本文先通过学生典型错例的呈现，再透析其三大成因“教学知识点偏多，学生难学；笔算过程偏繁，学生难记；教学过程偏快，学生不求甚解”，进而提出了学生层面的“歌诀识记法、专项练习法、错题日记法、估算检测法、记录留痕法、打叉删除法”五种应对策略，教师层面的“错例传承制和练习题库建设”两种策略，以求和摸爬滚打在一线的同仁们一起走在实践的路上，一起让小数除法这一教学难点走向光明。
【关键词】小数除法 知识包 错例透析 应对策略
《小数除法》是人教版教材五年级上册中的一个教学内容。
它是小数四则混合运算的基础，是学生学习了整数除法、小数乘法及小数的意义和基本性质之后的一个延伸。因其繁琐变化令学生望而生畏，导致正确率偏低，所以，它成了小学计算教学中的一个难点，成了大多数学生学习数学的一大挑战。
证明对小数除法的错题研究就更显得重要了，通过对学生的计算错误进行研究，不仅可以帮助学生找出错误的原因，然后针对原因进行改正，还可以帮助教师正确认识学生的学习状况，转变对学生的错误观念，从而改进自己的教学方法和教学策略，既可以提高教学效率，又可以降低学生对小数除法的为难情绪，从而提高学习效率。
一、典型错例呈现
人非圣贤，孰能无过。心理学家盖耶认为：“谁不考虑尝试错误，不允许学生犯错误，就将错过最富成效的学习时刻。”教师要善于捕捉和利用错题，整合错题资源，通过错例分析，充分预设课堂，对学生容易出错的地方，有针对性的教学，提高学生对错题的“免疫力”，避免在学习中再犯类似的错误。
笔者在教学小数除法时，通过前测卷、后测卷以及大量的学生作业的收集和分析，对学生小数除法的计算错误梳理出以下几种错误类型：
1.小数点问题
【错型一】不点（多点）小数点
〖错题原型〗
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〖错因分析〗
出现这类错误的原因：一方面来自教材，教材对除数是小数的除法编排课时少，课本上只编排了两课时，缺少系统性，条理性；另一方面来自知识的负迁移和全新的书写格式，受整数除法和小数乘法计算方法的影响，学生对新的书写格式一下子很难接受、掌握，尤其是中下等的学生。
【错型二】移错小数点
〖错题原型〗
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〖错因分析〗
出现这类错误的原因是：一方面，小数除法的计算需要的知识特别多，过程也较繁琐，学生忙着试商、调商，就容易忽略小数点的移动，或者不能灵活运用商不变性质，导致出错；另一方面，源自小数除法全新的书写格式，对于学生来说，小数除法计算，在格式上完全不同于小数的加法、减法、乘法，由于格式是全新的要求，所以在刚学习时就接受不了。
2.“0”的问题
【错型三】末尾不知补“0”
〖错题原型〗
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〖错因分析〗
以上两种错误，可以看出，在应该用0补位时，没有补位，而不用补位时，却盲目的补了两个0.究其原因，笔者认为，一是学生对商不变性质的本质理解的不透，掌握的不够扎实，尤其像第一题，当被除数是整数，看不到小数点的情况下，学生太容易忽略了；二是整数除法的计算在学生头脑中根深蒂固，象第2题，学生知道商不变性质的运用，便毫不犹豫的补了两个0，认为变成整数相除能计算就好了，却忽略了小数点的移动；三是和小数计算的复杂性不无关系。
【错型四】首位不知商“0”
〖错题原型〗
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〖错因分析〗
这是一道小数除以整数商是小数的题目，特殊在小数的整数部分不够除，需要商0占位，点上小数点以后再继续除，可恰恰就是这一点，很多孩子拿到题目以后，忙着试商，就忽略了写0和点小数点，而且，很多孩子错了还浑然不知，这种题型错误率非常高。这种错误，可能是短时记忆造成的偏差，可能是小数除法计算的复杂性导致的，访谈时，学生都说：“哎呀，我知道的，就是忘写了。”
【错型五】中间不知商“0”
〖错题原型〗
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〖错因分析〗
这道题目，主要犯了以下几个错误，一是移动了小数点，虽然有错，却没有关注商的小数点；二是当遇到不够除的情况时，根据位值概念，需要用0占位，而多数学生尤其是后进生，并未关注这一点，急于把下一位移下来继续除，导致前一数位上“0没占位”；还有部分学生遇到这种情形，不知道该怎样处理，原因是商中间有“0”的除法算式是三年级上册的教学内容，时间上跨度比较大，学生知识遗忘率比较高；三是学生受口算的影响，看到74很容易就想到商2，将计算法则抛到了脑后。甚至第二位学生发现商中有一个数位空着，竟然在末尾用0来占位，可见这种题型在学生头脑中是如何的混乱。
二、错误原因透析
小数除法为何让学生有如此多的错误呢？笔者经过研究、分析，觉得有以下三方面的原因：
1.教学知识点偏多，学生难学
任何知识都不是孤立存在的。数学知识体系是由一个个知识点串在一起形成知识线，线和线交织成知识面，面和面形成知识体系。在计算教学这个知识体系中，小数除法所需的知识点之多，应该是任何一个知识无法企及的，由此，笔者梳理了一个知识包：
除数是整数的小数除法是基础，一个数除以小数是难点。从知识包中可以看出，计算一个除数是小数的除法题目，需要掌握除数是整数的小数除法的计算方法、商不变性质、小数的基本性质、位值制概念、整数除法的知识、小数点移动变化的规律，共计六个知识点的支撑，所以，要想准确的计算小数除法，学生首先要有扎实的知识基础，而且要有灵活运用这些知识的能力。
2.笔算过程偏繁，学生难记
在第一点的分析中，我们发现，要笔算一道除数是小数的除法题目，至少需要六个知识点的支撑，也正是因为如此，所以，让计算变得有难度了，我们再从深层次来分析一下致使小数除法难上加难的原因。
上海静安区进修学院的曹培英老师在解读课程标准中的“运算能力”时，曾说：小学生计算错误的心理原因：学生进行运算，包括感知算式与思维操作两个环节，参与其间的还有注意与记忆。它们之间在运算过程中的联系如下图：
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由此可见，学生在感知算式和思维操作的两个环节都需要注意力的参与，这时，在注意力的分配上，如果法则不熟或者口算不过关，很容易顾此失彼；在注意力的转移上，计算过程的上下步骤应接不暇或张冠李戴。
3.教学过程偏快，学生不求甚解
首先，是学段的安排上，我国的小数除法教学是安排在五上年级进行教学的，我国儿童7岁入学，就是说大约是在11岁学习并学完小数除法的相关知识。笔者查阅了其它国家的教材和课程标准，发现我们国家对于小数除法知识的教学比有些国家安排的要早也相对集中。
其次，是学时的安排上，12学时的量不足，因为小数除法的教学难点多，比如在第一课时小数除以整数的教学内容中，教材就涉及了“商的小数点定位”、“整数除以整数”、“末尾有余数时补零再除等知识点，在1课时的教学安排中，难点就过于集中了，不利于突出对计算方法的探究。还有就是在学习小数除法时，这一内容的题型变化多，共有5种类型：①小数除以整数商小数；②小数除以小数商小数；③小数除以小数商整数；④整数除以整数商小数；⑤整数除以小数商整数。这样，在学生刚学会一种计算方法时，又有了一个新的挑战。
三、应对策略集结
首都师范大学郜舒竹教授曾指出“数学错误是普遍的现象，不论学生年龄的大小，时代背景的变化，他们在数学学习的过程中都不可避免地要犯错误。”由此可以看出，学生在学习中犯错误都是不可避免的。事实上，学生产生错误，并不是所有的都是因为粗心或者没有认真学习造成的，有些错误的产生是有原因、有规律、有共性的，具有一定的合理性，通过认真分析，找准对策，从这些“美丽”的错误中，从细微处“寻根探源”，换一个视角对待学生的错误，是可以将错误变成一种有效的教学资源的。
笔者经过研究和平时教学中积累的一些经验，秉着一种思考、实践、传承和发扬的思想，总结了以下几种策略：
1.学生层面
◆歌诀识记法
从心理学的角度分析，我们发现，小数除法因其繁琐的计算过程导致学生很难记住计算过程，总是顾此失彼，从而有了极低的准确率，为了化难为易，让孩子易学易记，笔者觉得“歌诀法”不失为一种好方法
◆专项练习法
专项练习法，就是指运用商不变性质，让学生进行移动小数点的专项练习。
笔者翻阅了各个版本的教材，发现浙教版的教材对此有全新的处理，它在例题中和后面练习中安排了大量的把除数变成整数后，根据商不变性质，转换被除数的移动小数点的练习，
◆错题日记法
错题日记法，就是让学生从自己三天的练习中挑选一道典型的错题，进行错因分析，编成有趣的数学故事，写成错题日记，进而留下深刻的印象。
在很多题目中，并不是学生真的完全不会解答，而是受某种知识结构的限制，比如解题过程的复杂性、前一题的思维定势或者对先前学习的知识的遗忘等，导致了解题错误。这时候教师不要一味地责怪学生不认真而犯错，而是应该耐心地对学生进行疏导，让学生自己发现错误的原因所在，这样才有利于学生能够更深刻地掌握知识点。
◆估算检测法
新课程标准已经将估算作为一种运算技能和能力来要求。从现实来看，估算能力是现代社会生活的需要，是衡量人们计算能力的一个重要方面。同时，在小数除法计算教学过程中，估算能力的培养也尤为重要。因为估算能力的提高，有利于提高学生检测计算的能力，提高小数除法计算的正确率。
◆记录留痕法
记录留痕法，就是让学生通过《错例记载本》，整理、记录自己的错题。
小学生缺乏找错、记错和改错的主动性和能力，尤其是更缺乏议错和辩错的能力，一般只会重复机械订正。这时，就非常有必要让学生准备《错例记载本》，在记载本中分出“错题记录，错因分析，举一反三”三个栏目。因五年级的学生已属于高段，无论是从学习能力还是从年龄上，都可以让他们学着分析错例产生的原因了。
◆打叉删除法
打叉删除法，就是用小小的叉叉删除移动前的小数点，让学生更清楚的看到移动后的小数点的方法。
2.教师层面
★错例传承制
教师要做一个有心人，要和学生一样把错题进行梳理，记录，而且教师记载的错例绝不能用完就扔。新学年任教教师传承上届教师记录《错例记载本》，作为二度备课的主要参考资料，在备课过程中继承、分析记载的错例。这样的“传承方式”首先能使教师的二度备课更有方向性。学生在哪些地方容易出错？学生对这类问题的认识起点在哪里？这些思考都能从上届教师的记载与分析中得到一定的科学回答，同时也避免了重复、低效劳动，让教师有更多的精力继续深入地看待错例，进行补充，使得我们的错例资源更加完整。
★练习题库建设
这里的题库也许并不大，但是，可以分为几类来建设，可以按错误的题型来建设，也可以按学生错误率的高低来建设，题库的建设是基于对错例研究的成果，基于教师对学生的起点进行科学定位，基于对教学内容重难点的有效把握，将练习有层次、有实效的排布。教师执教时可以自主地选择适合本班学生的题目，进行针对性的练习；学生、家长也可以利用班级QQ群资源共享，有针对性地进预习、复习。
要想轻负高质的教学好小数除法这一内容，只凭笔者的几个策略还远远不够，比如教师的精心备课，对学生良好书写习惯的培养、反思检查习惯的培养等等都很重要。
实践的路还很遥远，但我们不必害怕，只要走着，便一定会有收获，坚信，通过我、我们，一批人的生生不息的研究，终究有一天会让小数除法这个难点走向光明。
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论文作者:金东乐
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年17期
论文发表时间:2020/1/15
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