一次方程组的应用：从历史到课堂，本文主要内容关键词为：方程组论文,课堂论文,历史论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
意大利学者Furinghetti曾经提出数学史融入数学教学的一般过程，我们对其进行改进，拟定如下过程：确定课例主题→考察相关历史→选取合适素材→分析课堂需求→设计课堂活动→实施教学计划→评价课堂活动.其中，课堂需求指的是数学史材料必须符合趣味性、科学性、有效性、可学性和新颖性五项原则.趣味性原则指的是数学史材料必须能激发学生的学习兴趣，故应尽量涉及数学背后的故事；科学性原则指的是数学史材料必须符合史实或历史情境；有效性原则指的是数学史材料必须服务于教学目标；可学性原则指的是数学史材料必须符合学生的认知基础，易于为学生接受；新颖性原则是指数学史材料新颖、教学设计有特色. 按照上述过程，在确定了课题“一次方程组的应用”之后，我们首先考察二元一次方程组的历史（事实上，Furinghetti的相关文章中已经搜集了相当丰富的教学素材）；然后基于上述五项原则，选取有关问题进行教学设计；接着将教学设计实施于课堂；最后通过问卷调查和访谈，获取学生的反馈信息，通过评课交流，获取教师的反馈信息，并据此对教学进行评价和反思.本节课我们所设计的教学目标是：能够利用一次方程组解决一些简单的实际问题；经历运用一次方程组解应用题的过程，体会方程思想在解题中的重要性；通过古今解方程组方法的对比，感受代数方法的优越性；激发学习兴趣，拓宽知识视野，感受数学的悠久历史，感悟数学文化的多元性. 一、历史材料的选择 古代数学文献中有着十分丰富的二元一次方程组问题，笔者之一曾在《HPM视角下的二元一次方程组概念的教学设计》一文（发表于2007年第5期《中学数学教学参考》（下半月））中将其分为4类，具体见表1.
我们从古代数学文献中对以上4类问题各选取1个问题，以使问题具有代表性；同时，为了凸显数学的悠久历史和数学文化的多元性，我们从古代巴比伦、中国和中世纪欧洲的数学文献中分别选取问题. 此外，为了增加趣味性和新颖性，我们设计了一幅名为“跨越时空的一次方程组之旅”的世界地图（略），通过时空转换将所选问题串联起来；我们还截取了英国BBC制作的视频《数学的故事》的片段，使得时空转换变得自然而然. 二、教学设计与实施 在课堂引入环节中，教师通过PP展示世界地图“跨越时空的一次方程组之旅”，同时说道：“数学有着悠久的历史，古代不同的文明都对数学的发展做出过贡献.今天，且让我们穿越时空，踏上二元一次方程组的探索之旅.” 在第1个问题的教学中，教师首先说道：“我们的第一站是中国.”然后播放视频《数学的故事》中关于中国古代数学的片段，其中有如下问题： 问题1 1个李子、3个桃子共重15克；2个李子、1个桃子共重10克.问：一个李子、一个桃子各重多少？ 该问题属于表1中的第3类问题.视频中将其作为《九章算术》中的问题（实际上并不是）来介绍，并介绍了古代的算术解法.教师让学生自行思考解答此题，并让他们思考古代的算术方法与今天的方程组解法之间的关系，以下是教学片段： 师 （视频中的解答播完后）请同学们描述一下，古代的方法是怎样的？ 生 先求出2个李子、6个桃子的重量，然后减去2个李子、1个桃子的重量，就可得出5个桃子的重量，就知道了1个桃子的重量. 师 通过视频中对古代算法的解释，你们有什么发现？ 生 一样的. 师 哪里一样？ 生 他们的算法和我们的是一样的，其实就是用算术方法代替了我们的加减消元法，解题的思路都是消去一个元. 师 是的，那你们觉得哪个方法更好呢？ 生 现代的好. 生 古代的好，算起来快. 生 两个都行，都可以做题. 生 我觉得用方程组的方法思路更清楚，因为万一不是2倍什么的，就不好做了. 生 不是2倍，也可以凑呀，跟我们的加减消元法一样的咯，凑一个系数相等就可以了. 生 哦，那么两个方法不就是一样的了么？ 师 是的，从本质上来讲，其实都运用到了加减消元的思想，不过我们用的是代数方法，而古人用的是算术方法. 在第2个问题的教学中，教师给出中国明代数学家程大位在《算法统宗》（1494）中以诗歌表达的一个问题： 问题2 隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤.试问各位善算者，多少人分多少银？ 该问题属于表1中的第2类问题，即中国古代数学中著名的“盈不足”问题，有一定的难度，学生需要具备一定的古文阅读理解能力，才能读懂题意.教师让学生合作讨论解答此题. 在第3个问题的教学中，教师首先说道：“中国古代数学丰富多彩，那么，其他古代文明中是否也有数学呢？且让我们把视线转向国外.”然后播放视频《数学的故事》中介绍古巴比伦数学的片段，并通过PPT出示如下问题： 问题3 已知两块地共5亩，且第一块地亩产4担粮食，第二块地亩产3担粮食，第一块地的产量比第二块的产量多6担.问：两块地的面积各为多少？ 该问题属于表1中的第1类问题.教师让学生自行思考解答此题. 在第4个问题的教学中，教师介绍13世纪意大利数学家斐波那契和他的《计算之书》，并引出如下问题： 问题4 若甲得乙之7第纳尔，则甲的钱是乙的5倍；若乙得甲之5第纳尔，则乙的钱是甲的7倍.问：甲、乙各有多少钱？ 该问题属于表1中的第4类问题.教师让学生自行思考解答，并让一名学生板演. 最后，教师给出拓展问题： 问题5 六（2）班某同学参加某项考试，试卷一共10道题，答对一题得4分，不答得1分，答错得0分.该同学的最终成绩为20分.请问他答对几道题？答错几道题？未答几道题？ 设计本题的目的是引出一次不定方程组及其特殊解，拓展学生的思维. 在课堂小结环节中，教师让学生总结本节课的收获，以下是部分学生的回答： （1）学会了运用方程（组）解决实际问题. （2）感受了数学的实用性，数学非常贴近我们的生活实际. （3）了解了中国古代和古巴比伦的一些文化，以及诗歌中的数学. （4）了解了中国古代的方程组问题，感受了古人使用的方法和我们使用的方法之间的异同. 三、学生反馈 课后，我们对学生进行了问卷调查.32名学生中，有31人表示喜欢数学史，30人表示理解古代数学题的题意，28人表示教师有必要在课堂上介绍点数学史知识，29人表示数学史有助于自己的数学学习，29人表示自己不太了解数学史. 对于问题“请写出你所知道的若干数学家的名字”，学生回答情况的统计结果如图1所示.
由图1可见，学生所知道的数学家主要集中于华罗庚和陈景润，这表明，他们对数学家了解甚少.这与上述问卷调查的统计结果是完全一致的. 此外，我们还对部分学生进行了访谈，以下是访谈片段： 师 这节课中你们印象最深刻的内容是什么？为什么？ 生 桃子和李子问题，看起来很好玩. 生 我觉得是分赃问题，古人也很有趣. 生 我觉得那首小诗比较好玩，做起来感觉题目没那么枯燥. 生 我觉得那个桃子和李子称重问题很好玩.视频中的解释让我们很直观地理解了古人的算术做法. 生 我觉得泥板上的问题蛮有意思的，感觉像是历史课，题目都是有背景的. 师 我们以前也上过类似的应用题课，你们觉得这节课和以前的课有何不同？ 生 以前所遇到的应用题也有背景，但是没有这么好玩.有些东西虽然也比较贴合我们的实际，像买东西啊什么的，但是没有今天这样看看视频、讲讲故事这么有意思. 生 以前的题目稍微有点枯燥，有时候题目一长都懒得看.今天那首小诗虽然乍一看很怪，但是我觉得很好玩，很容易引起我们的兴趣. 生 我觉得今天的课既让我做了数学题，又让我感觉比较有趣，一点都不累. 生 其实我觉得平时我们的数学课也蛮有趣的，不过今天的课更加新颖. 生 就是我们今天稍微有点紧张. 师 这节课是否改变了你对数学的看法？ 生 有一点吧，其实我一直觉得数学是很实用的，今天感觉数学更贴近生活了. 生 其实我觉得像这样结合一些故事啊、古代的题目啊，可以帮助我们理解数学. 生 今天这节课让我觉得数学就是一步步发展来的，古代的解题方法和现代的方法有共同的地方，不过我们的解题方法比古人的方法更简便. 生 对的，就像我们学“数”的时候，知道数也是一步步发展来的.这节课也让我感觉到数学是一步步发展来的，从算术方法到方程方法，古代的问题和今天的问题有很多相似的地方，很好玩. 生 课上讲讲数学史很有趣，还可以让我们开阔眼界. 课堂观察、学生总结、课后问卷调查和访谈表明，本节课达成了“能够利用一次方程组解决一些简单的实际问题；经历运用一次方程组解应用题的过程，体会方程思想在解题中的重要性”的教学目标.当然，如果我们不从HPM的视角来教学，这些目标同样也可以实现.但是，HPM视角下的教学发挥了其独特的优势： （1）古代数学问题激发了学生的兴趣（学生觉得问题“好玩”、“新颖”、“有意思”、“不枯燥”、“引起兴趣”）. （2）古代数学问题让课堂氛围更轻松（学生觉得做题“不累”）. （3）古代数学问题让学生体会到数学有其发展的历程（学生觉得数学“是一步步发展来的”）. （4）古代数学问题让学生体会到今天的代数方法的优越性（学生觉得今天的方法“更简便”）. （5）古代数学问题让学生体会到古代不同文明的数学文化，开阔了他们的视野. 因此，本节课也较好地达成了课前设定的其他教学目标. 在课后的点评中不少教师指出，在本节课中，问题的选取没有体现出难易的递进性.一如上文所指出的那样，在教学设计中，我们只关注到古代二元一次方程组的不同类型，而没有刻意区分问题的难度.其实，数学史上的方程问题丰富多彩，兼顾问题类型和难度完全是可以做到的.本节课的这一缺点也让我们深深感受到自身数学史知识的不足.要开发完善、精彩的HPM案例，教师需要阅读更多的数学史书籍，积累更丰富的数学史素材，并对数学史素材进行必要的裁剪和加工；在教学设计中，还需要与HPM研究者进行深入的交流研讨.有人戏称：“开课就像剥皮，痛过以后就是脱胎换骨.”本节课虽然留下了一些遗憾，但我们的收获以及对于HPM教学的期待却很多很多.
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