中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2019）11-069-02
余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理。它包含三个基本关系式，它的变形更是灵活、多样，运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题。在教学过程中，一定要求学生熟记余弦定理及余弦定理的变形，除此之外还必须引导学生对余弦定理进行全方位的审视，多角度的探究，以增强学生灵活运用余弦定理解题的能力，加深对余弦定理的理解，下面就利用余弦定理解决一些数学问题做一点分享。
1、余弦定理及其变式的应用
余弦定理 ----(1)(以此为例)的本质是反映c,a,b,C四个元素间的关系。教学中，应不受定势思维的束缚，要变单向思维为多向思维，尽量让定理理产生多种变式。以适应解决新问题的需要。
如对(1)式作移项、配方等变形，可得到系列新的关系式：
1、 ;
2、 ；
3、 .
4、 等等。
悉了余弦定理上还的各种变式，就能自如地捕捉运用余弦定理的信息，使一些问题迎刃而解。
2.余弦定理在研究三角形解的个数时的应用
在教科书中，“已知两边和其中一边的对角解三角形”的问题是采用正弦定理进行讨论，这种讨论较麻烦，且讨论的结果也不易被学生所掌握，事实上，这类解三角形的问题，可以利用余弦定理及方程的思想来解决，往往学生更容易接受和理解。
在△ABC中，已知a,b和A,我们可以用余弦定理列出关于第三边为未知数的一元二次方程 整理得 。
这样就可以根据该一元二次方程的解的个数来判断三角形的解的个数。
（1）若此方程有不相等的两实数根 且
（2）若方程有两个相等的实数根 且
（3）若方程无实数根，则此三角形无解
从以上的分析可以看出，由于边长不能为负数和零。因此一元二次方程有几个正实根，三角形就有几个解，这个结论容易记忆，且使用方便。
例2根据下列条件，判断△ABC是否有解？如有解、有几个解？
3.利用余弦定理判断三角形形状
例3（1）在△ABC中，c－a2c＝sin2B2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，判断△ABC的形状?
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cosA，判断△ABC的形状？
（接第71页）
巧用错题，开展变式教学
张 鑫（广东省广州市育才实验学校 广东 广州 510105）
中图分类号：G688.2文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2019）11-070-02
一、研究背景
本人对所教两个班级进行了一个调查，其中80%的同学小学做过错题本，到目前为止，还能坚持做错题本的同学占到20%。
能够坚持做错题本的同学，主要有以下几种原因：1.选择性归纳错题，所以能够坚持；2.因为家长和老师要检查；3.认为考试前复习错题具有针对性；4.归纳错题以后成绩有进步，尝到了归纳错题的甜头。
放弃归纳错题的同学主要有以下几种原因：1.小学比较闲，现在没时间；2.认为归纳错题太麻烦，不如直接翻资料看；3.因为错题太多；4.认为归纳错题时，抄题时间太多，有这个时间不如多做几道题5.认为搞懂就算了，没必要做错题。
到底学生是否真正理解了题目考察的知识点？错题只停留在揪因吗？学生如何能够做到真正举一反三？
带着这些问题，我想：能否和学生一起，归纳日常学习中出现的错题，利用错题这种生成性资源，在每节课开始的10-15分钟时间，评讲作业错题，利用变式，从而开展有效教学。
二、研究的主要内容
平常批改作业及试卷中，对于学生易错的地方，用“正”字统计，错误人数超过十个以上的题目，确定要重点讲评。
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用错题进行变式教学的基本思想：共享学习；抓住本质；建立联系；形成思想；探讨方法；创新思维
用错题进行变式教学的基本策略：
错误分享—投影典型错误，归纳错误原因
正确解法—分享一题多法，拓展学生思维
归纳规律—画龙点睛，总结差异和共性
举一反三—变式训练，知识迁移
案例1.对于学生形成的共性错误，需要老师与学生一起找到错误的本质，帮学生扫清知识障碍。
【《勤学早》2-3页二次根式的性质】
=_______
错误答案：
错因分析：1.看错题目；2.对于 = 性质中，底数a的取值范围虽然清晰，呈现形式没有辨析清楚，不会活用 公式；3.忘记
师生活动：学生1讲解方法：
学生2讲解方法：
教师比较两种方法，提出最优法建议.
变式1. =_______ 变式2. =_______
变式3. =_______
变式教学设计目的：针对该知识点，通过变式1，对公式方法初步掌握；再通过变式2，对二次根式的性质及公式辨识清晰；最后，通过字母变式，提升学生的抽象思维。
教学反思：此处三个变式，学生很快做出，学习最弱的孩子三十秒钟都可以解决，尤其是变式3，提问最弱的孩子，能够解对，说明此设计合理。
案例2.学生对于数学方法的运用，不可能一蹴而就，在错误中总结经验，通过多个变式，不断强化方法。
【勤学早22页勾股定理】
如图，在 ,CD平分 交AB于点D,AB=5,BC=4,求CD的长。
错误体现：大部分学生不会做。
错误原因：大部分学生不能想到面积法及其它方法着手解决。
师生活动：学生1阐述解法：过D分别作 于M, 于N,利用面积法 ,可求 ,在等腰直角三角形DCM中，求得 。
学生2阐述解法：设AD=x,则BD=5-x,由角平分线定理2得 ,解得 ,作 ,则AF=CF= ,在 中，由勾股定理得DF= ,所以CD=CF+DF= 。
教师根据学生的解答，肯定学生1，面积法是解决线段长度的一种常用方法，遇到角平分线时，可以往这个角度去考虑，同时肯定学生2，课外知识丰富，思维灵活，对于角平分线定理2，大家遇到相关问题，可以考虑使用该知识解决问题。
变式1. 如图，在 ,CD平分 交AB于点D,AC=5,AB=13,求CD的长。
变式2. 如图，在 ,CD平分 交AB于点D,AB=a,BC=b,求 。
变式3. 如图，在 ,BE平分 交AC于点E,AB=5,BC=4,求AE的长。
变式教学目的：变式1只是改变数据，考察学生是否真正掌握面积法；变式2，把数字换成字母，训练学生的抽象思维能力；变式3，改变位置，考察学生灵活运用知识的能力。
教学反思：学生1,2提供的方法，为同学们打开思维的闸门，很多学生能够马上运用两种方法解决变式1和变式2，变式3回归到常规问题上来，有学生通过作辅助线用勾股定理列方程解决问题，也有很多学生不作辅助线用角平分线性质定理2解决问题,达到了教学目的。
本节课反思：学生在训练变式1时，有几个学生主动跟我说，老师这个题目我想到了其它方法，也是面积法。
如图，作 垂足为M,作 ，垂足为N,因为CD平分 交AB于点D,AC=5,所以 ,在 中，求得 ，同理可求 ,由面积法可得， ,解得： 。
本节课教学反思：学生产生的新的解法，是前面学生解法1的创新，这样的教学开展下去，日积月累，相信学生的数学思维会有质的提升！
教学反思：讲解该题目时，在第一个班，我只是讲解第一种方法，然后让学生去处理变式，五分钟后调查完成情况，发现只有十个同学做出来；第二个班讲完以后，追问有没有其它方法，学生2和学生3积极的讲解自己的方法，这两位同学刚讲完，全班同学自觉的报以热烈的掌声。而后第二个班级的学生练习变式，五分钟后调查情况，有三十个同学做出来。
实践证明,巧用错题，开展变式教学，可以引导学生摆脱“题海”，变被动思维为主动思维，形成“趣学”、“乐学”的氛围，让学生成为学习的主人。可以有效减少差生面，培养学生良好的思维品质 ，提高教学效益，从而大面积提高教学质量。解：(1)由cosB＝1－2sin2B2 得sin2B2＝1－cosB2，∴c－a2c＝1－cosB2，即cosB＝ac.
由余弦定理得a2＋c2－b22ac＝ac，即a2＋c2－b2＝2a2，∴a2＋b2＝c2。
∴△ABC为直角三角形。
判定三角形形状的两种常用途径
（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。
（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断。
在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件。另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响。
我们应在学生系统、完整地获得有关知识后，引导学生探索余弦定理与其它定理的内在联系，以改变学生的错误认识完善学生的认知结构，增强学生变通定理的能力。
总之，在余弦定理的教学中，应努力改变那种二套，公式加例题”的传统教学模式，善于创设“运动、变化的情景，引导学生全面地认识定理，探索定理的内在规律，扩展定理的使用范围，这样，就能有效地发挥余弦定理功能性的作用，提高余弦定理的教学价值。
论文作者:尹志亮,范艳娟
论文发表刊物:《教学与研究》2019年11期
论文发表时间:2019/11/20
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