摘要：各种类型的偏对称分布一直是学者们研究的课题，国内外有一些学者研究了偏拉普拉斯分布。在此基础上，研究了偏对称拉普拉斯分布，此类分布包括偏正态拉普拉斯分布，偏拉普拉斯分布和偏均匀拉普拉斯分布等，并给了出它们的若干性质。
关键词：偏拉普拉斯分布；对称分布；特征函数
1、引言
偏对称分布的研究已经持续了半个多世纪，Roberts(1966)最早提出偏正态分布，Azzalini [1] (1985)在此基础上定义了偏正态分布的概念。Gupta [2] (2002)研究了偏对称拉普拉斯分布的一些性质；Tomasz and Seidu [3] [4] (2006)等讨论了拉普拉斯分布的离散形式，然后给出了概率密度函数、分布函数、特征函数、均值和方差的表达式。对偏拉普拉斯分布的应用研究也取得了一些成果，如Olga and José[5] (2008)等把偏拉普拉斯分布应用于微生物中流式细胞数据，并在图像和数值方面都取得了很好的拟合效果。
定义1.1 设
为随机变量，
是偶函数且为
的概率密度函数，
是标准拉普拉斯分布函数，即
，这里的
表示示性函数。若
的概率密度函数为
其中
是位置参数，
是尺度参数，
是偏度系数，则称
服从偏对称拉普拉斯分布(以下用到
的地方皆与此同义)。
时，
，则
服从于标准偏对称拉普拉斯分布；
时，
，
，当
时
趋向于
的概率密度函数
时，
，
无意义；
时，
，
，
趋向于
的概率密度函数。
性质1.1 设
，
是定义1.1中的随机变量，则
（i）
的偶阶距相同。（ii）
的分布函数相同。
证明: 令
特征函数为
，
特征函数为
，则
令
，则
令
，因此
由此式可证第(i)条结论，且可推知
与
的
阶距相同，则性质（ii）成立。
接下来将讨论f取不同的对称概率分布函数的情况，包括f取正态分布、均匀分布、Laplace分布、Logistics分布、三角分布，并研究了他们的一些性质。最后提出了若干类似的分布，有待讨论。
2、若干偏对称拉普拉斯分布
(1) 偏正态拉普拉斯分布
定义2.1 设
为随机变量，
为标准正态分布的概率密度函数，
为标准拉普拉斯分布函数，若 
的概率密度函数为
则称
服从偏正态拉普拉斯分布。当
时，就称
服从标准偏正态拉普拉斯分布。
性质2.1 若随机变量
的分布为标准偏正态拉普拉斯分布，则
的分布为自由度为1的卡方分布。
性质2.2 若随机变量
的分布为标准偏正态拉普拉斯分布，其特征函数为
，则
证明：当
时，令
，
令
，
；
令
，
由三式可得
同理当
时可得
可以求出
（2）偏均匀正态分布
定义2.2设
为随机变量，
是 [-1,1]上均匀分布的密度函数，
是标准拉普拉斯分布函数，若
的概率密度函数为
则称
服从于偏均匀拉普拉斯分布。当
时，就称
服从标准偏均匀拉普拉斯分布。
性质2.3若随机变量
的分布为标准偏均匀拉普拉斯分布，其特征函数为
，则
证明：当
时，同理当
时可得
由上述性质，可以求出
（3）偏Laplace分布
定义2.4设
为随机变量，
和
分别是标准拉普拉斯分布的密度函数和分布函数，若
的概率密度函数为
，则称
服从偏Laplace分布。当
时，就称
服从标准偏Laplace分布。
性质2.5若随机变量
的分布为标准偏Laplace分布，其特征函数为
[2]，则
证明:当
时，同理可得
由(15)式可得
（4）偏Logistics拉普拉斯分布
定义2.5设
为随机变量，
为标准Logistics分布的密度函数，
为标准拉普拉斯分布的分布函数，若
概率密度函数为
则称
服从偏Logistics拉普拉斯分布。当
时，就称
服从标准偏Logistics拉普拉斯分布。
性质2.6若随机变量
的分布为标准偏Logistics拉普拉斯分布，设
为
的概率密度函数则
由此式可以求出
（5）偏三角正态分布
定义2.6设
为随机变量，
为 [-1,1]上的对称三角分布的密度函数，，若
的概率密度函数为
则称
服从偏三角拉普拉斯分布。当
时，则称
服从标准偏三角拉普拉斯分布。
性质2.7若随机变量
的分布为标准偏三角拉普拉斯分布，其特征函数为
，则
证明：当
时，利用分部积分可得
同理当
可得
可得
3其它相关分布
定义3.1设
为随机变量，
为标准Cauchy分布的密度函数，
为标准拉普拉斯分布的分布函数，若
的概率密度函数为
， (24)
则称
服从偏Cauchy拉普拉斯分布。当
时，就称
服从标准偏Cauchy拉普拉斯分布。
定义3.2设
为随机变量，
为Slash分布的密度函数，
为标准拉普拉斯分布的分布函数，若
的概率密度函数为
， (25)
则称
服从偏Slash拉普拉斯分布。当
时，就称
服从标准偏Slash正态布。
定义3.3设
为随机变量，
为t分布的密度函数，
为标准拉普拉斯分布的分布函数，若
的概率密度函数为
， (26)
则称
服从偏t拉普拉斯分布。当
时，则称
服从标准偏t拉普拉斯分布。
4总结
本文主要给出了若干带有偏度系数的对称概率密度函数的矩母函数、均值和方差，并给出了部分分布的概率密度函数图。在以后的工作中，可以研究偏对称拉普拉斯分布模型的参数估计和显著性检验问题。
参考文献
[1]Azzalini A. A Class of Distributions Which Includes the Normal Ones[J]. Scandinavian Journal of Statistics, 1985, 12(2):171-178.
[2]Gupta A. K, Chang F. C, Huang W. J. Some skew-symmetric models[J]. Random Oper, and Stock. Equ, 2002, 10(2):133-140.
[3]Tomasz J. Kozubowski, Seidu Inusah. A Skew Laplace Distribution on Integers[J]. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 2006, 58(3):555 –571.
[4]Tomasz J. Kozubowski, Seidu Inusah. A discrete analogue of the Laplace distribution[J]. Journal of Statistical Planning and Inference, 2006,136 (3):1090–1102.
[5]Olga Julià, Josép Vives Rego. A microbiology application of the skew-Laplace distribution[J]. Statistics and Operations Research Transactions, 2008,7(2):141-150.
论文作者:田芫,陈超,宗序平
论文发表刊物:《基层建设》2019年第14期
论文发表时间:2019/7/29
标签：拉普拉斯论文; 函数论文; 密度论文; 标准论文; 概率论文; 变量论文; 对称论文; 《基层建设》2019年第14期论文;