数学课堂结构合理性的思考——同课异构比较研究，本文主要内容关键词为：合理性论文,课堂论文,结构论文,数学论文,异构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学课堂是数学教育的主渠道。所谓课堂结构，指的是数学课堂学习活动的相互关系以及学习活动与时间之间的关系。数学课堂是由师生多个信息源组成的信息交互与信息加工系统，这个系统的基本功能是促进学生数学认知水平和情感态度的发展。系统论原理告诉我们：系统的功能是系统中各要素功能和系统结构功能的总和，而系统结构的优劣直接决定了它对系统总体功能的正面或负面影响以及影响的程度，因此，数学课堂的结构直接影响着数学课堂的功能和效率。
一、数学课堂“同课异构”课例简介
教学内容：浙教版课标教材八年级下册第四章第一节“定义与命题”。
课例A
1.斑马线的观察与定义学习
(1)感受学习定义的必要性。
教师用小明上学路上的斑马线引起学生的注意选择（如图1），在此情境中引出平行线、垂线的名称，并让学生解释其意义，说明数学中经常需要对名称、术语的意义进行清楚地规定。
在此基础上，通过幽默对话（儿子：“爸爸，我下午要上网聊天。”父亲（渔民）：“什么地方不好聊天，非要到网上聊？网破了怎么办？”）让学生感受在日常交流中也需要对名称、术语进行清楚地规定。
(2)学习定义的概念。
①以垂线、平行线、升华（科学中术语）、GDP等意义解释为素材，师生在回顾、归纳的基础上共同描述“定义”的概念：一般地，能清楚地规定某一名称或术语意义的语句叫做定义。
②开展数学、科学中定义的回顾与辨别活动，引导学生对定义的概念进行辨别。
③让学生说说怎样判断两直线是否垂直（直接测量交角），让学生感受定义是可以用来进行判断的，直接观察、测量和判断是学习数学和认识世界的基本方法。
2.教室墙角的测量与命题学习
(1)学习命题的概念。
①以小明到校为线索，引导学生提出要判断教室墙角是否垂直（如图2），需要测量墙角的问题。以这个问题为背景，产生“对顶角相等”，“邻补角互补”，“两直线平行，同位角相等”等数学命题。
②结合生活中的判断语句和非判断语句，例如，“鸟是动物”，“如果a=b，那么a+3=b+3”，“动物是鸟”，“画一个角等于已知角”，“a、b两条直线平行吗”，等等。以“是否对事情做出判断、进行辨别”为标准，理解“命题”的意义。
③让学生说出数学中和生活中的命题与非命题语句，进行举例辨别。
(2)命题的结构分析。
通过分析诸如“如果a=b，那么a+3=b+3”，“两直线平行，同位角相等”，“对顶角相等”等命题的语句结构，让学生归纳出命题的结构特征，并体验把命题改写成“如果……那么……”形式的方法。
(3)活动片断小结。
师：当我们难以进行直接观察测量和判断时，经常采用从已知推断未知的方法，在推断过程中，我们会应用到许多命题，得到一些命题，而分清命题的题设和结论，有助于明确已知事项和未知事项，使解决问题的起点和目标更加明确。
3.数学游戏中的探究
教师引导学生做下面的游戏。
有18、7、99这三个数，请选择一个，并反复进行如下运算：求组成这个正整数的各位数字的立方和。例如，对于12这个数的运算，前面几步运算如下：
。
师：在运算操作过程中，你有什么发现吗？
①引导学生在运算中发现特殊的数153（如图3），教师把这个数命名为“黑洞数”，把这种运算命名为“黑洞运算”，让学生对这两个名称下定义。
②让学生观察游戏操作的过程，在对参与运算的数的特征进行归纳的基础上，提出一个猜想（产生命题），如“3的倍数的自然数经过若干次黑洞运算后的结果是一个黑洞数”，引导学生分析得到命题的结构，并把猜想得到的命题改写成“如果……那么……”的形式。
③引导学生讨论猜想（命题结论）是否正确，从中进一步完善命题（如把自然数换成正整数），并结合问题讨论，简要介绍数学史上相关的著名猜想，让学生感受到猜想并不一定正确，但具有重要的价值。
4.回顾小结，深化提高
(1)让学生谈谈自己对定义与命题的认识。
(2)让学生谈谈自己的感受与疑惑。教师结合学生的回顾、总结，引导学生进行知识和方法的组织，特别强调定义与命题概念的理解、命题结构的分析以及“直接观察、测量和判断—从已知推断未知—综合探究与反思检验”的认识事物的基本策略。
课例B
1.创设情境，感受定义的必要性，学习定义的概念
(1)提出问题：什么叫“人”。
从“人”的历史著名定义的争论介绍中，让学生体会定义的必要性。教师强调在对术语与名称的意义作规定时，要关注事物的本质特征。在此基础上，教师讲述什么叫“定义”：对名称或术语的意义进行清楚规定的语句叫定义。
(2)引导学生回顾数学中的定义。
如垂直、平行、直角等，当学生提出“在同一平面内两条永不相交的直线叫平行线”的定义后，教师提出条件“在同一平面内”是否可以省略的问题，从而说明定义的严密性；再提出这句话中的“永”字是否可以省略的问题，从而说明定义的简洁性。
(3)如何定义。
教师让学生辨别下列式子是否为方程，并对方程进行命名、下定义，引导学生关注方程中未知数的个数和次数，鼓励学生自主定义。
2.感受定义价值，学习命题概念与结构
(1)教师以教室墙角（如图2）为切入点进行以下提问。
师：按照我们的生活经验，墙角的线AO与BO应有什么关系？
：互相垂直。
师：我们得到的结论是停留在经验的基础上的，是靠直觉得出的结论，不一定可靠，怎么办呢？
：可以测量。
师：测量什么呢？
：测量∠AOB的大小。
师：为什么想到要测量∠AOB的大小？
：根据垂直的定义。
这时，教师指出：从数学定义出发也能为解决实际问题提供思路。
(2)通过设置问题“如何测量∠AOB的大小”引导学生构造对顶角、邻补角以及平行线的同位角，通过间接测量推断∠AOB的度数。
(3)学生整理测量角度过程中用到的定义和命题：
①垂直的定义；②直角的定义；
③对顶角相等；④邻补角互补；
⑤两直线平行，同位角相等。
(4)引导归纳：除了定义具有判断功能外，还有一些语句也具有判断的功能（引向命题）。
例题 比较下列句子在表述方式上，哪些对事情作出了判断？哪些没有对事情作出判断？
在上述辨别活动的基础上，帮助学生理解命题的意义。
3.命题的深入认识
(1)分析前面的命题：鸟是动物。
①鸟与动物之间有某种特殊关系吗？
②如果将“鸟”换成“茶杯”，得到“茶杯是动物”还是命题吗？
③如果将“动物”换成“植物”，得到“鸟是植物”还是命题吗？
④命题的判断一定正确吗？
引导学生归纳：句子中的判断不管正确或不正确，都有判断功能，都是命题；显然，命题中各部分之间有某种联系（逻辑联系），这种联系一旦被打破，命题的判断结果就改变了，从这个角度来讲，命题判断有对、错之分。
教师的意图在于：通过这个活动，让学生感受命题有真假之分，并感受命题中存在“题设”和“结论”两部分。
⑤通过对“若
，则a=b”的结构分析，让学生体验和归纳命题的结构特征。
(2)命题的改写。
问题 写出命题“对顶角相等”的题设和结论（让学生讨论）。
①引导学生思考“题设：对顶角。结论：相等。”这样妥当吗？
②从命题的题设和结论的定义入手思考（体现定义的价值）。
③引导学生把上述命题改写成“如果……那么……”的形式。
④练习：把下列命题改写成“如果……那么……”的形式。
⑤若｜a｜=｜b｜，则a=b；邻补角互补；内错角相等，两直线平行（强调“两直线被第三条直线所截”这个大前提的书写）。
4.回顾小结，数学游戏
根据教师课后介绍，准备用三位数中各位数字组成的最大三位数减去最小三位数，最后得到4、9、5这三个数字，引导学生在游戏中发现问题、科学定义、大胆猜想和执着论证，在此基础上引导学生回顾、小结，深化提高。但由于下课时间到，此游戏没有进行。
二、课例的比较与分析
1.课堂整体结构比较与分析
课例A的课堂结构设计整体性强，课堂学习活动充分关注学生的情感态度，课堂学习活动沿着“小明上学路上的观察—教室墙角的测量—数学课堂游戏中的探究—回眸课堂，清点收获”这样富有童趣的活动主线展开学习活动，使学生容易有亲近感，能引起学生的情感共鸣，促进数学学习活动中选择性注意的自然转换。另一方面，课堂设计以“直接观察、测量和判断—从已知推断未知—数学综合探究中尝试下定义、作猜想（得到命题并区分题设结论、改写命题）—讨论、猜想结论的真假性（指向下一课的学习内容）”的数学认知策略作为课堂活动隐含的认知线索，使学习活动的情境线索与认知线索很好地融合在一起，形成数学课堂的整体“骨架”，使数学课堂结构具有整体性、立体感和层次性，体现了“高观点下的数学教学”“认知与情感有机融合的数学教学”，使数学课堂教学活动贯穿了教师鲜明的数学教育价值观，能根据学生在课堂的注意水平的发展变化设计与之相匹配的“感知注意—主题学习—练习巩固（融合于知识形成的过程中）—拓展学习—回顾总结”等阶段的学习活动，这样，数学课堂就有了灵魂。
课例B则采用“感受学习定义的必要性—定义学习—命题学习—回顾小结—拓展探究”的结构展开教学活动，这一课堂结构是线性的，是从知识的产生、发展和应用的角度来设计课堂结构。与课例A相比较，缺少了知识学习、思维发展、情感态度相互有机融合的立体感，这种课堂结构对学生的知识技能的学习是有效的，但对学生的思维能力的发展、认知与情感的协调发展是缺位的。
2.课堂结构的层次性与流畅性比较分析
人类认识事物总有一个从直接到间接、从整体到部分再到整体、从粗略到精细的过程，因此，数学学习活动也应该是一个关注、观察、探索、应用、拓展、总结的过程，这是一个由浅入深、环环紧扣的过程。
所谓数学课堂学习活动的流畅性是指：前面的学习活动是后面学习活动的基础，后面的学习活动是前面的学习活动的自然发展和必然延伸，教师设计的课堂应是“应势挖渠导流”而非“挑水上山”，数学课堂中，教师的核心任务是引导学生自然、合理地发现问题、提出问题、解决问题和拓展问题，尽量少用指令式引导。
从这个角度出发，课例A的课堂沿着学生上学路上、校园以及课堂上出现的数学对象的认识与探究这一线索，在“直接观察测量判断”到“从已知推断未知”的发展过程中开展定义、命题的由浅入深的研究；同时设置了课堂游戏，让学生比较完整地经历了由观察、实验引发猜想、用适当的方法验证猜想的过程，而且这种活动与定义、命题紧密联系又具有趣味性，也不失探索和发现的激情。在课例A中，诸如平行线、垂线、直角等图形对象都存在于“道路斑马线”中，是上—学习环节的自然发展，相比之下，课例B中的学习活动各环节在设计的层次性和流畅性上就有所欠缺。例如，从“定义”概念学习和辨别环节过渡到测量墙角环节，有“横生”之感，与课例A中的从“上学路上”到“到达校园”“看到墙角”的流畅过渡相比逊色不少；又如，课例B把“游戏”这一拓展性学习活动放到课堂小结中，既可能使该游戏活动失去拓展性学习活动的精彩，又给人以课堂小结“尾大不掉”的臃肿之感。
三、基于课例的思考：怎样的课堂结构是合理的
在数学课堂教学中，教师的主导作用主要应体现在根据学生的数学现实、认知风格、学习习惯和动机状态进行学习活动的预先设计和数学课堂中的合理实施，根据学生的需要作有针对性的合理引导，从而最大限度地促进学生的认知水平与情感态度的发展。从上述两个课例可见，同一教学内容，采用不同的课堂结构，就会有不同的教学效果，数学课堂的整体结构设计对学生的学习效果有着举足轻重的影响，而合理的课堂结构设计来自于对学生数学学习过程的正确把握。
一般来说，在数学课堂的学习活动中，学生的心理操作过程如下。
(1)学生首先需要知道学习的任务，以此为依据进行学习的动力准备和注意的合理选择，而动力准备与注意选择的强度取决于学生对任务的兴趣、价值认可与完成难度的评估。在课堂设计中，首先应该让学生关注学习的对象，初步体验学习这些内容的价值，也就是数学课堂的激发动机和注意选择阶段。如课例A中，用小明上学路上的斑马线和幽默对话来激发学生的学习兴趣，感受学习定义的必要性；而课例B则用对“人”的定义的历史争论故事让学生感受学习定义的必要性。从数学本质的角度来看，课例A引导学生关注了数学对象，而课例B则不然。
(2)接下来，学生进行的是对研究对象的充分感知与表征，通过对数学对象结构、特征和关系的观察、归纳、类比和抽象，产生数学对象结构、特征和关系的猜想，用适当的方法（实践检验与逻辑证明）验证猜想的合理性，并通过反复的假设、检验活动形成最终理想的结果，在此过程中形成知识，积累数学活动经验，这就是数学课堂的主题学习阶段。本课例中，命题学习是主题学习的主要内容，对于命题的产生，课例A做了合理的设计（命题产生于对“教室墙角的测量”，由于教室墙角不能直接测量，所以需要运用学过的事实进行推理，而推理与命题紧密相连，说明命题是对概念属性的表述，是连接已知与未知的桥梁）；虽然课例B也利用了同样的资源，但着重体现的是，定义可以直接用来判断，除了定义外，某些其他的语句也具有判断功能，说明判断需要命题，绕过了“推理”，忽视了“直接观察、测量与判断—从已知推断未知（推理）—假设检验”的人类认识的自然发展规律（实践—认识—再实践—再认识）。在对命题的结构分析和改写学习过程中，课例A着重研究的是数学中的命题结构，而课例B则是以“鸟是动物”作为核心样例进行研究，这显然有失偏颇，因为命题虽然是逻辑学和数学的核心研究对象，但数学中的命题具有特殊性，在初中阶段，着重研究的是数学命题结构，因此在主题学习阶段，应该着重让学生认识数学命题的结构而非其他。事实上，并不是所有的命题都能改写成“如果……那么……”的形式，教材中是这样说明的：现阶段我们在数学上学习的命题可以看作由题设和结论两部分组成。
(3)学生的数学学习活动是在教师的引导下，对前人积累的知识经验进行再探索、再积累的过程，因此需要适当地用练习来巩固所学的知识，让学生体验成功的感受，这就是练习巩固学习阶段。本阶段的主要任务是初步应用和巩固知识，既可以集中进行，也可以分散到主题学习的不同阶段。
(4)到这里，课堂的基本学习任务已经完成，学生的注意力也经历了从主题学习阶段的高度集中到疲劳，再到练习巩固阶段的相对放松。从学生的认知发展角度来说，学生对主干问题有了探索的结果，但认识还是初步的，需要设计综合性的问题来重新激发学生继续探究的欲望，并以此为平台提高数学课堂教学的认知发展价值。脑科学研究表明：新情境下的学习活动能产生大脑神经细胞的新联结，而训练则能强化这种联结，因此，需要经历一种融合这两种开发脑功能的学习活动，也就是数学课堂中的拓展性学习活动。尽管课例A和课例B都采用数学游戏引导学生经历“观察一归纳一猜想一验证”的过程，意图是通过这一平台开展拓展性学习活动，但如前面所分析，由于放置的时间点不同，导致了效果的不同，也反映出两位教者对拓展性学习活动的认识不同。课例A中，教者把拓展性学习活动看做是课堂学习的重要组成部分，而课例B中，则是把它作为课堂的点缀，有更好，没有也可以（是为课堂中可能剩余的时间而设计的）。
(5)最后，需要引导学生全面回顾课堂中的活动，对获得的知识进行再组织，建立知识之间的新联系，通过回顾和总结，提炼数学学习活动的精髓——数学思想方法，从更高的认知层面上对自己的学习活动进行再概括，从而提高学生的数学素养。本阶段需要学生回顾自己的收获和感悟，在此基础上，通过交流分享观点和教师的概括性引导深化认识。为了让学生留下能促进知识经验记忆和提取的良好的认知线索，小结应该是概括和简洁的。
综上所述，数学课堂中的主要学习活动按照时间顺序可以划分为以下5个环节：创设情境，注意选择—主题学习—练习巩固—拓展学习—回顾总结。
数学是引领人类走向理性的路标，但人类的理性是有限的，这种理性的有限性主要表现在人类的情感态度与认知活动形影相随，互相影响，互相制约。由于中学生的统领计划执行的大脑前额叶正是未定和快速发展时期，所以，中学生的数学推理活动中，更多地采用的是情绪加工。因此，合理的课堂结构中毫无疑问地应把情感态度因素融合到数学课堂的整个进程（不只是在开始引入新课时或某一活动中），同时需要以推理论证为平台引导学生从情绪加工走向理性加工。
较为理想的数学课堂结构可以借助于以下模型进行描述（如图4）。
