Markov链利率离散时间比例再保险模型的破产问题

古再丽努尔·阿布都卡地尔， 俞天银， 徐茂伟， 郭峰， 李婷

新疆农业大学数理学院， 新疆 乌鲁木齐 830052

摘 要 ：本文考虑了一类保费和理赔额均为相互独立随机变量，且利率为Markov链的离散时间比例再保险风险模型.利用递归更新技巧,得到了破产前盈余和破产后赤字的联合分布所满足的微积分方程,作为推论给出了保险公司最感兴趣的破产前盈余分布,破产后赤字的分布以及破产概率所满足的微积分方程.

关键词 ： Markov链; 比例再保险; 破产概率.

0 引言

破产概率是度量风险的一个重要指标，而再保险是保险公司为了降低破产风险而把部分甚至是全部风险转移给其他一个或几个保险公司的保险行为.因此研究再保险对破产概率的影响成为现代保险学业中的热点问题之一.对于离散时间再保险模型，文献[1]研究了两种保费定价原则下的再保险,给出了定价方式对于自留水平因素的影响.文献[2]研究了带干扰因素的比例再保险模型的破产概率问题,利用鞅方法,得出破产概率的具体表达式.文献[3]研究了带随机利率的离散时间比例再保险模型,并用递推方法和数学归纳法，得到了几个破产指标所满足的微分积分方程.文献[4]研究了MA(1)利率离散时间比例再保险模型,并用全概率公式和递归方法，得到了破产概率所满足的微分积分方程.

在质量管理上，建立“建设单位负责、施工单位保证、政府部门监督”的质量保证体系，重点把好采购、施工、验收三道关口，对工程质量实行全过程跟踪管理。同时，实行工程质量保证金制度，即工程竣工后将工程建设总资金的5%～10%作为质量保证金，一个汛期后对工程完好、苗木成活率达90%以上的措施方可支付质保金。

本文是在文献[3]的基础上，考虑利率为取值于可数状态空间的齐次Markov链形式的比例再保险形式,利用递归更新技巧和全概率公式法,得到了破产前盈余和破产后赤字的联合分布所满足的微积分方程,作为推论给出了破产前盈余分布破产后赤字的分布,以及破产概率所满足的积分方程.

1 模型描述

考虑如下的离散时间比例再保险模型^[4]：

U _n =U _n-1 (1+R _n )+C (b _n-1 )-h (b _n-1 ,Y _n )n =1,2,…

(1)

其中，{U _n ;n ≥1}为保险公司的盈余;U ₀=u 为保险公司的初始准备金;b 为自留额比例;b _n 表示保险公司第n 期的自留额比例；C (b _n )表示第n 期收取的保费收入；{Y _n ;n ≥1} 表示在(n -1,n )时间段内的理赔额；{R _n ;n ≥1}表示第n 时期的利率,是负随机变量序列；{Y _n ;n ≥1},{R _n ;n ≥1}均为相互独立的且服从同样分布的非负随机变量序列.

在本文我们假设第n 期的利率R _n 服从一个齐次Markov链，且取值为可数的，即

R _n ={r ₀,r ₁,r ₂,…|r _n ≥0,n =0,1,2,…}

对任意n =1,2,…，任意状态r _s ,r _t ,r _t0 ,r _t1 ,…,r _tn-1 ,则有

P {R _n+1 =r _t |R _n =r _s ,R _n-1 =r _tn-1 ,…,R ₁=r _t1 ,R ₀=r _t0 }

=P {R _n+1 =r _t |R _n =r _s }=p _st ≥0s ,t =0,1,2,…

其中

综上所述,有

根据轴承1优先装配的装配过程，O1和O2在绝对坐标系中的最小距离根据式(9)计算为∣Δv∣，O1和O2在绝对坐标系中的最大距离根据式(10)计算为(0.064 5+∣Δv∣)mm，而底座内孔2与轴承2外圈装配间隙P范围可根据式(11)计算为[0,0.072] mm。

b _n =b h (b ,y )=by h (b ,y )∈(0,y )

以及它们的联合分布为

定义破产概率为

为破产时刻.

T =inf{n ≥0;U _n <0}

其中

以此类推得,对任意n ≥2有

对于网络调查来讲，更能体现互联网技术优势特征的调查方法是大数据方法，这种调查融合运用了网络爬虫技术和大数据技术，通过网络爬虫技术对各大门户网站、博客、微博、论坛、贴吧等网络信息源进行数据抓取，对抓取到的网络数据进行挖掘和分析，获取调查数据依靠软件程序自动进行，方便快捷。

2.1.3 供试品溶液的制备 取姜黄药材0.2 g（60目），精密称定，置具塞锥形瓶中，加入甲醇50 mL，称定质量，超声处理（功率250 W，频率40 kHz）45 min，放冷，再称定质量，用甲醇补足减失的质量，摇匀，取上清液用微孔滤膜（0.45 μm）滤过，即得。

φ (u ,q ,r _s )=P {|U _T |≤q {|U ₀=u ,R ₀=r _s }

破产前盈余的分布为

F (u ,p ,r _s )=P {U _T- ≤p |U ₀=u ,R ₀=r _s }

则y -h (b ,y )是由再保险公司支付的索赔额的一部分.

3)义棠矿F7断层东北侧的灰岩分形维数值比西南侧高，更接近于3，非均质性更强，发育导水断层的煤系灰岩区，分形维数会随着地下水的流向而增大。

H (u ,p ,q ,r _s )=P {U _T- ≤p ,|U _T |≤q |U ₀=u ,R ₀=r _s }

其中,p ,q 为正常数.下面讨论Markov链利率比例再保险模型情况下，上述定义的保险公司最感兴趣的几个破产指标所满足的方程.

20世纪初，在芭蕾舞演员和好莱坞明星的影响下，化妆品开始兴起。20世纪80年代，国际化妆品品牌开始进入中国市场。此后，全球化妆市场逐步形成较为稳定的格局，整体市场规模保持稳健的增长。2017年全球化妆品行业规模达到4648.35亿美元，同比增长5.25%。其中，化妆品集团占据着较大的市场份额。全球排名前三的化妆品集团分别是欧莱雅、联合利华（化妆品业务）、宝洁（化妆品业务）。化妆品集团具有较清晰地市场细分，每个品牌下都设立子品牌满足不同类型消费者的需要。例如欧莱雅集团旗下主要有护肤、药妆、彩妆、美容仪器、香水、美发等品类。每个品类又细分为顶级、二线以及三线品牌。

2 主要结果及证明

(2)当p >u 时，有

(2)

记则{W _n ;n ≥1}为相互独立的随机变量序列即分布函数为F _W (x )=P {W ≤x }，则时刻n 保险公司的盈余可写为

蒸汽烤箱(Midea E50)；水分测试仪(梅特勒-托利多HS153)；质构仪(TA.XT.Plus 41769)；电子天平(上海友声衡器有限公司BS-6KH)。

再令则

(3)

首先我们考虑破产前盈余和破产后赤字的联合分布.为此,我们考虑函数

H ₁(u ,p ,q ,r _s )=P {U _T ≤-q ,U _T- ≥p ,T <∞|U ₀=u ,R ₀=r _s }

定理 在前述假设条件下,H ₁(u ,p ,q ,r _s )满足下面的方程:

(1)当p ≤u 时,有

(4)

将(1)式整理可得

(5)

证明 由H ₁(u ,p ,q ,r ₀)的定义，有

H ₁(u ,p ,q ,r _s )

h ₁(u ,p ,q ,r _s )

h ₂(u ,p ,q ,r _s )

因为u (1+r _t )-p <s <u (1+r _t ),则p >u (1+r _t )-s ,由H ₁(u ,p ,q ,r ₀)的定义第二式为0.所以

h ₃(u ,p ,q ,r ₀)

P {R ₁=r _t |R ₀=r _s }

定义破产赤字的分布为

令

(1)当p ≤u 时,有

H ₁(u ,p ,q ,r _s )

节水增粮行动项目实施必须坚持节水优先、改造为主的内涵式发展思路，进一步转变传统灌溉方式。以现状灌溉面积的节水改造为急性心肌梗死使临床上常见病,该病具有发病急、变化快、病死率高及预后效果差等特点,严重危及患者的生命安全;临床治疗多采取溶栓治疗,良好的溶栓药物对降低急性心肌梗死患者的病死率具有重要意义。瑞替普酶和尿激酶均为临床常见的溶栓药物,为进一步探讨两种药物在急性心肌梗死患者的效果,本研究对急性心肌梗死患者采用普酶及尿激酶进行对比,现报道如下:

故有(4)式成立.

(2)当p >u 时，有

H ₁(u ,p ,q ,r _s )

即得(5)式成立.证毕.

抱着试试看的态度，周磊联系了几个美国类似机构。这项技术在国外也还处于试验阶段，目前规模最大的是洛杉矶的Alcor。他们已冷冻了140例病人，还和一千多名会员签下冷冻协议。因头部冷冻技术比全身更成熟，我们选择了前者。

通过应用信息化科学技术可以实现土木工程设计和管理的优化，充分将建筑美学表达出来，实现土木管理的精细化。随着各项新的技术、设备逐渐研发，新的管理模式以及应用平台的更新，土木工程建设如果不能做到与时俱进势必会被社会淘汰，只有不断将适应现代化社会发展的需求，逐步提升管理水平，才能促进土木工程施工建设可持续发展。

推论 1 由F (u ,p ,r _s )的定义,有

F (u ,p ,r _s ) =ψ (u ,r _s )-P {U _T- >p ,T <∞|U ₀

=u ,R ₀=r _s }∶=ψ (u ,r _s )-F ₁(u ,p ,r _s )

则当p ≤u 时,在(4)式中令q =0,得

五大改造新格局是对新时代坚持中国特色社会主义监狱制度的重大发展，是关系监狱工作理念、模式和方法的一场深刻变革，具有重要的理论指导和司法实践意义。笔者欲从全面认识构建改造工作新格局的必要性、全面把握深刻内涵、全面领会内在联系等方面，就如何构建五大改造新格局的实践路径，进行研究和思考，提出了一些粗浅的认识和看法。

当p >u 时,在(5)式中令q =0,得

采用SPSS 19.0软件对结果数据进行统计分析。正态分布的计量资料以± s表示，2组间的比较采用独立样本t检验；NHL病理亚型多组间比较采用单因素方差分析，各亚组间的两两比较采用Tukey post hoc检验；SUVmax与Ki-67表达间的相关性采用Spearman相关分析。P＜0.05为差异有统计学意义。

推论 2 由φ (u ,q ,r _s )的定义，有

φ (u ,q ,r _s ) =ψ (u ,r _s )-P {U _T <-q ,|U ₀=u ,R ₀=r _s }∶=ψ (u ,r _s )-φ (u ,q ,r _s )

则在(5)式中令p =0得

推论 3 在(4)式中令p =0,q =0得最终破产概率满足方程

3 总结

综上所述，在离散时间比例再保险模型中的利率不是常数，而具有马氏利率的情况，这一特征使模型更有现实意义.从本文所讨论的模型下得出的关于各个破产指标所满足的微积分方程可知,只要知道随机变量W 和R 的分布函数，就可以利用递推公式得到保险公司的各个破产指标.

参考文献 ：

[1]贺丽娟，张锴.不同再保费定价原则下的最优再保险[J].黄冈师范学院学报，2010,30(3):95～98.

[2]成军祥,王变. 带干扰的再保险风险模型的破产概率[J].北京电子科技学院学报, 2010,18(2):1～3.

[3]何晓霞.一类离散时间比例再保险模型的破产问题[J].数学杂志,2012,32(1)：181～185.

[4]古再丽努尔,吴黎军.离散时间比例再保险模型的破产问题[J].山西师范大学学报，2014,28(15):23～27.

Ruin Problems for a Discrete Time Proportional Reinsurance Mode with Markov Chain Interest Rate

Guzalnur Abdukader， YU Tian-yin, XU Mao-wei, GUO Feng, LI Ting

(College of Mathematics and Physics ,Xinjiang Agricultural University ,Urumqi 830052,Xinjiang ,China )

Abstract : In this paper ,we study a discrete time proportional reinsurance risk mode under the assumption that the interest rates have Markov chain.By using the recursive method, the integro-differential equation for the distribution of the surplus just before ruin, the distribution of the surplus immediately after ruin, the joint distribution of the surplus immediately before and after ruin are derived.Moreover, as a corollary, the integral equations for the ruin probability are also derived.

Key words : Markov chain； proportional reinsurance mode； ruin probability

中图分类号 ： O211； F222.3

文献标识码： A

收稿日期 ：2017-06-15

基金项目 ： 新疆维吾尔自治区级大学生创业训练计划项目(201710758124 ).

作者简介 ：古再丽努尔·阿布都卡地尔(1986—)，女，新疆阿图什人，新疆农业大学数理学院讲师，硕士，主要从事精算数学方面的研究.

文章编号 ：1009-4490(2019)01-0042-05

标签：Markov链论文;  比例再保险论文;  破产概率论文;  新疆农业大学数理学院论文;