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中图分类号：B81 文献标识码：A 文章编号：1671-0924(2009)08-0016-05
同一律、矛盾律和排中律是思维的三大基本规律，是确保思维具有确定性、一致性和明确性的元逻辑准则，是人类进行正确思维的重要保证。当前，涉及这三大规律的逻辑学教材中，通常在分别给出这三大基本规律的基本内容表述之后，也相应地给出它们的公式表示。然而，仔细研究就会发现，目前大部分逻辑学教材关于这三大规律的公式表示是不正确的，存在着这样或那样的问题。文中将对三大逻辑规律的公式表示问题进行详细探讨。
1 关于同一律
当前，在国内大部分逻辑学教材中，同一律的基本内容通常被表述为：在同一思维过程中，任一思想与自身同一。其中“任一思想”指的是“任一概念或任一命题”。同一律的逻辑要求通常表述为：对概念而言，在同一思维过程中，概念的内涵和外延要保持同一；对命题而言，在同一思维过程中，命题自身的意思和真值要保持同一。而且几乎所有论及同一律的逻辑学教材都给出了同一律的公式表示。目前，在国内相当多的逻辑学教材中，其作者都认为同一律的公式可以表示为：A→A（记为公式(a)），其中“A”表示“任一概念或任一命题”[1]25，[2]21，[3]189，[4]105，[5]135，[6]248，[7]159。笔者认为，以“A→A”作为同一律的公式表示是不正确的。
众所周知，“→”是对“如果…，那么…”的符号化，它是一个真值函项，所联结的是命题。在公式(a)中，出于反映同一律基本内容的需要，作为元变项的“A”既可以表示“任一概念”，又可以表示“任一命题”。当“A”表示“任一命题”时，可以用“→”来联结。比如，我们可以说“如果郭晶晶是一位优秀的跳水运动员，那么郭晶晶是一位优秀的跳水运动员”。倘若“A”表示“任一概念”，却不能用“→”来联结。比如，当“A”表示“郭晶晶”时，我们显然不能说：“如果郭晶晶，那么郭晶晶。”这首先在语法上就是不通的。既然“A”表示“任一概念”时，不能用“→”来联结，公式(a)就不是一个恰当的表示同一律的公式。
那么，用一个不恰当的公式作为同一律的公式表示就是错误的。
也许有人会说，至少当“A”表示“任一命题”时，公式“A→A”可以部分地反映同一律的基本内容。对该公式进行修改，再加上能表示“任一概念”的部分，借助于一阶语言，不就可以写出反映同一律基本内容的公式表示了嘛。这一途径是否可行呢？下面加以尝试。
我们引进一个新的符号“G”，“G”表示“任一概念”。那么公式“G=G∨A→A”是否可以作为同一律的公式表示呢？其中“G”表示“任一概念”，“A”表示“任一命题”。也不可以。强调一下，这里的公式表示只是借用一阶语言，但显然与一阶语言是不同的语言层次。由于概念在一阶逻辑中通常作为谓词出现，所以“G=G”不是一阶逻辑中的合式公式，所以借用一阶语言来表达“一个概念与自身同一”不能使用“G=G”。对概念进一步加以划分，可分为专名和通名。当概念是专名时，“概念自身的同一”可符号化为“c=c”（其中“c”表示“任一专名”）。当概念是通名时，“概念自身的同一”就不能简单地符号化为“F=F”（“F”表示“任一通名”）了，而是符号化为“
x(Fx→Fx)”。由上，我们似乎要用如下公式来表示同一律了：c=c∨x(Fx→Fx)∨(A→A)（记为公式(b)），其中，“c”表示“任一专名”，“x”表示“任一个体变元”，“F”表示“任一通名”，“A”表示“任一命题”。
暂时撇开公式(a)、(b)是否可以正确地表示同一律不谈，当用公式(a)或(b)来表示同一律时，容易产生一个误区，即认为同一律的公式表示就是一阶逻辑的内定理。其实不然。虽然公式(a)、(b)借助一阶语言来表示，并以一阶逻辑中内定理的形式出现，但它们并不等同于一阶逻辑的内定理。同一律是思维的根本原则之一，是普遍适用的元逻辑法则，是用元语言表述的元公理或元规则，它和矛盾律等思维规律一起，“是一个逻辑演算系统所赖以奠基和出发的基础，是构造或检验一个逻辑演算系统的根本指导原则”[8]88。公式(a)中的“A”，公式(b)中的c、x、F、A都是元变项，与一阶逻辑中的对象语言是不同的语言层次，它们中的常项也是元语言层次的，虽然形式上与一阶逻辑中的逻辑常项完全相同。一旦混淆了这两个语言层次，就很容易产生上述误区，从而忽视同一律作为元逻辑规则的特殊地位，忽略同一律在明确思维确定性方面的突出作用。有逻辑学教材认为[9]294，用现代逻辑的公式表示，同一律可表示为“p→p”，并认为它就是一条一般的重言式，这显然混淆了语言层次。
接下来要问，公式(b)可以作为同一律的公式表示吗？答案是：不可以。虽然公式(b)较之公式(a)有很大改进，其中似乎也体现了同一律对“任一概念”的逻辑要求，但它仍不能作为同一律的公式表示。应该说，公式(a)、(b)都不能作为同一律的公式表示。除上文所指出的理由之外，原因还在于，它们是借用一阶语言来表示的。我们知道，一阶逻辑是外延逻辑，所以，上述公式都是从外延角度来表示“任一概念或命题”与自身的同一关系的。比如，“A→A”表示的是前件与后件之间的真假关系，而舍弃了前、后件之间在内容或意义上的联系。公式(b)中的c=c，只表示“c”在外延上与自身同一，而没有表示出同一律对“概念内涵方面同一”这一逻辑要求。用弗雷格“涵义”、“意谓”的术语来讲[10]97，同一律对概念和命题在“涵义”和“意谓”这两个层面均有所要求，但公式(a)、(b)只反映出了其中一个层面——意谓层面的要求，而没有反映出涵义层面的要求。只要一阶逻辑是外延逻辑，我们就无法借助于一阶语言用公式将同一律恰当地表示出来。这就表明，试图借助于一阶语言来写出同一律的公式表示这条路行不通。
顺便提及，国内也曾有学者提出[11]95-109，把“P←→P”作为同一律的公式表示，其中“P”表示“任一命题或判断”，这显然也是不对的，理由同上文分析。
有的逻辑学教材主张，“A是A”是同一律的公式表示，其中“A”表示“任一概念或任一命题”，[12]191,[13]213,[14]141。的确，“A是A”充分反映了同一律的基本内容，也符合同一律的逻辑要求。对概念而言，“A是A”表明在同一思维过程中，“A”不管是从内涵角度还是从外延角度都始终与自身相同。对命题而言，“A是A”表明在同一思维过程中，任一命题不论是从意义方面还是从真值方面都与自身同一。而“A是A”可以克服上文所指出的像公式“A→A”那样的缺陷，不容易与一阶逻辑的内定理相混淆。但严格来讲，“A是A”不能算作公式。因为其中的“是”不是逻辑联结词。由于“是”对概念的同一既有内涵方面的要求，又有外延方面的要求，对命题的同一既有意义方面的要求，又有真值方面的要求，所以，很难借用某个逻辑联结词来表示它。“A是A”只不过是对同一律基本内容的一种方便的简化而已。
综上，“A→A”不能作为同一律的公式表示。有一些逻辑学教材认为，同一律的公式可以写成“A是A；或者A→A”，其中“A”表示“任一概念或任一命题”。这种观点显然在“A是A”和“A→A”都可以作为同一律的公式表示这一意义上把二者视为等同了。根据上文的分析，该观点是错误的。也有教材[15]187对“A是A”与“A←→A”不加区分，认为它们都可以作为同一律的公式表示，这显然也不对。
虽然“A是A”较好地反映了同一律的基本内容，但它并不是严格意义上的公式。而根据前面的分析，试图借助于一阶语言来写出同一律的公式表示这条路行不通。因而，笔者主张，取消对同一律的公式表示。
2 关于矛盾律
关于矛盾律的基本内容，当前国内不少逻辑学教材[2]23,[5]139,[16]248将其表述为：在同一思维过程中，互相否定的命题不能同真，必有一假。①然而，关于其中“互相否定的命题”却有不同的解释。有的教材[2]23认为，矛盾律仅适用于具有矛盾关系的命题，而有的教材[6]253,[16]248,[17]12认为矛盾律不仅适用于具有矛盾关系的命题，也适用于具有反对关系的命题。②为了下文矛盾律公式讨论的方便，我们根据这两种对“互相否定的命题”的解释，把矛盾律基本内容的表述概括为如下两种情况：
情况(Ⅰ)：在同一思维过程中，具有矛盾关系的两个命题不能同真，必有一假。
情况（Ⅱ）：在同一思维过程中，具有矛盾关系或反对关系的两个命题不能同真，必有一假。
对于情况(Ⅰ)，教材中给出的相应公式表示如下：
(Ⅰa)：┐(A∧┐A)；或者(Ⅰb)并非（A并且非A）。
对于情况（Ⅱ），相应的公式表示主要有如下几种情况：
(Ⅱa)：┐(A∧┐A)。
(Ⅱb)：并非（A且非A）。
(Ⅱc)：当涉及两个具有矛盾关系的命题时，表示为：并非（A且非A）；当涉及两个具有反对关系的命题时；表示为：并非“A并且B并且如果A，则非B”，写成真值形式为：┐(A∧B∧(A→┐B))。
(Ⅱd)：A不是非A。
当矛盾律基本内容表述为情况（Ⅰ）时，(Ⅰa)或(Ⅰb)作为相应的矛盾律公式表示是否恰当呢？下面回答这个问题。
首先，(Ⅰa)┐(A∧┐A)不是正确的矛盾律公式表示。
原因一：在公式┐(A∧┐A)中，“┐”出现了两次，根据同一律基本内容，显然同一个符号在同一个公式中的两次出现表达的应是相同的含义。然而，根据矛盾律的情况(Ⅰ)表述，我们要把┐(A∧┐A)中的第一个“┐”理解为“不能”之中的“不”，而把其中的第二个“┐”理解为“并非”，也就是“┐A”和“A”具有矛盾关系。“A∧┐A”是对“同真”的符号表示。出于反映矛盾律内容的需要，我们期许(Ⅰa)中的两个“┐”表示不同的意义。此外，两个否定存在着语言层次上的差别，如果把A和┐A看作是语言层次α的话，则第一个否定是元-α语言层次上的。在公式┐(A∧┐A)中，用同一个“┐”来表示两个不同语言层次的否定是不妥当的。为了更贴切地反映矛盾律在情况(Ⅰ)表述下的基本内容，两个“┐”要加以区分。如果用“┐A”表示在语言层次α上对“A”的否定，则我们要选用另外一个符号，比如“≈”来表示元-α语言层次上的否定。这样，则矛盾律的公式表示就修改为：
(Ⅰc)∶≈(A∧┐A)。
原因二：矛盾律情况(Ⅰ)的表述中所要求的是“在同一思维过程中，具有矛盾关系的两个命题不能同真”，对于“A”和“┐A”，要求它们“不能”同真。这里的“不能”是“不可能”之意，显然，一个正确的矛盾律公式表示需要把这一模态的含义表示出来。而(Ⅰa)显然没有体现这一点。需指出，即使是修改之后的公式(Ⅰc)也没有体现这一点。这样，借用模态算子“◇”，则可进一步将(Ⅰc)修改为：
(Ⅰd)∶≈◇(A∧┐A)
注意，这里使用的“◇”只是借用，它并不是模态系统中的语法符号，而是相对于“A”和“┐A”这个α语言层次之上的元-α语言层次的符号。
原因三：类似于上文中反对以“A→A”作为同一律的公式表示，矛盾律是元逻辑规律，而不是命题逻辑中的内定理。使用(Ⅰa)很容易使之与命题逻辑中的内定理相混淆，从而忽视矛盾律作为元逻辑规律的特殊地位。
由上可见，(Ⅰa)没有恰当地反映出情况(Ⅰ)表述下矛盾律的基本内容，并且很容易与命题逻辑的内定理相混淆，所以，它不是正确的矛盾律公式表示。
其次，(Ⅰb)并非（A并且非A）也不是正确的矛盾律公式表示。
(Ⅰb)不同于(Ⅰa)之处在于，它没有借用命题逻辑中的“┐”、“∧”符号，除元变项A之外，其他部分都是用自然语言表述的。就这一点而言，(Ⅰb)在一定程度上可以避免与命题逻辑内定理的混淆。但是，(Ⅰb)没有体现出矛盾律基本内容中“不能”的模态要求，从而也是不正确的。
从以上分析也可看出，(Ⅰd)较之(Ⅰa)和(Ⅰc)，可以较好地反映矛盾律在情况（Ⅰ）表述下的基本内容。因为(Ⅰd)∶≈◇(A∧┐A)中，本身就包含着不同语言层次的符号，还包含元模态算子——可能，它不是命题逻辑或模态逻辑中的公式，也不容易与相应的逻辑系统的内定理相混淆。
那么，当矛盾律的基本内容表述为情况（Ⅱ）时，(Ⅱa)～(Ⅱd)作为相应的矛盾律公式表示是否恰当呢？下面加以考察。
(Ⅱa)显然不可以。除了上文针对(Ⅰa)所阐述的理由外，还有一个很明显的原因，就是(Ⅱa)没有反映出矛盾律在情况（Ⅱ）表述下对“具有反对关系的两个命题”的要求。比如，当“A”表示“所有的鸟都是会飞的”时，“┐A”则表示“并非所有的鸟都是会飞的”，它并不等值于A的反对命题“所有的鸟都不是会飞的”。
(Ⅱb)也不能作为矛盾律的公式表示，主要理由类似于对(Ⅱa)的反驳。不过，需指出，由于(Ⅱb)用的是自然语言表述的“并非”、“并且”，而不是简单借用命题逻辑中的“┐”和“∧”，所以它比(Ⅱa)更有可能避免矛盾律公式表示与命题逻辑内定理的混淆。
显然，(Ⅱc)看到了(Ⅱa)和(Ⅱb)没有反映出矛盾律在情况（Ⅱ）表述中对“具有反对关系的两个命题”的要求，所以对矛盾律公式表示进行了分情况讨论。①当涉及两个具有矛盾关系的命题时，表示为：并非（A且非A）；②当涉及两个具有反对关系的命题时，表示为：并非“A并且B并且如果A，则非B”，写成真值形式为：(┐A∧B∧(A→┐B))。情况①不可以作为矛盾律的公式表示，理由同对(Ⅰb)的反驳。因而，可把它修改为上文的(Ⅰd)。情况②也不可以。虽然其中明确了A与B的反对关系，但是两个“┐”的语言层次不同，而且没有体现出矛盾律所要求的“不能”这一内容。如将┐(A∧B∧(A→┐B))改为：
(Ⅱe)∶≈◇(A∧B∧(A→┐B))
则更合理些。
(Ⅱd)，即A不是非A，也不能作为矛盾律的公式表示。因为(Ⅱd)中没有包含“具有反对关系的两个命题”这一内容，而且，也没有将矛盾律中的模态含义反映出来。
综上所述，当把矛盾律的基本内容表述为情况（Ⅰ）时，似乎(Ⅰd)作为其公式表示更为合理。当把矛盾律的基本内容表述为情况（Ⅱ）时，要分情况讨论，当反映具有矛盾关系的两个命题不能同真时，可用公式(Ⅰd)；当反映具有反对关系的两个命题不能同真时，可用公式(Ⅱe)。然而，对于这些公式表示，要在其后附加对符号使用的说明，但即便是附加了说明，由于有些符号是借用的逻辑系统中的语法符号，仍有可能引起误解。所以，笔者认为，取消矛盾律的公式表示更好些。
3 关于排中律
关于排中律的基本内容，当前国内大多数逻辑学教材[2]25,[3]196,[5]143,[6]260,[7]166表述为：在同一思维过程中，互相否定的命题（或思想）不能同假，必有一真。而对其中“互相否定的命题（或思想）”也有两种不同的解释。一种认为排中律仅适用于具有矛盾关系的命题，而另一种认为排中律不仅适用于具有矛盾关系的命题，也适用于具有下反对关系的命题。结合这两种解释，我们可把排中律的基本内容概括为如下两种情况：
情况(i)：在同一思维过程中，具有矛盾关系的两个命题不能同假，必有一真。
情况(ii)：在同一思维过程中，具有矛盾关系或下反对关系的两个命题不能同假，必有一真。
针对这两种不同的内容表述，其公式表示却达成了一致，即：
A或者非A，或者：A∨┐A。
可以说，“A或者非A”比“A∨┐A”的表述要好些，前者体现了排中律是用元语言表述的规律，而后者则很容易被视为一条普通的命题逻辑规律。但是，不管是“A或者非A”还是“A∨┐A”，都不是恰当的排中律公式表示。首先，它们都抹煞了排中律基本内容中所包含的“不能”这一模态要求。而且，对于情况(ii)的表述，公式表示没有反映出“具有下反对关系的两个命题不能同假”的内容。对于情况(i)，其公式表示似乎可以修改为≈◇(┐A∧┐┐A)，它显然不同于“A∨┐A”。对于情况(ii)，与上文中对于矛盾律第二种情况的讨论类似，要进行分类讨论，此处省略。
虽然对于排中律的两种表述情况，可分别获得修改后的公式表示，但是与前文类似，也需要对每个公式中的符号加以说明，这不仅显得异常繁琐，甚至还会引起误解，从而失去了寻求排中律公式表示的意义。因此，笔者认为取消对排中律的公式表示为好。
总而言之，文中所得出的最终结论是，对于同一律、矛盾律和排中律，我们不必舍简求繁地去探求它们的公式表示，主张取消逻辑基本规律的公式表示。三大基本规律是“构造任何（二值）逻辑演算系统的出发点，是指导这些系统构造的元规则”[8]91，绝不可把它们简单等同于逻辑系统中的内定理。
收稿日期：2009-05-15
注释：
①也有不少教材[3]193,[6]253,[15]191表述为：“在同一思维过程中，互相否定的思想不能同真，必有一假。”而其中的“思想”主要指“命题”。所以，文中对矛盾律的概述也包含了这样的表述。
②本文不去探究这两种解释哪一种更合适，重点在于考察针对不同的矛盾律内容与适用范围，其相应的矛盾律公式表示是否恰当。下文中关于排中律的探讨与此类似。
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