上海市老年护理互助会会员会费交付平衡研究，本文主要内容关键词为：会费论文,上海市论文,老年论文,会员论文,互助会论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O213.9.
早在70年代，上海就已步入了老年型城市的行列。随着近30年来的发展，上海市老龄化的程度已经很高，生活不能完全自理的老年人无论是相对数量还是绝对数量都相当大大，据初步测算，1997年未上海处于生活部分或完全不能自理的老人已分别达到16.4万和8.2 万人。但是，由于现代家庭结构的小型化趋势，预计在未来一二十年内，上海“四二一”或“四二二”式的家庭结构将会十分普遍。这样，一方面是需要护理的老年人的数量越来越大，而另一方面是能够对老年人提供护理的家庭成员的数量却越来越少，老年人的护理问题必将成为一个非常突出的社会问题。为此，希望通过成立“老年护理互助会”，以低龄老人服务高龄老人的方式来解决老年护理问题。这一思想具体体现为，会员在具有自理能力时向互助会提供护理他人的劳务（或以当年劳务价格折算为货币或会费），当其生活不能自理时，由“互助会”向其提供护理（或支付护理金）。这样，在其提供的护理与得到的护理之间需要达到平衡，平衡的原则为：
E（会员终生提供的护理）＝E（会员终生得到的护理）
或
E（会员终生所交纳的会费）＝E（会员终生所享受的护理费用），
其中E表示数学期望。由于这种平衡是针对会员的一生而言的，因此我们将其称为纵向平衡。
将一个人的生活自理情形分为四种状态：0：生活能够完全自理（健康状态）；1：生活能够部分自理（半自理状态）；2：生活完全不能自理（完全不能自理状态）；3：死亡。记X[,j]表示生命进入j状态的年龄(j=1,2,3)，其分布函数为F[,j](x)，相应的生存函数为
S[,j](x)=1-F[,j](x)，j=1,2,3,
则X[,1]为在健康状态停留的时间，令Z[,j]=X[,j+1]-X[,j]表示在状态j停留的时间(j=1,2)。各随机变量的关系如下图：
我们作如下假设：
1.生命的历程不可逆转，只能从低级别状态向高级别状态发展而不能逆行；
2.生命在各个状态上停留的时间与生命的历史无关，即X[,1]，Z[,1]Z[,2]相互独立。
一、分布的估计
我们据以估计分布的资料为：1.上海市1995年1%人口抽样调查资料[1]（样本量为307948），样本的年龄区间为[0，100)；2.上海市老龄委做的“上海市老年人健康状况抽样调查”资料（样本量3000，简称为‘3000人资料’），样本的年龄区间为[60，100）。
首先，用1%人口抽样调查资料通过寿命表方法[2]（或Meier-Kaplan方法，因为有足够大的样本量，两者估计的结果已经无甚差别）估计出X[,3]的生存函数S[,3](x)在整数年龄k处的值S[,3](x),k=0,1…,100。因为样本量达到30万之巨，因此有理由认为所估计出来的分布能很好地贴近X[,3]的真实分布。经过计算机作图发现我们估计出来的S[,3](k)已经是一条相当光滑的曲线（见图4中的散点）。其次，为估计X[,1]及X[,2]的分布，联合使用上述两批资料，在3000人资料中，每个个体上测量两个指标(Y[,j1],Y[,j2],j=1,2,…3000，其中Y[,j1]表示其年龄（整数年龄,60≤Y[,j1]＜100）而Y[,j2]表示其所处的生活自理状态（状态空间为｛0,1,2,3｝），由
S[,i](x)=P(X[,i]＞x)=P(X[,i]＞x,X[,3]＞x)=P(x[,3]＞x)p(x[,i]＞x│X[,3]＞x)
=S[,3](x)P(x[,i]＞x│X[,3]＞x) i=1,2
且P(X[,i]＞x│X[,3]＞x)的直观解释为：在x岁时仍然活着的条件下状态小于i的概率，故对于整数值k(k=60,61,…,100)，可用其频率
来估计P(X[,i]＞k│X[,3]＞k)，这里I（·）表示取值为0和1的示性函数，而S[,3](k)用前面估计的结果代入，这样就得到了X[.1]和X[,2]的生存函数在整数点x的估计值（因3000人资料的年龄区间是[60,100],故60≤x＜100）。
经过研究，我们发现用分布族F(x,a,b,c)F（为分布函数，a,b,c为参数）能很好地与前面所估计出来的X[,i]的分布拟合，F的形式为
F(x,a,b,c)=1-exp｛aexp(b(x+c)[2]sgn(x+c))｝,-∞＜x＜+∞
(1)
其中，a,b,c为参数，sgn()表示符号函数，用最小二乘方法，即极小化
可以求出各个参数的估计值，其中求和指标k对S[,1](x)和S[,2](x)而言从60到100，对S[,3](x)是从0到100。各参数的估计值见表1，表1中还给出了各个X[,i]的数学期望的估计值。参数化拟合与非参数估计的生存函数的贴近情况分别见图2～图4，图2和图3分别是X[,1]和X[,2]的生存函数在年龄区间[60,100)的非参数估计（散点）与参数化拟合，图4是X[,3]的生存函数在年龄区间[0,100)的非参数估计（散点）与参数化拟合，从图2～4可以看出理论分布与实际数据的拟合非常良好。图5为参数化之后的各个生存函数的图，从内到外分别是S[,1](x)，S[,2](x)和S[,3](x)。
表1
进入各状态年龄分布的参数估计值
X[,1]X[,2]
X[,3]
a
-0.0110658981
-0.0097200383-0.0049710921
b
0.00068659760.0006640837 0.0005650968
c
0.66254950001.143474121513.3150081439
数学期望用（估计值）
73.58
75.68
77.08
二、终生所需的护理量和所能提供的护理量的期望及其平衡条件
（一）终生所需的护理量
x岁的健康会员（即X[,1]＞x），在其剩余寿命里，必然会经过‘部分自理’和‘完全不能自理’两个阶段，互助会只在其完全不能自理时才向其提供护理，设每天护理A小时，每年护理365A小时则其终生所能得到的护理量为GET(x)=365A(X[,3]-X[,2])小时，因为我们现在知道会员仍然健康，故相应的数学期望为条件数学期望MGET(x)=E(GET(x))=E(365A(X[,3]-X[,2])│X[,1]＞x)，在状态停留时间与历史无关的假设下为
MGET(x)=365AE(X[,3]-X[,2])=365A(EX[,3]-EX[,2])
(2)
（(2)式在前面所估计的分布之下为511A）。
（二）在健康寿命区间内所能提供的护理量
对于x岁的健康会员（即X[,1]＞x），记T(x)=X[,1]-x，表示剩余健康寿命，分布F[,1r](t)，设其已经向互助会提供了B小时的护理服务（对于新入会者，B=0）在剩余的健康寿命里，继续向互助会提供护理服务，下面就两种情况分别讨论其终生可提供的护理服务的总量。
情况1：每年提供C(x)小时服务，直到其健康寿命终止
其在剩余健康寿命里可提供的服务为GIVE(x)=C(x)T(x)，期望着为MGIVE(x)=C(x)E(T(x))，易知T(x)的分布函数为
情况2：每年提供C(x)小时的护理，供服务G年
其在剩余健康寿命(0,T(x))里可提供的护理服务为
相应的数学期望为：
（三）平衡条件
根据平衡公式,有MGET(x)=MGIVE(x)+B，对于上面两种情况可分别求得达到平衡的C(x)应满足的关系式为:
情况1：提供服务至健康寿命结束：
情况2：提供服务G年：
（四）计算结果
假设对完全失去自理能力者每天提供4小时的护理，计算的会员为新入会会员，即A=4,B=0,则C(x)的计算结果见表2。
表2
每年提供服务的小时数
年龄 提供服务至失去
提供服务
年龄
提供服务至失去
提供服务
自理能力 10年自理能力 10年
40 60
21458 117 246
41 61
21559 124250
42 63
21660 131 255
43 65
21761 138 260
44 67
21762 147 266
45 69
21863 156 273
46 72
21964 167 281
47 74
22165 179 291
48 77
22266 192 301
49 80
22367 207 313
50 83
22568 225 328
51 86
22769 245 344
52 89
22970 268 364
53 93
23171 295 387
54 97
23372 327 415
55 102 23673 365 449
56 106 23974 410 489
57 112 24275 465 539
三、会员终生护理金与所能交纳会费的期望及其平衡条件
这里我们必须考虑利率因素，设年利率为i用υ表示折现系数，即v=1/1+i此外，设每小时的护理工资为R元，与第2节劳务平衡不同的是，劳务平衡可以在健康状态的任何年龄时刻计算，而会费平衡只在入会时刻计算，设入会时刻入会者处于健康状态，年龄为x。
（一）护理费用及其期望
在时间段[X[,2],X[,3])中的无穷小区间[t,t+dt)内，由于一年的护理工资为365·24·R，因此，在该无穷小区间内的护理费用为365·24·R·Adt/24=365RAdt,其折现值（折现到入会时刻）为365RAυ[t-x]dt，通过积分可得终生所需护理费用的折现值为：
其期望值（因为是在入会时刻处于健康状态，即X[,1]＞x，这一条件之下计算，故实质上是条件期望，为
而条件“状态停留时间与历史无关”（见假设2）之下有：
因此
其中
C[,0]与x无关。
（二）在健康寿命区间内交纳的会费及其期望
入会时年龄为x，处于健康状态（即X[,1]＞x）。互助会会员按以下两种方式交纳会费：
方式1.无限次交纳：分期交纳会费，每期一次，交纳会费C(x)元，入会时刻交第一笔会费，交至健康寿命终止时停止交纳会费；
方式2.有限次交纳：分期交纳会费，每期一次，交纳会费C(x)元，入会时刻交第一笔会费，在健康寿命内交满G次会费即停止交费，否则，到健康寿命终止时停止交费。
为讨论方便，我们将两次交费之间的区间长称为交费周期，设其为r为，此外，令T(x)=[(X[,1]-x/r)]表示x岁时的剩余健康寿命对交费周期的取整，则T(x)的分布（在x岁时处于健康状态的条件下）为：
下面我们分别讨论两种交费方式下终生所交会费的期望值。
方式1.由于入会时刻即交纳第一笔会费，因此终生交纳会费的次数为T(x)+1次，终生交纳的折现值（折现到入会时刻）为
根据(10)式，可得GIVE(x)的数学期望为
方式2.类似于上面的分析，知此时
（三）平衡条件
根据交付平衡的公式MGIVE=MSP知平衡条件为：
方式1.无限次交纳：
方式2.
（四）计算结果
假设对完全失去自理能力者每天提供4小时的护理，即4A=4，另外设υ=1/1.05，R=5,r=1/2（每月一次），G=180（交费期为15年），则C(x)的计算结果见表3。
表3 会费计算结果（按月交单位：元）
年龄 方式1 方式2 年龄 方式1 方式2 年龄 方式1 方式2
20
5.45
8.84
40
17.00 24.99
60
57.58
67.95
21
5.77
9.33
41
18.02
26.28
61
61.51
71.60
22
6.11
9.84
42
19.10
27.63
62
65.75
75.50
23
6.46 10.38
43
20.24
29.04
63
70.33
79.68
24
6.84 10.95
44
21.46
30.53
64
75.28
84.17
25
7.24 11.55
45
22.77
32.09
65
80.65
89.01
26
7.66 12.17
46
24.15
33.72
66
86.47
94.25
27
8.11 12.83
47
25.63
35.43
67
92.78
99.94
28
8.58 13.52
48
27.21
37.23
68
99.65 106.13
29
9.08 14.24
49
28.90
39.12
69 107.12 112.90
30
9.60 15.00
50
30.70
41.11
70 115.26 120.31
31 10.16 15.80
51
32.62
43.19
71 124.13 128.46
32 10.76 16.63
52
34.68
45.39
72 133.83 137.44
33 11.39 17.51
53
36.88
47.70
73 144.43 147.36
34 12.05 18.43
54
39.25
50.13
74 156.02 158.33
35 12.76 19.40
55
41.78
52.69
75 168.73 170.47
36 13.51 20.41
56
44.50
55.40
76 182.67 183.93
37 14.31 21.48
57
47.42
58.27
77 197.96 198.83
38 14.15 22.59
58
50.56
61.30
78 214.76 215.32
39 16.05 23.76
59
53.94
64.52
79 233.23 233.56
标签：互助会论文;