暴露数学思维过程，激活学生创新潜能，本文主要内容关键词为：潜能论文,思维论文,过程论文,数学论文,学生论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
暴露数学思维过程，一是在提出问题的过程中充分暴露其思维过程；二是在解决问题的过程中充分暴露其思维过程。具体表现为：知识结构的建立、推广、发展的过程，解题方法和规律的概括、发展过程等。美国著名数学家波利亚指出“思想应该在学生的大脑中产生出来，而教师仅仅起到一个产婆的作用”。在数学教学活动中，要做一名真正的出色的思想产婆，培养学生的开拓创新精神，必须生动、准确、鲜明、深刻地暴露数学知识的形成过程和解题的思维过程。
一、暴露数学概念的形成过程
决定数学教学效果的首要因素、基础因素和贯穿始终的因素就是：概念要明确。数学概念是从客观世界中直接或间接抽象出来的，其定义大多通过“展示（或具体操作）事例—抽象本质属性—推广到一般同类事物”得出。因此，学生数学概念的形成，必须建立在对事物的具体形象的认识，即感性认识的基础上，所以要引导学生通过观察、分析、比较，找出事物的本质特性。教学中要充分运用直观的方法，使抽象的数学概念成为看得见、摸得着、想得来的东西，成为学生亲身体验过的东西，这样既可以帮助学生理解概念，又有利于引起学生学习的兴趣。
例如学生由小学进入初中，引入绝对值概念，绝对值既是重要概念又是难学内容，学生第一次接触到绝对值符号的抽象性、绝对值概念表述的复杂性、字母表示数的不确定性以及绝对值逆向应用答案的多值性。为了突破教学难点，对于“绝对值”概念的教学，就应对其产生、发展、形成和应用，进行有序的思维过程设计。
①首先通过复习有理数的组成以及在数轴上的相应位置。让学生画一数轴，并在数轴上标出+3，-3，0，
，+6，-6。这些数在数轴上的对应点，让学生观察这些点与原点的关系。
②以旧引新。如在数轴上有A，B两点，A点在数轴上的原点右边的“3”上，即对应有理数“3”，而B点在数轴上的原点左边“-2”上，即对应有理数“-2”，问：A点到原点距离是3吗？为什么？B点到原点的距离是-2吗？为什么？对B点离开原点2个单位，所以距离是2，即-2的相反数，这里的结论发生了质的飞跃，由“-2”跃到2，即由负有理数变为它的相反数——正有理数。
③引入绝对值的概念时，我们联想到测量两点距离时，人们是用两支标杆立在两点上，两杆之间的长度即为距离，也就是不论从甲杆量到乙杆，还是从乙杆量到甲杆，都得到同一个数值（距离），这个数与方向（正负）无关，一律为非负的；对于这类数，我们只要在这个数的两侧立上两支标杆“｜｜”就可以达到目的，即正数的两侧加上竖“｜｜”（绝对值）就是它本身，零的两侧加上竖“｜｜”（绝对值）仍是零，负数的两侧加上竖“｜｜”（绝对值）就是它的相反数。通过上述讲述，使学生初步体会到绝对值是怎样产生的，绝对值的产生来源于实践，有着现实背景，同时可以使他们初步理解绝对值的含义，再去学习绝对值就容易掌握了。
④在学生初步掌握绝对值概念后，设置思考题：+4与-4的绝对值等于多少？绝对值等于4的数是什么数？什么数的绝对值相等？通过上述问题的讨论、解决，促使学生完善、加深对绝对值概念的理解，从而得出结论：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点到原点的距离，任何一个有理数的绝对值都是非负数。
通过以上的由具体操作事例（画数轴）到抽象本质属性（绝对值）的过渡，就从直观上揭示了绝对值的非负性，学生对绝对值的代数定义就不难理解了。在此过程中，实现了由形到数、由具体到抽象的转变，既培养了学生的实践能力，又提高了学生的抽象概括能力。
二、暴露数学定理（公式）的发现过程
数学课堂教学要作为一种活动过程来进行，必须自始至终要有学生参与活动的机会，不断满足学生的探索欲望，并及时给学生创设问题情境，提供探索指导，使学生在探索新知的过程中，经历与前人发现这些知识时大体相同的智力活动，真正使学生在长知识的同时又长了智慧。
例如对于《三角形内角和定理》的教学，有不少老师已注意到突出定理结论的发现过程，利用剪拼方法，归纳得出三角形内角和为180°的结论。但是很少注意到暴露定理被发现的过程，而这正是一个重要的思维环节。为此，我设计如下的教学方案：
图1
图2
①如图1，a∥b，它们被c所截得的同旁内角和∠1+∠2=?
②若a与b相交，如图2，∠1+∠2仍然等于180°吗？发生了什么变化？减少了多少？∠3跑到哪里去了？可以得到什么结论呢？
这样的教学设计，暴露了“三角形内角和”与“平行线性质定理”的关系，突出了他们的内在联系。
又如在教《多边形内角和》时，我不是简单地告诉学生内角和的计算公式，而是把形成结论的思维过程贯穿于教学活动中。为此，我设计如下问题：
①从四边形、五边形、六边形、七边形的顶点A作对角线（如图3），可把多边形分成若干个三角形？
图3
②A点与哪几点不能再添辅助线构成三角形？
③分成的三角形的个数与多边形的边数有什么关系？
④n边形（如图4）从某一顶点作对角线可构成几个三角形？内角和怎样求？为什么？
图4
⑤你能得出求多边形内角和公式吗？
学生通过观察、思考、讨论、交流，积极思维，主动获取了知识，同时也提高了探索能力，
三、暴露数学规律的探索过程
课堂教学是师生的双边活动，教师的“教”是为了诱导学生的“学”。在教学过程中，我们应该根据教材的内在联系，利用学生已有的基础知识，引导学生主动参与探索新知识，发现新规律。这对学生加深理解旧知识、掌握新知识、培养学习能力是十分有效的。
如在教等腰三角形性质定理：“等腰三角形两底角相等”时，我进行如下教学设计。
先通过动手实践（剪一个等腰三角形纸片并对折）发现两底角相等，然后进行证明思路的探索：
①证明两角相等，有哪些方法？这个问题可启发学生积极思考，调动学生原有认知结构中关于证明两角相等的知识和方法，起到“搜索”和“整理”的作用。
②这些证明两角相等的方法能证明等腰三角形两底角相等吗？学生经过尝试，发现几种方法都不能直接应用，从而想到要改造图形——作辅助线。
③如何作辅助线？联系前面的动手实践，发现对折把等腰三角形分成两个全等三角形。同时也发现这条折痕是等腰三角形顶角的平分线，因而作顶角的平分线也可达到目的。
④还有其他作辅助线的方法吗？经过讨论、尝试，学生们发现作底边上的高线也能解决问题，但作底边上的中线却难以直接证得结论。从而感悟到添恰当辅助线的重要性及作辅助线的常规方法。
四、暴露证明思路的推导过程
数学是一门逻辑性很强的学科，首先反映在系统严密、前后连贯上，每个知识都不是孤立的，它既是旧知识的发展，又是新知识的基础。遵循中学生的认知规律，引导学生运用已有知识去推导新的结论，才能发展学生的学习能力。
例如：已知正十边形的外接圆半径R，求证
在教学中，我把问题设计成一系列开放性的序列问题，让学生思考。
图5
最后引导学生完成证明。
这样做既符合学生的认识发展规律，也说明了如何使思维过程暴露地更全面、更彻底，从中使学生探索了解决问题的方法，促使学生的能力得到发展。
五、暴露数学方法的思考过程
数学思想方法是数学的精髓，是数学素养的重要构成之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力。因此，教学中，要有意识地让学生领会到其中体现和渗透的数学思想方法。如已知过△ABC的顶点C任作一直线，与边AB及中线AD分别交于点F和E。求证AE∶ED=2AF∶FB。
证明线段的比例式或等积式是平面几何的重要内容，也是教学的难点。此题结论的特点是有一项的系数不为1，这就更增加了证明的难度。如何处理式中不为1的系数，这是证题的关键。为此应先引导学生对结论进行变形，把原结论AE∶ED=2AF∶FB转化为：①
；②AE∶2ED=AF∶FB；③
。我没有直接给出解题方法，而是让学生展开讨论，寻找添辅助线的方法。学生陆续找到了添辅助线证明这道题的方法。
图6
图7
思路3 如图8，过点9作BM∥AD交CF的延长线于M，因D是BC的中点，故BM=2DE。由平行线分线段成比例定理的推论，得AE∶MB=AF∶BF，即AE∶2DE=AF∶FB。
图8
图9
思路4 如图9，延长AD至K，使DK=DE，即KE=2DE，连接BK，因DB=DC，故△BDK≌△CDE，从而有FC∥BK。由平行线分线段成比例定理的推论，得AF∶FB=AE∶EK，即AE∶2ED=AF∶FB。
接着在引导学生对每一种方法进行观察、分析、比较，看哪种方法较为简便且具有普遍性？这几种证明思路有什么共同特点？学生通过思考，认为这几种辅助线都利用了“AD是中线”的条件，过点D作平行线或AD的平行线，有利于构造含中位线的三角形，由三角形中位线定理找出线段的倍（分）关系，并能够根据平行线分线段成比例定理的推论使问题得证。
在数学教学过程中，通过暴露数学思维过程，引导学生大胆的猜想、有效的探索，克服思维定势，激活创新潜能，找到解决问题的最佳方案，使学生不仅学到新知识，而且更重要的是培养他们的实践能力和探索、创新精神，并逐渐掌握学习新知识的方法。