例谈数学讲题中的概括活动，本文主要内容关键词为：数学论文,讲题中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题与成因 初中学生的数学解题往往存在着四个方面的问题：一是解题思维缺乏经历一个逐步深入的过程；二是不能独立地从具体的数学问题中发现或辨认出一般规律，缺乏将规律应用到新问题的解决中；三是不能敏捷地找到解题切入点；四是缺乏通过全面观题，揭示数学知识间的联系，以寻求整体解题思路的眼界.这些问题体现出学生思维能力的不足，这与课堂上学生缺乏过程与方法目标达成的体验相关，即缺乏创造、批判、沟通、合作的过程体验，其根源可归结为学生缺乏一个体悟数学思想的深层次的概括学习过程，这主要是教师在教学中缺乏有效的对解题方法的概括和对学生学习指导的概括.本文就两个案例与同行交流. 二、案例与概括 1.一题多解的解法概括 对于一题多解的题目，在学生研究完可能的解法后，教师需要引导学生对解法进行串联概括，把题目的各种解法用数学思想统一起来，渗透到学生原有的图式结构中，进而通过拓展、变化、迁移，以提升学生的思维能力. （1）题目与解法 题目：如图1，AD//CE，求∠A+∠B+∠C的度数. 此题解法很多，在此仅给出一种详解，其余解法在概括中仅给出添加辅助线的图形. 解：如图2，过点B作BF//AD， 则∠BAD+∠ABF=180°，∠BCE+∠CBF=180°. 所以∠A+∠B+∠C=360°.
（2）概括与拓展 如果此题在学习“平行线与相交线”一章后讲解，显然不够丰富，因此建议在学习“三角形与多边形”之后进行探究，则内涵更加深刻.当学生经历了解题活动之后，出现很多关联性解法，可抓住以下三点引导学生自我概括和迁移. 首先，从与学生现有知识水平紧密相关的解法开始进行串联，通过问题引导学生回顾、反思.当然，学生的概括不可能很简练，所以需要师生的对话沟通. 问题1：显然，三角之和的求法可能与一些特殊角相关，如180°，360°等，从而联想到与互补或周角或多边形内角和等知识相关，那么我们学过的三角和的求法是怎样研究的呢？ 概括1：学过三角形内角和的证明，是通过作平行线转移角完成的.如图3，过点A作DE//BC，通过转移两个角，形成三个角之和为平角.或者如图4，过点A作AD//BC，通过转移一个角，形成互补的同旁内角，从而使问题得到证明.由此，发现利用平行线可解决以上问题，即如图2所示的作法.
问题2：图2是一种分割角的作法，即转移其中一个角形成有两对同旁内角互补的四个角，由此得到∠A+∠B+∠C=360°.这与多边形内角和的分割、转化证明方法相似，那么，是不是还有其他分割角的方法？ 概括2：如图5所示的过点A作AM//BC，交CE于点M，和如图6所示的过点A作任意直线分割∠A，把得到的四个角转移到四边形的四个内角，由此得到360°.这两种方法本质相同，均可看作是构造四边形内角和为360°.但前者更具特殊性，也可看作是形成了两对互补的同旁内角.由此，得到辅助线不一定是平行线，于是联想可能会有分割两个角或者不分割任何角的求解方法.如图7，连接AC，即分割后形成的五个角中，有一对互补的同旁内角和一个三角形的三个内角和；如图8，任意作一条两平行线的截线MN，形成所求三个角等于五边形内角和540°与一对互补的同旁内角180°的差.
其次，是挖掘不同解法之间的共性，凸显对数学思想的引导.基于上述方法，分析不同方法的解题目标，回归到基本思想的解题作用，教师适时补充学生没有发现的新解法. 问题3：从分割的目的看，分割形成的多个角应该是多边形（包含三角形）内角和或者是形成互补的同旁内角或互为补角，若不分割任意一个角，回归到转移角的方法，还有哪些方法？ 概括3：由题目的∠A+∠B+∠C=360°的结论想到构造圆周角.如图9，过点B作BF//AD，转移两个角形成一个周角，或如图10，延长AB和EC，交点为点M，通过三角形外角转移得到一对互补的同旁内角和一对邻补角，等等.
教师概括：三角形内角和的证明中利用平行线转移角，是因为结论有180°，从而构造平角、互补等条件，此题也可采取相同思路，由360°想到两个180°或者内角和为360°的四边形或圆周角等，从而想到三角和、平角、同旁内角的综合构造.由如图9与图10所示的方法引申，过点B的任意直线和两条平行线相交，可以得到一对同旁内角和三个角组成的平角.虽然方法复杂，但却可行，可见，解题需要筛选优解.此题的研究对象是三个角之和的求法，研究方法是通过角的转移或分割，使之转化为我们熟知的相关知识，应关注的问题是如何用我们所具备的知识去构造360°的图形，如何由三角形内角和证明的思路，通过添加辅助线灵活融合平角、周角、补角等知识进行角的转移或分割. 最后，是思维迁移的解题研究.概括的思维需要迁移训练，以下给出两个拓展思考.
拓展2：类比运用平行线证明三角形内角和定理的方法，探究求五边形、六边形、n边形的内角和. 拓展1涉及分类思想，由点P的不确定性，引出图形的结构变化，三个角之间的关系也就存在变化，值得学生探究，以辨析三角和求解问题的方法迁移.拓展2重在方法的类比，让学生知道同一种方法在不同图形中解题的可行性，不仅帮助学生产生正向迁移，而且丰富多边形内角和的探求思路.如下页图12所示的平行线分割转移，五边形的内角和为∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA+∠E4B=∠2+∠3+∠11+∠5+∠CDE+∠8+∠9+∠BAE=∠1+∠4+∠11+∠6+∠CDE+∠7+∠10+∠BAE=（∠1+∠BAE+∠10）+（∠6+∠CDE+∠7）+（∠4+∠11）=3×180°=540°.
2.关联题组的串联概括 对于有串联拓展与变式的关联题组，讲题不能就题论题，需要对题目之间的解题方法进行串联，在进退之间把所解决的每一个问题都归结为一个模式，以用于解决其他问题，逐渐获得一种解题的直觉思维，以下以人教版教材八年级下册部分习题为例加以说明. （1）题组设计与解析 第一题：（第51页习题18.1，第14题）如图13，用硬纸板剪一个平行四边形，做出它的对角线的交点O.用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动.拨动细木条，使它随意停留在任意位置.观察几次拨动的结果，你发现了什么？证明你的发现.
第二题：（第51页习题18.1，第14题改编）你能用两条直线把平行四边形分割成四个部分，且含有一组对角的两个图形的面积相等吗？有多少种方法？说明理由.这两条直线有什么规律？ 第三题：（第62页习题18.2，第17题）一块正方形草地，要在上面建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方案？并与你的同伴交流一下.
前三道题研究用一条或两条直线等分平行四边形（正方形）的面积，最后一道题研究正方形旋转中重叠部分面积不变，解决这四道题具有共同方法.将它们整合在一起，有利于知识的连贯性和系统性，有利于学生在原有知识背景和活动经验上去概括和建构新的数学理解.为使学生思路更加顺畅，在第二题解决之后，提出如何用两条交叉直线分平行四边形的四部分面积相等？学生研究有难度，于是顺势退回对特殊平行四边形的研究，体现由对特殊图形到对一般图形的研究. （2）方法与概括 问题4：这些题目的研究对象是什么？ 概括4：题目都是研究过平行四边形对角线交点的一条或两条直线等分该四边形的面积，在变化中具备图形面积的不变性. 问题5：对于这样的题型，研究方法是什么？如何找到解题的切入点？解题过程中需关注什么问题？ 概括5：根据中心对称和全等变换性质得到对应线段相等和对应图形面积相等，于是有过平行四边形对角线交点的一条直线等分该四边形面积的基本结论.进而发现过对角线交点的两条直线把平行四边形分割成四个部分，含有一组对角的两部分面积相等，而相邻两部分面积不一定相等.于是，思考四个部分都相等的条件特征.为寻找解题切入点，先退回研究分割正方形的两条相交直线的规律：两条直线均过对角线交点且互相垂直.由于正方形的特殊性，该方法还不能推广到平行四边形中.由此，可回归到图形的面积计算.如下页图15，由于对称中心O到邻边的距离相等，从而得到
教师概括：这些题目均涉及过对称中心的直线等分四边形面积，以及全等的旋转对称变换，因此解法相似.也正是这个特征，才有第四题把不规则图形转化成规则图形的面积求法.但往往会因图形特征的特殊性而丢掉用代数式运算表达相邻两部分面积相等的方法，这提醒我们，在确定研究对象和研究方法后，要注意关注问题的变化，从它们之间的共性特征出发，避免受两条直线互相垂直的个性特征影响，导致钻牛角尖而无法解决问题.我们知道，梯形的面积通过作过腰中点的辅助线可以转化成平行四边形的面积，那么平分梯形面积的一条直线是否也有其自身的规律呢？有兴趣的学生课后可以研究一下. 笔者曾撰文谈及教师讲题的缺漏，主要在于没有挖掘题目的内涵，不能把在解题基础上的概括提升到数学思想的高度.这也反映当今数学教师讲题概括时，常常只关注到对题目的求解过程和题型归类的浅层次概括，而缺乏对过程方法目标的概括，即从解决特殊问题的方法，到解决一类问题时可用的共同方法，再到对数学思想的概括过程的缺乏. 前述案例在概括呈现给学生时，并不是完全照搬解题步骤，而是在串联方法的同时做适当的列点归纳.例如，从研究对象、研究方法和关注问题三方面概括，或从题型特征、解题方法和解题步骤三方面提炼呈现解题思维的过程，即分析题型特征、寻求解题思路、设计解题方案、筛选最优解法、正反变式迁移等过程.这样立足《义务教育数学课程标准（2011年版）》的“四基”，从题型特征进行知识与技能方面的总结，从解题方法上进行过程与方法的总结，在解题步骤上关注核心问题，开展基于知识技能和过程方法目标达成的二元概括.例如，“已知直角三角形一边长和另两边的关系式，求边长”的题型特征，从知识技能上可利用勾股定理与方程思想相结合的方法进行解答.在勾股定理的几百种证法中，有很多源于图形构造，利用面积关系列式推导得出.因此，在过程方法概括上，可回归到定理本源，提出用面积法求解.这样再现解题本源，不仅复原结论的形成过程，而且学会概括一类事物的本质属性，体现出学生是在有思维含量、有智慧含量、有文化含量的课堂学习. 此外，课堂的概括本身就是开展学法指导，教师通过立足“四基”的有效概括方式呈现思维主线，真正帮助学生不断构建解题知识结构，积累解题活动经验，提升数学思维能力.使学生从概括中学会解题反思，学会总结题目之间的联系，同时学会回归教材、挖掘教材，在教材中寻找关联题目进行串联概括，体悟一种处于数学思想引领下的学习状态.
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