由传授知识向培养思维转变——“任意角”教学实录与点评，本文主要内容关键词为：思维论文,点评论文,教学实录论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、教学内容和内容解析
1.教学内容
任意角的概念（包括定义、象限角的概念、终边相同的角的表示）.所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学4（必修）》（人教A版）第一章第一节.
2.内容解析
章引言中列举了大量现实中存在的周期性变化现象，并提出与本章内容相关的问题，以引起学生的兴趣，让学生围绕这些问题展开讨论、思考，认同引入新的函数——三角函数的必要性.因此，章引言是本节课的重要教学内容.
任意角是进一步学习三角函数的基础，其具体内容包括任意角的定义、任意角的表示（主要是象限角）以及任意角的性质（主要是终边相同的角的表示）.本节内容概念多，思想方法丰富，看似简单，但意义深远.它对培养学生的思维能力，完善认知结构具有重要的作用.
二、教学目标和目标解析
1.教学目标
（1）认识周期性变化的现象；
（2）将0°～360°范围的角推广到任意角，会表示终边相同的角的集合；
（3）任意角知识构建过程中基本研究方法的渗透.
2.目标解析
为了加强三角函数学习的目的性，本节课先引导学生发现身边“周而复始、循环往复”的现象即周期性现象，并提出“三角函数是刻画周期性变化规律的数学模型”，使学生明确学习三角函数的意义.
要实现让学生理解任意角的定义，莫过于让学生参与任意角概念形成的过程.让学生感受到因研究新事物的需要而推广任意角的必要性以及任意角概念的合理性.角的终边相同是因角推广到任意角后，随着引入象限角产生的一种周期性现象，而对终边相同的角的数学表示就是在用数学语言刻画现象的本质.
通过学生经历任意角及相关概念的建构过程，渗透数形结合思想、类比思想、建模思想.让学生逐渐掌握发现问题、分析问题、解决问题的方法.
三、教学问题诊断分析
由0°～360°范围内的角到任意角的学习，从认知结构发展的角度来说，属于“上位学习”，是一种特殊到一般的过程.因为学生在初中学过0°～360°的角，可能会对任意角的认识产生一定的局限性，导致正、负角定义学习的困难.这里可以让学生先仔细观察最本质的周期性现象——质点的匀速圆周运动，充分体会旋转方向对准确刻画质点位置变化的重要性，然后给出任意角的概念.另一方面，可以借助有理数的引入和用数轴上的点表示的经验，通过类比可以促进角的概念推广和定义的学习.
另外，在学习终边相同的角的表示时，因为刚接触象限角的概念，对“角的始边相同”的要求还不明确，所以对“终边相同的角”的本质——角度相差整数周会产生疑惑.可以先从几个具体的终边相同的角寻找关系，再在直角坐标系中印证，然后推广到一般情况.
四、教学支持条件分析
利用《几何画板》软件直观展示质点的圆周运动，为学生发现周而复始现象提供方便.利用Flash 软件动态改变角的终边位置，帮助学生理解任意角的概念，以及从“形”的角度理解终边相同的角的本质.
五、教学过程
1.创设情境，导入新课
师：对于函数，我们并不陌生.我们已经学过了指数函数、对数函数等，知道它们可以用来刻画指数爆炸、对数增长等变化规律.我们身边还有很多有规律的现象，下面观看两段视频.
（教师用视频展示天体运动和摩天轮）.
师：你们也能举几个符合这类变化规律的现象吗？
（学生思考片刻后，回答踊跃）.
：转动的风扇.
：行进中的车轮.
：手表上转动的指针.
师：很好，大家举的例子都符合.那你们觉得这些现象都有什么共同点呢？
（学生议论纷纷，回答踊跃）.
：它们都是旋转的，而且都与圆有关系.
：它们都朝着一个方向转.
：都是不停的转，转了一圈又一圈.
师：大家总结得都有道理.刚才有位同学说到了都是“一圈又一圈”地转，是不是体现了一种循环往复，周而复始的变化规律呀？
：是的！
师：这种规律就叫做周期性.你们能用学过的函数模型来刻画这种规律吗？
：不能！
师：本章要学习的三角函数就是用来刻画周期性现象的数学模型.
【点评】通过创设情境，激发学生的学习热情，感受现实生活中普遍存在的周期性现象，让学生感知已学函数模型不能刻画这种周期现象，造成认知冲突，增强学生的好奇心，激发学生学习三角函数的主观欲望.
学生受教师展示情境的定势影响，举例形式单一.教师如能补充“四季轮回”，“月亏月圆”，“潮涨潮落”等更广泛的周期现象，可以丰富学生对现实生活中周期现象的认识.
2.问题引导，共探新知
师：由于这些周期性现象五花八门，我们就从最简单的，且保持了周期现象本质特征的匀速圆周运动开始研究.（教师用《几何画板》展示质点B以A为起始位置做匀速圆周运动的动态过程）可见质点B的运动是有规律的，我们能不能用一个量来准确刻画质点B的运动变化？
（学生积极思考，相互讨论）.
：用∠AOB的大小.
师：你能说说这个角是怎样产生的吗？
：是质点B在转动时，射线OB随之转动产生的.
师：很好，角就是旋转形成的.你能将图1中角的三要素找出来吗？
：顶点是O，始边是OA，终边是OB.
【点评】这一段的教学，经历了两次抽象：第一次，从现实“周而复始”情境中抽象出质点的匀速圆周运动，在形式繁复多样的周期现象中先研究简单的模型，体现了数学的至精至简和高度概括的特点；第二次，引导学生从匀速圆周运动中继续探求这种周期运动的数量表示，从中抽象出“角”，并且这里的“角”已不同于初中所学的角.
通过学生的回答，从质点做匀速圆周运动中抽出角的图形，将运动变化的本质简明突出地保留下来，还有利于继续研究圆周上点的运动规律的数量表示.引导学生用运动变化的观点来认识角是旋转形成的，增强了学生对“角是转出来的”的认识，让学生指出角的三个要素，也为后面象限角的教学做了铺垫.
师：大家觉得这两名同学的想法可以统一吗？
（学生七嘴八舌，观点基本一致）.
师：回答得非常棒！初中所学的角在0°～360°，这些角在刻画质点B的运动变化时够不够用呢？
：不够，因为质点不止旋转一周.
师：也就是需要将角的范围进行推广.你能不能再说说当∠AOB的大小为90°时，质点B的位置在哪里呢？
：在圆心O的正上方.
师：有没有哪位同学有不同意见的？
：还有可能在圆心O的正下方.
师：为什么？
：因为终边可以是逆时针旋转，也可以是顺时针旋转.
师：很好，你观察得很仔细，值得称赞.（学生鼓掌）也就是我们不仅需要从量的角度将角推广，还需根据终边旋转方向不同将角加以区分.本节课的首要任务就是先将角推广到任意角.（教师板书：任意角）.
【点评】教学设计中没预计到AB的长度可以作为刻画质点运动的量，教师及时组织学生分析角和弧的内在联系，将对质点运动的刻画统一到“角”，反映出教师能及时抓住教学中的生成，具有较强的教学机智.将角作为刻画匀速圆周运动的质点位置的变化规律，引发学生的认知冲突，切实体会需要从旋转量和方向两个角度将角进行推广，为后面学习任意角做好铺垫.
师：首先我们想想如何区分这两个因旋转方向不同所形成的90°角呢？（学生面面相觑）.
师：（继续启发）一个角是逆时针旋转形成，另一个角是顺时针旋转形成，逆时针与顺时针具有相反意义.我们之前有表示一对相反意义的量的经验吗？
：有，正负数.
师：请一位同学尝试着定义这两种角.
：我们可以把按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角.
师：很好，和教材上的定义一模一样.其实这种定义只是早前科学家们的共同约定，是为了大家研究问题的方便.（板书：正负角的定义）.
【点评】通过类比正负数的规定及数的扩充，引导学生经历数学概念的主动建构过程，使学生积累数学活动经验，培养抽象概括能力，使学生的主体地位得到了保证.
师：好，有了正、负角之分，刚才的质点位置的问题就得以解决了，90°角对应的就是正上方的点，-90°角对应的就是正下方的点.这样，我们就可以用角来准确刻画做圆周运动的质点的位置了.
师：角有正有负，大家看看还有什么缺憾吗？
：没有零角.
师：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角.
（教师板书：零角的定义）.
【点评】从合理角度完善任意角的定义，培养学生严谨的数学思维能力和追求完美的价值观.
师：至此，我们完成了任意角概念的构建.接下来让我们通过Flash动画再来体会一下角是如何突破的.
（教师用操作Flash演示，如图2所示）.
【点评】通过动态演示让学生能够直观感受随着终边的旋转，角是如何变化的.角的终边旋转的无限性可以产生任意角.
师：刚才大家都是以观看为主，现在请大家动手，在纸上画出-120°的角.
（学生画图，教师巡视，挑选有代表性的作品展示）.
师：同学们，为什么同是表示-120°的角，但图形不一致呢？
：因为顶点和始边的选择不同.
师：这种“无政府”的表现形式不利于我们继续研究.为了研究方便，我们需要对角的表示建立统一的平台，请同学们提供一种解决的方案.
由于本章要学的三角函数仍是一种函数，而函数的研究与平面直角坐标系是密不可分的，所以为了便于后续研究，我们就将角统一放入平面直角坐标系中来研究.那么我们如何将顶点与始边固定在坐标系中呢？
：将顶点放在原点，将始边放在x轴上.
师：始边是一条射线，而x轴是一条直线，请你再说具体点，始边是如何放在x轴上的？
：将始边放在x轴的非负半轴上.
师：很好，你的选择又是和科学家不谋而合，看来你有做科学家的潜质.一旦这样统一固定了顶点与始边，我们再画同一个角时，图形还会不会不一致？
：不会了.
师：也就是说，在平面直角坐标系中，对于一个任意给定的角α，它的终边的位置是唯一确定的，要么落在四个象限内，要么落在坐标轴上.为了管理好这些角，我们就利用终边的位置将它们进行分类，这就是本节课学习的第二个概念：象限角.
（教师板书：象限角的概念）.
【点评】通过现场画图，一方面能纠正学生的错误，规范角的画法；另一方面通过学生所画角的图形不同，让学生感受其困扰，分析原因，寻求解决方案.引导学生将角放入平面直角坐标系中，从而自然地引出象限角的概念，让学生体会将角放入坐标系后带来的方便.
师：角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，则角不属于任何象限.照此，-120°的角是第几象限角？
：第三象限角.
师：那280°，-200°呢？
：第四象限角和第二象限角.
师：下面请一对同学互报互答.
（学生积极配合，大胆参与）.
【点评】通过设置不同形式的问答形式，一方面对新知的学习起到检测作用，.有利于知识的掌握；另一方面可以调动学生的学习热情，激发更佳的学习状态.
师：我再来报几个角，看大家能不能快速回答出其所在象限：-20°，340°，-380°.
：都是第四象限.
师：你们怎么这么快就判断出来了？难道有规律吗？
：它们的终边是一样的.
师：终边相同是“形”的关系.它们数量上有什么关系呢？
（学生苦思冥想，教室内安静下来）.
师：我们能不能用-20°的角来表示其他两个角？
（学生豁然开朗，纷纷举手回答）.
：可以的，340°=-20°+360°，-380°=-20°-360°.
师：那你能不能再从“形”方面说明一下在-20°角上加、减360°的几何意义呢？
：（思考片刻后）加360°后所得角的终边，就是在-20°终边的基础上再逆时针旋转一周形成；减360°后所得角的终边，就是在-20°终边的基础上再顺时针旋转一周形成.
（教师用Flash演示过程）.
【点评】教师引导学生观察与-20°角终边相同，而度数不同的一组角，又通过动画演示帮助学生从“形”的角度认识终边相同的角的特点，为下面带领学生探究与角终边相同的-20°角之间的数量关系做好铺垫.
师：我们看到，结果与刚才那名同学的一致！那么与-20°终边相同的角是不是只有两个呢？
：不是，有无穷多个！
师：你们能不能用-20°角把它们都表示出来？
：-20°+k·360°.
师：其中k是一个什么样的数？
：整数.
师：也就是说与-20°角终边相同角的集合可以写为S=｛β|β=-20°+k·360°，k∈Z}.那么与123°终边相同的角的集合如何写呢？
：S=｛β|β=123°+k·360°，k∈Z}.
师：很好，大家已经会举一反三了.那么与α终边相同的角的集合又如何写呀？
：S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝.
师：我很高兴，大家已经学有所成了！其实对于任意一个确定的α，与其终边相同的角的集合均可写成S=｛β|β=α+k·360°，k∈Z｝，这就是本节课的第三个教学内容.
（教师板书：终边相同角的集合表示）.
（教师通过动画演示，让学生深刻理解等式中k的正负其相应的几何意义）.
【点评】通过对终边相同角的研究，指出k的几何意义，引导学生体会角的“周而复始”的变化规律，也就是完成了质点B的运动变化规律的构建，为今后学习三角函数的周期性打下了基础.另外，通过这种由具体到抽象的过程，也培养了学生分析和解决问题的能力.
3.新知应用，巩固提高
例在0°～360°范围内，找出与-950°角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（注0°～360°是指0°≤α≤360°）.
4.课堂小结，布置作业
师：这节课我们学习的主要知识见黑板：任意角，象限角，终边相同的角.但是，探究知识的过程却是不平凡的.
现实生活中广泛存在着“周而复始”的周期性现象，对于这些现象我们无法用学过的函数模型予以刻画.今天这节课就是寻找刻画这种现象的函数模型的第一节课.我们从观察现实生活中丰富多样的“周而复始”现象开始，从中抽象出描述这种现象的模型——质点的匀速圆周运动.
角是旋转出来的，我们类比用正数、负数描述一对意义相反的量的方法，用正、负符号描述角的旋转方向，然后结合旋转量，把角的范围推广到任意角.
为了创设一个共同研究的平台，我们将任意角放入平面直角坐标系，固定了角的顶点与始边，让终边成为决定角的唯一要素，产生了象限角，即由终边位置将角进行了分类.
最后我们从数和形两个角度研究了终边相同的角的表示.这个过程我们先是从几个具体、特殊的例子着手，然后再形成一般性的结论，即与终边相同的角的集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z｝.
（教师总结的同时，学生予以应答，共同回忆相关知识点，教师用课件展示整节课的教学流程，如下图）.
【点评】最后的总结起到点睛的作用，特别是伴随着师生问答式边回忆边总结，教师同时适时点开课件，将知识探究、发展过程中蕴含的数学思想方法用鲜艳的红字显出，使学生印象深刻.通过提纲挈领地梳理整节课的探究历程，让学生再一次从宏观的层面了解研究新问题的基本程序，感受抽象、建模、类比、推理等基本数学思想方法在研究问题过程中对思维的导航和驱动作用，为今后学生独立自主研究问题作出示范，同时，也充分展示了教师从思维方法培养的高度理解数学，实施教学.
作业：课本习题1.1A组1，2，3（2）、（4）、（6）.
【点评】作业布置合适恰当.
【总评】整节课教师注重发挥学生的主体作用，启发学生思考问题，耐心等待学生自主得出结论，对学生的优秀表现，总是恰当、不失时机地表扬鼓励，体现教师对学生真切的关爱和尊重.
对于在大型的全国优秀课评比现场展示的一节课，有诸如超时、有的地方思维不够流畅等不尽如人意之处，但是在发挥学生主体作用和对学生思维方法培养上，有许多可以肯定之处，是能引发教师深刻思考的一节课.
六、总结与反思
1.关于章引言教育教学功能和导入情境创设的思考
笔者在准备本课教学之初，没有考虑章引言的教学，认为可有可无.有幸的是本节课是一节全国性的公开展示课，因此很多专家、老师在实施教学前就本节课的教学设计提供了宝贵意见，其中最有共鸣的一条建议就是将章引言作为本章第一节的教学内容处理.章引言是对本章节知识概貌的介绍，可以使学生对全章的学习内容有一个整体了解，以帮助学生高屋建瓴地认识学习内容，形成良好的知识结构，同时也能有效地激发学生的学习兴趣.
在充分认同这一点后，便有了前面所附教学设计中的“创设情境，引入新课”环节.按照原设计意图是想先让学生通过观看“天体运行”与“摩天轮”两段视频，然后再列举几个现实生活中与其具有类似规律的现象，最后再找出“周而复始”这一共同点.举例过程看似顺利，“转动的风扇”、“行进的车轮”、“转动的指针”等例子均被学生举出，但在总结规律时，学生的回答有：“都是旋转的”，“都是朝一个方向”，“都是和圆有关系”，“都是绕着一点转”，等等，迟迟不能点题.笔者心知时间宝贵，但又不想越俎代庖地告诉学生，僵持之下最后好不容易抓住一位学生回答的“一圈一圈转”才终于将学生的思路引向预设，此时时间已经过去近8分钟.这里的意外严重影响了后续探究终边相同角的时间，造成体验不够、概括过早、应用更少的现象.
现在想来问题的关键还在于当初的导入设计考虑不够缜密.之前设计的情境导入环节，还准备了一个春夏秋冬四季景色快速重复变换的短片，但后来只想到节省时间，就将其删除了.这一决定却直接导致了所保留的两段视频由于导向性不明确，学生只能盲人摸象，反而浪费了更多时间.情境的创设没有顾及学生实际置身其中时可能会有的感受，缺乏足够的信息传达，看来学情分析还是很重要的.
尽管教学设计存在着这方面的不足，但章引言的教学过程仍然让笔者切身体会到了“先行组织者”在课堂教学中的重要作用，也让学生经历了用自己的眼睛观察世界，发现数学的过程，同时也为学生构建基本的研究思路，为整章学习打下基础.
2.对引入角的问题与研究周期性现象关系的反思
角的引入环节是本节课的灵魂，也是课堂上重点着墨的部分.然而，笔者在与一些老师交流时，有些老师提出“这一环节耽误了太多时间，导致后面的教学任务不能正常完成，不如单刀直入，直接进入角的研究”.但笔者认为，教师要尊重学生的认知水平，尊重学生的认知心理过程，决不能简单化，特别是数学概念教学更不能简单化.
本节课就是一节概念课，当学生发现已有的函数模型不能解决“周而复始”的变化规律的刻画问题后，教师告知，数学中研究一类现象，往往从简单而本质的情形入手.“周而复始”现象中，最本质的就是匀速圆周运动.因此，可以进一步地把刻画单位圆上的匀速圆周运动作为研究“周而复始”现象的起点.确定单位圆周上的点的匀速运动的要素是什么？用带有方向的角或带有方向的弧长来刻画.如果用同样的“单位长度”来度量角和弧长的话，两者就可以统一.所以，把角作为原始变量，再用单位圆的弧长来度量角，就可为刻画匀速圆周运动提供必要的基础.在实际上课过程中，学生既明白了为什么要通过研究角来研究周期性现象，又感受了把角推广到“任意角”、引进“弧度制”的必要性.这一教学过程填补了教材上从发现周期性现象到着手研究角之间衔接的空白，也让分析问题的环节更加完整，更可以帮助学生看到知识的“生长”过程，掌握研究问题的基本方法.
数学概念教学应突出数学思维和认知环节的实践，教师的任务是引导和帮助学生去进行概念“再创造”的工作，学生课堂经历的应该是认识发现而不是吸纳性的过程.数学概念是数学的“基石”，是学生获得系统的数学知识的源泉，是导出数学定理和数学法则的基础，是提高能力的前提.著名的数学教育家弗赖登塔尔说过：“与其说让学生学习数学，还不如说让学生学习‘数学化’”.如果数学概念的形成只求“结果”，而忽视“过程”，就等于剥夺了学生使用数学的权利，所以，为发现而教才具有重要的教育价值.
3.对课堂小结形式的反思
笔者在平常的教学过程中，常常忽视课堂小结，甚至认为例题讲完了课也就结束了.这次参赛一节课仅结课环节笔者就在专家的要求和指点下修改了多次，从1分钟呆板的知识点回放式小结，到2分钟传统的师生问答式小结，再到4分钟建构梳理式小结等，都设计了一遍，经过反复的斟酌和考虑，最后终于找到了较为合理的小结方案，这时静下来的我才切实体会到做好课堂小结是多么重要，应当使它成为整节课的点睛之笔.正像章建跃博士指出的，本节课的设计理念是“立足于充分发挥数学的内在力量，发展学生数学思维能力，培育学生的理性精神，使学生逐步学会认识问题、解决问题的方法.”这一理念不仅要在教学过程中渗透，而且要在课堂小结中着力把学生的认识提高到这个层次.通过小结，对教学内容及过程进行梳理和概括，帮助学生联系前后知识，把学到的零散知识联系起来.或许正是备课过程中笔者对课堂小结有了全新的认识，当笔者知道已经超时5分钟时，还是“大方”地又花了4分钟完整地进行了课堂小结.
本节课的设计有多位专家参与，他们提出了许多有价值的教学理念和方法，其中很多都让笔者醍醐灌顶，豁然开朗.在后期教学设计的修改过程中，笔者总是力争能够将所有好的想法都融入这一节课中.最终，从教学设计的角度应该说是做到了，但是在实际教学过程中却远远没有做到.当笔者带着诸多遗憾走下讲台，冷静思考后才明白，渴望在一节课里全面体现各种先进教学理念，去承载数学教学规律中太多的东西是不现实的.其实一节有分量的数学课不一定是面面俱到的，只要有一两个闪光点让人耳目一新，就完全称得上是一节精彩的数学课了.