微分方程定性理论的经典方法,对叁类叁次多项式系统进行定性分析。首先简述了问题产生的历史背景、研究意义及相关预备知识;然后对叁类叁次多项式系统的平衡点性态及极限环的存在性进行研究.利用基于H.Poincaré思想的形式级数法,进行了中心焦点的判定;根据Bendixson-Dulac定理讨论了系统闭轨的不存在性,并且依据Hopf分支理论分析得到了多种参数条件下极限环的存在性和稳定性。
吴玉森[6]2006年在《几类微分自治系统的定性分析》文中指出本文对几类平面多项式微分自治系统进行了定性分析，全文由四章组成。在第一章，本文对平面多项式微分自治系统的极限环的存在性与唯一性问题的历史背景和现状进行了全面的综述。在第二章，本文对一类叁次Kolmogorov系统用定性理论的方法解决了其极限环的存在性和唯一性问题。在第叁章，本文通过变换将一类高次多项式系统化为Liénard系统，利用Hopf分枝定理和张芷芬唯一性定理，证明了该类系统极限环的存在性和唯一性。在第四章，本文利用定性分析的方法，研究了一类生化反应模型，通过两次变换，最终将其化为Liénard系统，然后证明了其极限环的存在性和唯一性。
陈秀红[7]2014年在《多项式系统的拟齐次分解与单值性问题》文中提出在平面微分系统定性理论研究中，重要课题之一是对系统的孤立奇点进行分类，并建立各类奇点的判别准则，其中一个经典的问题是判定何时它是单值的（即判定一个奇点是不是中心-焦点类型）。根据平面解析系统如果有轨线进入系统的孤立奇点，则它只能螺旋形地进入或沿固定方向进入的事实可知：平面解析微分系统的孤立奇点是焦点-中心类型当且仅当没有轨线沿固定方向离开（进入）。当奇点是非强退化（即系统在奇点的线性化矩阵非零）时，单值性问题已基本上解决，而对强退化的情形，即使是解析系统，截止到目前仍然是一个没有得到完全解决的经典难题。在大部分微分方程定性理论的经典专着中，通常都是把解析系统进行齐次分解，再根据特殊方向作出典型域来研究孤立强退化奇点邻域内轨线的行为。但是这种方法计算十分麻烦，有时需要进行无穷次计算从而使得问题实际上是难以解决的。近年来，许多数学家开始着手于利用解析系统的牛顿图的有界边把它进行拟齐次分解来研究孤立强退化奇点邻域内轨线的行为。本文的第一个工作是基于固定权向量（即牛顿图的某条有界边）的拟齐次多项式与拟齐次多项式系统在通常的加法与数乘意义下都构成线性空间这个事实，通过研究这样的线性空间的维数与基底，给出解析系统的比较直观且容易计算的拟齐次分解式，并用几个具体的实例来实现这样的分解式。本文的另外一个工作是在这样的拟齐次分解式基础上，把微分方程定性理论中通过把解析系统进行齐次分解来定性分析孤立强退化奇点的经典问题而引进的示性方程、特征方向或特殊方向、特征轨线、典型域及其性质等推广到拟齐次系统的情形，给出拟齐次示性方程、拟特征方向、拟典型域及其性质，特别是给出了拟特征方向个数的估计。同时利用这些知识研究了解析系统的孤立强退化奇点附近轨线的定性行为。最后，对全文进行了总结与展望。
陈成美[8]2006年在《几类微分自治系统极限环的存在唯一性》文中提出本论文研究了几类平面多项式微分系统的中心焦点判定与极限环的存在唯一性问题，全文由四章组成。在第一章，主要对平面多项式微分系统的中心焦点判定与极限环的存在唯一性问题的历史背景与现状进行了综述。在第二章，一方面研究了一类二次系统极限环的不存在性问题，得出了其极限环的不存在性及拓扑结构；另一方面对一类生化反应模型进行了定性分析，得出了其极限环的存在性，不存在性及极限环的存在唯一性的条件。在第叁章，主要研究了一类叁次微分系统，利用计算机代数系统计算出了其前7阶奇点量，得出了原点的奇点量公式和可积性条件。在第四章，主要研究了一类n+1次Kolmogorov系统，利用微分方程定性理论，讨论了a_4＞0和a_4＜0两种情形下，其平衡点的性态与极限环存在的条件。
袁雪峰[9]2013年在《几类微分系统极限环的存在性研究》文中指出本文对几类高次微分系统进行讨论,得到了极限环存在性与唯一性的充分条件,论文由四章组成.第一章主要对微分系统相关问题的产生背景和研究现状进行陈述,在此基础上,介绍本文的主要工作.第二章讨论一类高次微分系统其中是a,b,c,σ,l是常数,i,j是奇数,m>n且为自然数利用Poincare切线法,余澍祥定理,对参数a,b,c,σ,l以及i,J,n,m进行了讨论,得出了系统极限环存在的条件.第叁章讨论一类微分系统(?)x=-y(1-a1x2(n-m)+a2x2m+1+a3x2n+1φ(x), y=x2k+1φ(x).的极限环的存在情况.其中n>m,2k>2n-2m+1,n,m,k∈N,a1,a2,a3是实数,且φ(x),φ(x)满足以下条件：(H1)φ(x)为偶函数且φ(0)>0;(H2)xφ'(x)>0：(H3)φ(x)是偶函数且φ(x)>0.运用Poincare切线法以及N.Levinson-O.K.Smith定理,对a1,a2,a3进行全面的分析讨论,得到系统极限环的不存在性,存在性和唯一性的条件.第四章讨论一类微分系统(?)x=yφ(x)=P(x,y), y=-x+ay+bxy+cx3+dx2y+ex3y+λx2(φ(x)-1)y=Q(x,y).其中φ(x),φ(x)为偶函数,且该函数满足(1)φ'(0)=φ'"(0)=φ5(0)…=φ2n+1(0)…=0,(2)φ'(0)=φ'"(0)=φ5(0)…=φ2n+1(0)=0且φ(0)=φ(0)=1.运用张芷芬第一定理,张芷芬第二定理,hopf分岔定理,得到极限环存在的条件.
李玉婷[10]2010年在《一类平面叁次多项式系统的定性分析》文中进行了进一步梳理本文研究了一类平面叁次多项式系统：我们采用常微分方程的定性理论的分析方法,得出如下四个部分结论：第一部分,分析系统(E)所有奇点的性态,并得出系统(E)存在奇异积分直线的条件；在前面分析的基础上,用paincare形式级数法,计算出了系统(E)在O(0,0)点的叁个焦点量,分别为C0=D,C1=-3/4(l+bc),C2=5/8abc.最后,研究了系统(E)无穷远奇点的性态.第二部分,运用极限环理论,对系统(E)的奇点O(0,0)外围的极限环的不存在性进行了较完整的分析.并且得到了：在c=0,a=0,b≠0,D≥1/b2,与c=0,b2=4a,b≠0,D≥4l/b2时以及O(0,0)为二阶细焦点时系统(E)均不存在极限环；当c≠0时,我们得到了系统(E)不存在极限环的一些条件.第叁部分,利用Hopf分支理论和极限环理论,对系统O(0,0)外围的极限环的存在性进行了分析,得出：当abc>0(<0),以及l+bc>0(<0),|l+bc|<<1,并且还有D>0(<0),|D|<|l+bc|<<1,在O(0,0)的外围至少可以产生出两个极限环.而当O(0,0)为一阶细焦点时,系统(E)存在唯一的极限环.第四部分,研究了系统(E)的全局结构,并给出了O(0,0)为中心,二阶细焦点和一阶细焦点时的全局结构相图,最后用数值模拟的方法验证了计算的准确性.
参考文献：
[1]. 几类平面微分系统的定性分析[D]. 刘兴国. 湖南大学. 2007
[2]. 一类非多项式微分系统的定性分析[J]. 李国涛, 刘兴国. 湖南工业大学学报. 2008
[3]. 几类多项式系统的定性分析[D]. 曹斌. 北京交通大学. 2007
[4]. 一类高次多项式系统的定性分析[J]. 蒋自国. 四川大学学报(自然科学版). 2008
[5]. 几类叁次多项式系统极限环的存在性[D]. 李世霖. 湘潭大学. 2010
[6]. 几类微分自治系统的定性分析[D]. 吴玉森. 中南大学. 2006
[7]. 多项式系统的拟齐次分解与单值性问题[D]. 陈秀红. 浙江理工大学. 2014
[8]. 几类微分自治系统极限环的存在唯一性[D]. 陈成美. 中南大学. 2006
[9]. 几类微分系统极限环的存在性研究[D]. 袁雪峰. 中南大学. 2013
[10]. 一类平面叁次多项式系统的定性分析[D]. 李玉婷. 福州大学. 2010