对数学教材中折纸活动的一些探究，本文主要内容关键词为：教材论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
教材中的折纸活动为学生提供了从事数学活动的机会，符合新课改“在玩中学，在学中思，在思中得”的全新理念。看似简单的折纸过程，其中蕴涵着丰富的数学知识，所以教师应帮助学生充分挖掘教材中的折纸活动所隐含的数学规律和解题策略，这样不仅能提高学生的实践能力和思维能力，还能培养学生的创新意识。下面以几种常见的几何图形为基础，笔者结合自己的教学实践，谈一谈对教材中折纸活动的一些细微探究与思考。
一、用三角形纸片折纸
苏科版《数学》七年级下册教材中，“三角形的内角和”是通过撕开三角形纸片的三个角再拼合成一个平角的方式来验证的，这样操作后三角形纸片就缺少了完整性。能否不撕开纸片也能验证三角形内角和定理呢？事实上在学过三角形的中位线定理后是可以实现的。
活动1
教师：给你一张任意的三角形纸片，你能否运用折纸的方法验证三角形内角和定理？
（学生动手尝试折三角形纸片）
学生1：如果用一张直角三角形纸片（如图1）可以把两个锐角折到直角顶点处，那么两个锐角刚好拼成一个直角，所以三个内角的和相当于两个直角的和，即为180°。
学生2：也可以将三个角的顶点都折到斜边上一点处（如上页图2），先折出斜边上的高线，记垂足为H，那么就可以把三个角的顶点都折到点H处，这样三个角就拼合成一个平角了。
教师：很好。大家猜想折痕MN是否平行于BC，测量图中线段AM与BM、AN与CN的长度后，你会有什么发现？如果不用直角三角形纸片，你怎么折叠才能验证三角形内角和定理呢？
学生3：我发现AM=BM，AN=CN，即点M、N分别是三角形两条边的中点，所以线段MN是△ABC的中位线。因此，对于任何一个三角形纸片，只要以一条中位线为折痕先折叠一个角，那么另两个角就可以顺利地再次折到第一个角的顶点处，从而拼合成一个平角。
教师：很好，这位同学已经完整地概括了通过折纸验证三角形内角和定理的方法，说出了问题的关键（掌声）。
（在学生意犹未尽之时，笔者发现图1与图2还有可用之处）
教师：在图1和图2中，折痕与三角形的边围成的四边形是矩形吗？为什么？
（学生又开始思考）
学生4：图1中四边形MCDN是矩形。
（学生4板书证明过程略）
学生5：图2中四边形MDEN也是矩形。
教师：很好。观察图1与图2，矩形的面积与它的外接三角形的面积有何关系？
学生6：矩形的面积是外接三角形面积的一半。
教师：如图2，你能在AABC内部折出面积更大的矩形吗？为什么？
由二次函数的性质得，当
BC时，矩形MDEN的面积最大，所以利用三角形纸片的一条中位线折出的内接矩形面积最大。
思考：本活动主要是借助验证三角形内角和的机会，对问题进行拓展与延伸。在数学课中落实延伸与拓展是新课标的一项基本要求，因为有了延伸与拓展，课堂才能真正做到开放、高效，学生才能明白知识的来龙去脉及其与社会的广泛联系。对教材进行适当的拓展与延伸，有利于不同层次学生的发展，有利于提高优生的认知水平；借助学习方式的改变、学习问题的开放，才能促进学生的成长。另外，活动1中最后探究矩形的最大面积时，教师可以运用“几何画板”，促进学生对数学问题的理解，也有助于数学探究活动的顺利开展。
传统的教学方式难以给学生创造出动手实验、直觉判断、合情推理的认知过程，也不能为学生提供根据自己的能力得到不同层次结论的机会。而相比之下，折纸活动能有助于激励每一个学生参与到力所能及的探索中，它能给学生提供仔细观察，广泛联想，多方向、多角度、多层次思考问题的机会，因此它是发展学生高层次思维品质的有效材料。在折纸过程中去体验数学研究中的一些方法，其研究趣味浓、探索性强，学生能通过观察、尝试、猜测、转移、类推、特殊化等途径去认识其中的数学原理，同时也培养了学生树立一种多角度、多方法解决问题的数学观。因此，课堂教学中可适当地组织折纸活动，引导学生手脑并用，以动促思，这有利于训练学生思考问题的灵活性与深刻性。
二、用矩形纸片折纸
苏科版《数学》八年级上册教材中“等角对等边”的探索是通过折纸的方式进行的。它巧妙地运用了矩形纸片的对边平行以及角相等这些关系。如下页图4，矩形纸片折叠后的重叠部分是等腰三角形，折叠的角度和方式不同，重叠部分的形状就不同，教师可以抓住这一点，借题发挥，引导学生再探究。
活动2
教师：如下页图4，在折叠矩形时，随着∠1的大小不同（0°＜∠1＜90°），△ABC的形状也发生变化。那么∠1变化时，∠ACB会随之发生什么变化？
图4
（学生开始动手折纸）
学生1：∠1逐渐变大时，∠ACB逐渐变小；反之，∠ACB逐渐变大。
教师：那么∠1的度数在什么范围时，△ACB是锐角三角形？钝角三角形？直角三角形？
（学生又开始动手折纸）
学生2：我发现，当45°＜∠1＜90°时，△ACB是锐角三角形；当∠1=45°时，△ACB是等腰直角三角形；当0°＜∠1＜45°时，△ACB是钝角三角形（如图4）。
教师：很好。怎么折才能使重叠部分为等边三角形？
学生3：当∠1=60°时，重叠部分为等边三角形。
教师：回答得很简洁，很深刻。在图4的基础上能将纸条再折叠使重叠部分为菱形吗？
学生4：可以。如图5，只要将左边的部分折下来与AC边重合即可。
图5
教师：非常好。用一张矩形纸片折菱形，还有其他方法吗？
（一石激起千层浪）
学生5：如图6，先上下、左右对折矩形纸片，得到各边中点，再沿各边中点连线折叠，则可折出菱形的四条边。
学生6：如图7，先折出矩形的一条对角线，然后将对角线对折，将其两端点重合，则得到另一条折痕，最后沿折痕的端点连线折叠折出菱形的一组对边即可。
教师：为什么折出来的四边形是菱形？假设矩形纸片的形状大小是一样的，那么像图6和图7中折出的菱形的面积一样大吗？怎么比较大小？
（一连串的问题让学生沉浸在思考之中）
思考：本活动中，教师引导学生折纸，把学生带入数学知识的研究氛围，用数学自身的魅力吸引、感染学生，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，在互相交流中综合运用所学的知识和技能，发展应用意识，提升数学思维能力。活动2的设置与展开，对笔者今后的教学触动很大。试想：折纸的这些特点和规律用在今天的数学教学中，肯定对我们有很大的帮助，因为它直观地反映了图形之间的关系以及变化的规律，学生可以不借助任何现代技术，仅仅通过观察、分析自己手中的一张纸反复折叠就能很容易地发现事物的规律，从而有效调动学生的积极性，使学生成为学习的主人。折纸活动为学生提供了真实的问题情境，学生通过亲身经历，很容易找到解决问题的方法。
教师在设计折纸活动时，需要注意的是：要根据学生已有的知识经验和认知发展水平，把握教材中新旧知识的联系，在学生思维的最近发展区设置教学的起点，将教材中的知识点做加工，设计成适合学生探索的问题，调动学生解决问题的欲望，激发学生探究的兴趣，促进学生主动探索。
三、用正方形纸片折纸
苏科版《数学》七年级上册教材中“有理数的乘方”是通过对折报纸研究报纸层数来引入的，这样不仅激发了学生的学习兴趣，还有助于学生理解所学的内容，可谓一举两得。对一张正方形纸片以某种方式进行折叠，分析折痕的条数或纸张面积，可以探究其中所蕴涵的学问。
活动3
图8
教师：如图8，将一张正方形纸片对折，可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折3次后，可得到7条折痕，那么对折4次可得到几条折痕？如果对折n次，又能得到几条折痕？
（同学们自主探索规律，相互交流合作）
学生1：对折4次可得到15条折痕；对折n次，可得到(
)条折痕。
教师：说一说你是如何得到这些结果的。
学生1：我折了4次后通过列表格找到其中的变化规律。
教师：老师看懂了。其他同学懂吗？
（学生似懂非懂）
教师：有其他方法吗？
学生2：我发现折痕的条数与纸张的层数有一定的关系。每次折叠后，折痕的条数比纸张的层数少1，所以折n次后，折痕条数是。
（此时有更多的学生认同这种方法）
教师：还有其他方法吗？
教师：非常好，通过上面的活动最终我们发现了两个有用的经验公式。
思考：数学学习的核心是“发现和提出问题、分析和解决问题”。活动3始终以数学问题为出发点和归宿，不断引导学生动手操作，围绕某些数学问题进行思考与交流，让学生在玩中有所学，在学中有所得。活动3既给了学生动手操作、观察思考、自主探究的机会，又训练学生从不同的角度思考问题、解决问题的能力，学生经历了从特殊到一般的过程，思维层次也得到提升。
折纸是一项集教育与娱乐于一体的活动，能够充分发挥学生学习的自觉能动性，把抽象的数学知识变为活生生的动作，使之在多种感官的参与中进行思维活动，在对未知世界的探索中找到规律、概括特征、掌握方法，在体验中领悟数学、学会想象、学会创造。通过解决折纸类操作问题，可以发展学生的空间观念和理性精神。新课程理念下的数学教材更注重形象直观的实验，教师教学时要灵活处理教材，培养学生发现问题和解决问题的能力，从而使学生真正成为学习的主体。