应用动量定理巧解变量问题，本文主要内容关键词为：动量论文,定理论文,变量论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
动量定理是研究力对时间的积累效应与运动状态改变的关系，是动力学内容的继续和深化。如何应用动量定理解决相关问题是学生面临的一大难点。本文仅就应用动量定理巧解变量问题例析如下，以求抛砖引玉。
一、连续变化的流体问题
例1 一水龙头以每秒700g水的流量注入杯中，杯的质量350g，注至10秒末时盘秤示数为83.3N，则水注入杯中的速度是（见图1）（）
图1
A.1.4m/sB.14m/s
C.2.8m/sD.28m/s
解析 杯中水的质量是变化的，由于水流对杯子的撞击作用，故盘秤示数与水注至杯的速率有关。因杯中水的质量与流量成正比，即t时刻杯子中水的质量为m=kt kg，取杯子和其中的水为研究对象，由t→t+△t时间内水的质量为m+△m=kt+k△t，若杯子质量为m[，0]，可以认为△t时间内落入杯中的水由初速v变为静止。由动量定理得
（N-m[，0]g-mg-△mg）△t=0-（-△mv）①
而△m=k△t②
解①、②并把N=83.3N、m=0.35kg、k=0.70kg/s、t=10s、△t→0代入，（注意△mg·△t≈0）得
v=（（N-（m+m[，0]）g）/k）=14m/s，即选B。
例2 一股水流以v[，0]=10m/s速度竖直向上喷出，喷嘴截面积S=0.6cm[2]。有一质量m=0.5kg的小球因水对其下侧的冲击而停在空中，水冲击小球速度变为零而自由下落。求小球停在离喷嘴多高的高度h（不考虑水柱截面积的变化，g=10m/s[2]）？
解析 设水刚要碰到小球前的速度为v，选取上端正与球作用的一微小段水柱为研究对象，当这段水柱的长度趋于零时，可以认为这段水柱各部分均以v匀速运动。设这段水柱与球的作用时间为△t，则这段水柱长为v△t，水柱质量为△m=ρv△tS。这段水柱受竖直向下的重力△mg和球给它的竖直向下的压力N的作用。取竖直向上为正方向，对这段水柱在△t时间内，由动量定理得
-（N+△mg）△t=0-△mv
忽略掉上式中的二阶微小量△mg△t，并将球对水柱的压力N=mg及△m=ρv△tS代入，得
mg=ρv[2]S①
质量为△m的水在由喷嘴到射到球的过程中，由运动学公式，得
v[2]-v[,0][2]=-2gh②
解①、②并代入数值得h=0.83m。
例3 一艘帆船在静水中由于风力的推动做匀速直线运动，帆面的面积为S，风速为v[，1]，船速为v[，2]（v[，2]＜v[，1]），空气密度为ρ，帆船在匀速前进时帆面受到的平均风力大小为多少？
解析 取图2所示的部分空气为研究对象，这部分空气的质量为△m，这部分空气经过时间△t后都由v[，1]变为v[，2]，那么有
图2
△m=ρS（v[，1]-v[，2]）△t①
取船前进方向为正方向，对这部分气体，由动量定理得
-F△t=△m（v[，2]-v[，1]）②
解①②式，得F=ρS（v[，1]-v[，2]）[2]
点评 应用动量定理巧解连续变化的流体问题，必须恰当地选取某一微小部分流体（如水、空气等）为对象，通过妙取△t（△t→0）内的质量、长度等微元，化变为恒处理。
二、连续变化的小颗粒问题
例4 装煤机在2S内将10t煤装入水平匀速前进的车厢，车厢速度为5m/s。若不计阻力，车厢保持原速匀速运动，则需要增加的水平牵引力为多少？
解析 取装入车厢中的一小部分煤△m（△t内）为对象，入车后其速度变为和车厢同速，这就需要车厢底对煤施加摩擦力作用，而车厢又要保持匀速运动，必然要增加牵引力。对△m，由动量定理得
F·[，f]△t=△m（v-0）①
对车厢因保持匀速，故受力平衡，即增加的牵引力△F应等于煤给车厢的摩擦力F′[，f]。
△F=F′[，f]②
而大小有F[，f]=F′[，f]③
解①③并代入（（△m）/（△t））=10×10[3]/2（kg/s），v=5m/s
得△F=2.5×10[4]N
例5 如图3所示，传送带以v=4m/s的恒定速度运动。一个沙斗在每秒钟内有m=50kg的细沙从距传送带高h=1.25m处落到传送带上，试问细沙对传送带的平均冲力大小是多少？（取g=10m/s[2]）
图3
解析 细沙落到传送带上后，沙的动量要发生变化，不仅水平方向（随传送带一起运动），竖直方向的动量也发生变化。取每秒钟落到传送带上的m为研究对象，水平方向传送带对沙的作用力为f[，x]由动量定理得
f[，x]△t=mv-0①
竖直方向（以向上为正），细沙受到的力有重力和传送带的作用力f[，y]，同理由动量定理得
（f[，y]-mg）△t=0-（-mv[，y]）②
由运动学公式得v[，y]=
③
由牛顿第三定律得知，细沙对传送带的平均冲力为f=
④
解①～④代入已知得f=776N
点评 应用动量定理巧解连续变化的小颗粒问题，必须恰当地选取单位时间内的小颗粒（如沙粒、煤粒等）为对象，通过妙取微小部分质量实现由局部到整体，将连续变化转化为平均效果处理。
三、连续变化的链子类问题
例6 质量为M和长度为L的链子，铅直地悬挂在磅秤上方，下端恰好触及秤盘。放松链子，使其落在秤盘上。当链子中的长度为X的一段已经落下时磅秤的读数是多少？（每一环的尺寸可以忽略。）
解析 由于各段链子从不同的高度落下，落至秤盘的速度不相同（越来越快），以至对桌面的冲击力不断变化（越来越大）。设开始下落的时刻为t=0时，经时间t，即时刻t链子落到秤盘的长度为X，此时链子下落的速度为v，由已知可得链子的长度密度为ρ=（M/L）①
从t时刻再取微小一段时间△t，在△t时间内链子下落△X，那么其质量为
△m=ρ△X②
落到秤盘上后，链子的速度变为零，由运动学规律可得，链子下落到秤盘前的速度为
v[2]=2gX③
对△m，由动量定理得
F△t=0-△mv④
即磅秤的读数为N=ρgX+F′⑤
而F=-F′⑥
解①～⑤得
N=ρgX+ρv（（△X）/（△t））=ρgX+ρv[2]=3ρgX=（（3MgX）/L）
图4
点评 应用动量定理巧解连续变化的链子类问题，必须恰当地选取与其他物体关联的链子类（如链子、绳子等）长度X，通过妙取△t（△t→0）时间内的长度△X实现速度从“不均”到“均”，即有（（△x）/（△t））=v，将变速冲击转化恒速冲击处理。
标签：动量定理论文;