江苏省宜兴市官林中学 214200
摘 要：高中平面解析几何研究的两个主要问题是曲线的方程和曲线的性质。而曲线问题也是学生学习的一个难点，如何帮助学生这个难点，本文从几类常见问题入手，用辩证的观点，避其锋芒，观其对立，求异思维，以达到异曲同工之效，进而捷足先登，使问题的解决最优化。
关键词：中学数学 教育 数学学习
平面解析几何研究的两个主要问题是：寻求曲线的方程和研究曲线的性质。曲线问题往往离不开“动点”，一般思维模式是抓住“动点”，探求条件，解决问题。若用辩证的观点，避其锋芒，观其对立，求异思维，则不仅有异曲同工之效，而且会捷足先登，使问题的解决最优化。下面就几类常见问题，作浅显分析与说明。
一、动中求静
辩证法告诉我们：运动是绝对的，静止是相对的。解题中要善于利用“相对静止”去研究“绝对运动”。
例1：已知点A(3，0)和圆x2+y2=1，P为圆上任意一点，∠POA的平分线交PA于Q，求Q点的轨迹方程。
分析：由内角平分线，点Q分AP的比λ= ＝ =3。
通常解法：设P(x1，y1)、Q(x，y)，由分点公式得x1=，y2= 代入圆方程得Q点的轨迹方程：（x- ）2+y2= （y≠0）。
还可以设圆上的点P(cosθ，sinθ)，由分点坐标公式建立Q点坐标的参数方程。
从整体看，以A点为位似中心，相对已知圆而言，Q点的轨迹是一个静止的圆，因为λ=3，由位似原理，将AO的内分点O1( ，0)为圆心，r1= 为半径，立即可得点Q的轨迹方程。
评注：解析几何中求相关点的轨迹，常用代入法。若从整体观察，利用相对原理分析，则动点轨迹就是一条静止曲线，只需要由曲线性质，求出相应不变量，便可写出方程。
二、静中求动
有时把要研究的运动对象静止化，而把相对静止的对象运动化，主次调换可以巧妙地间接求解。
例2：设椭圆长半轴为a，短半轴为b，在第一象限内滚动，且始终与x轴、y轴分别相切，试求椭圆中心O1点的轨迹。
分析：根据相对运动原理，固定椭圆的中心，并使中心为原点、焦点在x轴上，则两条互相垂直的椭圆切线由静止变为运动，易得交点P的轨迹方程是圆x2+y2=a2+b2（也称椭圆的准圆）。
事实上，设P（x0，y0）为切线交点，斜率存在时，切线方程为y=k（x-x0）-y0，代入椭圆方程得（b2+a2k2）x2+2ka2（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）-a2b2=0。由△=0，得到（x02-a2）k2-2x0y0k+y02-b2=0，当k存在且k不为零时，方程两根k1、k2是过P的两切线斜率。因为两切线互相垂直，所以k1·k2=-1，由根与系数的关系， =-1，用x、y换x0，y0，化简得x2+y2=a2+b2；当过P的一条切线垂直于x轴时，则易知两切线交点坐标为(a，b)或(b，a)，也满足方程。
由此可知，动点O1与原点O之间的距离是定长 a2+b2，故点O1轨迹是圆x2+y2=a2+b2上劣弧（b≤x，y≤a），端点为(a，b)、(b，a)。
评注：这类轨迹问题不多，但间接求解的思维策略却是不可少有的。
三、变中求定
不变中有变，变化中有不变，这是事物运动的规律。不少解析几何问题看起来充满变化，研究对象完全处于运动之中，我们要善于发现所存在着的不变因素，以不变突破整个变化体系。
例3：过曲线y= 1-x2上任意一点P作PQ垂直x轴于Q，求证∠OPQ平分线过定点，并求出该定点坐标。
分析：命题提供了定点，设∠OPQ的平分线交y轴于A，因为∠OPA=∠APQ=∠OAP，所以|OA|=|OP|，所以过定点A(0，－1)
评注：这种变化中的不变，往往因隐蔽性而不易发现，这就需要认真观察和分析已知图形，并熟悉一些基本图形的性质。
四、进中求退
当问题顺着条件往下分析不易解决时，退一步去研究与结论关系甚为密切的对象，这也是间接解决问题的常见策略。
五、数中求形
利用问题的几何意义和图形性质，绕开代数运算思路，另辟新径，出奇制胜。
以上所归纳的几个方面的求异思维，足以说明问题的普遍性和方法的常规性，求异不求奇，只是异在决策的灵活性上。因此，加强这种求异思维的训练，能迅速有效地提高学生分析问题和解决问题的实际能力。
论文作者:冯太平
论文发表刊物:《素质教育》2018年9月总第283期
论文发表时间:2018/8/15
标签：方程论文; 切线论文; 轨迹论文; 曲线论文; 解析几何论文; 椭圆论文; 中求论文; 《素质教育》2018年9月总第283期论文;