用层次结构原则指导复习，本文主要内容关键词为：层次论文,原则论文,结构论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我们农村高中学生“双基”薄弱，到了高三，由于学过的数学知识多而复杂，知识间的联系模糊不清，解题不能得心应手，经常出错.我尝试用“层次结构原则”来指导和帮助学生构建一个完整有序的知识网络系统，提高解题能力.
系统论中的“层次结构原则”强调从系统的层次结构来考虑对象，并依次解决问题.
一、研究概念的层次性，加强对概念的理解
概念的层次性包括等级性和多侧面性两重含义.在高中数学中，数、式、运算、方程、不等式、函数、距离以及几何图形等概念都具有明显的等级性和侧面性.针对“学生的认知是逐步深入，由低级向高级发展的规律”，教材对概念的阐述不是一次展开，而是螺旋式上升的，跨章节的.因此总复习阶段，只有深入研究教材，总揽全局，才能把握概念的层次性，才能指导学生理清概念，强化概念的内涵与外延，丰富知识网络.
比如，绝对值的概念，先从数轴上直观地指出数轴上表示一个数的点到原点的距离就是这个数的绝对值；接着规定了代数定义：正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数；随后给出了计算公式
学了根式后，绝对值有了一个等价表示：｜x｜=
（即一个数的绝对值就是这个数二次幂的算术平方根）；接触了解析几何之后，绝对值可以看成距离公式的特例｜x｜=
在函数学习中发现计算公式其实是一个分段函数，且通过绝对值函数的图像的研究知道可以把取绝对值与图形的对称变换联系起来；到复数这一章，实数的绝对值推广成了复数的模，｜z｜就是平面坐标系内表示复数的点到原点O的距离，即向量
的长，而｜Z[，1]-Z[，2]｜是两点间的距离.如果按照这样的顺序和学生一起回忆，能与学生原有的认知产生共鸣，让学生感到既熟悉又新鲜，既丰富了绝对值概念的外延，又促进了对内涵的理解，学生对绝对值的认知会更加深刻.对几何法、分点法、平方法更易理解和自觉地使用，而且一个绝对值概念清楚了，与其有关的算术根、复数、模、两点距离公式的概念同时也被得以强化.更重要的是学生可以自觉类比去复习小结其它概念.比如他们为实数集找到了许多“外衣”：
有不等式解集｛x｜x[2]+2x+2＞0｝；函数的定义域｛x｜y=a[x]，a＞0｝，值域｛y｜y=log[，a]x，x＞0，a＞0，且a≠1｝，｛y｜y=tanx，x≠kπ+（π/2），k∈Z｝；复数集的子集｛z｜z=a+bi，b=0，a∈R｝，｛z｜z=z，z∈C｝，｛z｜z[2]=｜z｜[2]，z∈C｝，大大丰富了实数集的概念.可见在概念复习中注意引导学生体会概念的等级性、多侧面性有利于理解概念的实质，使学生的知识网络系统日趋成熟.相反地，如果仅平面地回忆一下绝对值的计算公式，不加强横向联系，复习的点少了、面窄了，网络构建的机会也就失去了.
二、研究命题的层次性，拓宽知识层面
数学命题之间也有一定的层次结构.众所周知几何原本就是由公理、定理、推论逐步建立的逻辑体系.我们稍加留意便可以发现几何、三角、代数中有很多命题系列，除了公理、定理、推论一条龙外，与一个课本习题、例题有关的命题往往有一大批，它们相互联系、互相制约，形成具有一定层次结构的命题体系.如果有意和学生一起研究总结，可以获得有用的解题信息，再配上适当的题组帮助学生巩固获得的信息就能提高复习效率.如《立体几何》第106页由例1可得到具有一定层次性的结论：
（1）若三棱锥A-BCD的侧棱AD⊥底面BCD，侧面ABC与底面BCD所成角为θ，则cosθ=S[，ΔBCD]/S[，ΔABC]；
（2）若锥体的各侧面和底面所成的二面角都为θ，则cosθ=S[，低]/S[，侧]；
（3）若台体的各侧面和底面所成角都为θ，则cosθ=S[，下]-S[，上]/S[，侧]；
（4）设平面α内的一个封闭几何图形面积为S，此几何图形在平面β上的射影面积为S[，1]，二面角α—l—β的大小为θ，则cosθ=S[，1]/S.
对应题组：（1）正方体AC[，1]中，过顶点B、D、C[，1]作截面，则二面角B—DC[，1]—C的大小是_____.
（2）圆台上下底面面积分别为π、4π，侧面积为6π，则此圆台的体积是（
）.
（3）一间民房的屋顶有如图1所示的三种不同盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四周倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为S[，1]、S[，2]、S[，3]，若屋顶倾斜面与水平平面所成的角都是α，则（
）.
（A）S[，3]＞S[，2]＞S[，1]
（B）S[，3]＞S[，2]=S[，1]
（C）S[，3]=S[，2]＞S[，1]
（D）S[，3]=S[，2]=S[，1].
在数列、三角函数、解析几何等内容中类似的例子还有很多.
三、研究问题和解决问题的层次性，提高解题能力
数学问题内容丰富多彩，由简单到复杂，由特殊到一般，由封闭到开放形成一定层次结构.
1.利用层次性题组提高学生的基本解题能力
近年来数学高考试题均按层次全方位地对学生基础知识、基本技能以及创新思维能力进行检测，要求学生在掌握典型问题、典型解法的基础上灵活求变，快速准确地解答.因此复习不能一味钻难题，要注意配合有层次的题组进行基础训练.如复习用二次函数求极值时可以给出下列题组：
（1）y=x[2]-2x（（i）x∈[-1，2]，（ii）x∈[2，4]），
（2）y=1/（1-x（2-x）），
（3）y=sin[2]x-2sinx，
（4）y=2sinx-cos[2]x，
通过这样“多题一解”的训练，学生马上抓住了其适用形式的本质特点：二次型.另外可以把高考题中的同一类题由易到难组成题组，如解不等式：
（1）log[，2]（x[2]-x-2）＞log[，2]（x-1），
（2）log[，1/2]（x[2]-x-2）＞log[，1]（x-1）-1，
（3）log[，a]（1-1/x）＞1（a＞0，且a≠1），
让学生体会问题是如何由易到难递进的，做到心中有数，提高解答的准确性.
2.利用一题多解培养学生的思维水平
就一个问题来讲人们对它的认识也有一定的层次性，复习中若能让大家畅所欲言，共同分析、比较、小结，对提高学生认知水平和思维水平是很益处的.
例1 等差数列｛a[，n]｝中，前n项和为S[，n]，若S[，m]=S[，n]（m≠n），求S[，m+n].
一些学生用基本方法，即为
解法1 设公差为d，首项为a[，1]，由S[，m]=S[，n]得
ma[，1]+（m（m-1）d/2）=na[，1]+（n（n-1）d/2），
（m-n）a[，1]=（n（n-1）d/2）-（m（m-1）d/2）
=-（（m-n）（m+n-1）d/2）.
∵m≠n，∴a[，1]=-（（m+n-1）/2）d.
S[，m+n]=（m+n）a[，1]+（（m+n）（m+n-1）d/2）
=-（（m+n）（m+n-1）d/2）+（（m+n）（m+n-1）d/2）
=0.
此法上手容易，但运算较繁.
一位同学说：“用特殊值法，零数列满足题意，因此S[，m+n]=0.”（如果是填空、选择，此法的确是一个灵活的解法）
稍后他们中又有代表画出了示意图：
于是得到
解法2 由S[，m]=S[，n]可知
a[，m+1]+……+a[，n]=0=（（n-m）（a[，m+1]+a[，n]）/2
a[，m+1]+a[，n]=0=a[，1]+a[，m+n]
S[，m+1]=（（n+m）（a[，1]+a[，m+n]）/2）=0.
经过大家讨论综合得
解法3 S[，m+n]=（（m+n）（a[，1]+a[，m+n]）/2）
=（m+n）（a[，m+1]+a[，n]）/2
=（S[，n]-S[，m]/n-m）（m+n）=0.
经老师启发，大家讨论后又得两种解法：
解法4 由S[，m]=S[，n]，得
An[2]+Bn=Am[2]+Bm
A（n[2]-m[2]）+B（n-m）=0
A（n+m）+B=0
A（n+m）[2]+B（n+m）=S[，m+n]=0.
此法运算比解法1简单.
解法5 由S[，n]=An[2]+Bn联想到二次函数，用数形结合法，如图2所示.y=Ax[2]+ Bx，由S[，m]=S[，n]得对称轴为x= m+n/2，点（0，0）与（m+n，0）关于x=m+n/2对称，所以S[，m+n]=0.（解法3是它的代数解释）
通过这种方法，让学生体会对问题的认识越透彻越容易想到解法，而且越容易得到巧思妙解.不过要达到较高的认识水平需要平时多加训练和积累.
3.教会学生用层次结构原理分析解决综合题
综合题涉及知识广、方法多，从题型到内容，条件隐蔽，变化多样，要得到完美的解答不是一蹴而就的，需要通过理解、转化、实施、反思几个思维过程.但每个问题都有它特有的内在结构.高考综合题大都以系列问题的形式出现，已呈现出一定的层次结构，入口易、出口难、考虑区分度，能很好地考察学生的解题能力.复习课上宜选用高考题或优秀模拟题为例指导学生巧妙地找到“掩藏在沙地里的足迹”，并体会“足迹”是如何被掩藏的.
例2 数列｛a[，n]｝中，a[，1]=8，a[，4]=2，且满足a[，n+2]-2a[n+1]+ a[，n]=0（n∈N[+]）.
（1）求数列｛a[，n]｝的通项公式；
（2）设S[，n]=｜a[，1]｜＋｜a[，2]｜+…+｜a[，n]｜，求S[，n]；
（3）设b[，n]=（1/n（12-a[，n]））（n∈N[+]），T[，n]=b[，1]+b[，2]+…+b[，n] （n∈N），是否存在最大的整数m，使得对任意n∈ N均有T[，n]＞m/32成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
分析 （1）求通项，若｛a[，n]｝是等差、等比数列，则问题易解.由已知a[，n+2]-2a[，n+1]+a[，n]=0，稍加变形得 a[，n+2]-a[，n+1]=a[，n+1]-a[，n]，正好是等差数列！a[，n]=10-2n.
（2）想到去绝对值符号，需要先考虑a[，n]是正数还是负数？定下解题步骤：
a[，n]=10-2n≥0得n≤5；自然分段
反思 正因为a[，n]可能为正也可能为负，出此题才有意味！
（3）显然先求T[，n]，但｛b[，n]｝不是等差、等比数列，那么它必有利于求和的结构特点有待挖掘，注意到 b[，n]=1/n（12-10+2n）=1/n（2+2n）=1/2·1/n（n+1）恰好是熟悉的类型！用“裂项相消法”可求得T[，n]=n/2（n+1）.至于“是否存在？”实质上是“存在求解”的变式提问而已，那么由n/2（n+1）＞m/32恒成立怎么求m呢？
分析左边结构，试一下特殊值：1/2·1/2， 1/2·2/3，1/2·3/4，……逐步递增！由（n/2（n+1））-（n-1/2n）= 1/2n（n+1）＞0得知T[，n]=n/2（n+1）递增，T[，1]=1/4，因此，要使n/2（n+1）＞m/32恒成立只要1/4＞m/32即可，从而得m＜8，即m存在最大整数值7.
反思 T[，n]由｛b[，n]｝定义，｛b[，n]｝由｛a[，n]｝定义，｛a[，n]｝由 a[，n+2]-2a[，n+1]+a[，n]=0的形式给出.问题就是一环扣一环组成的，只要抓住这条线，运用化归手段解决是不难的！用层次结构原则解题方向性强，便于打开思路，学生容易掌握.
以上是本人用层次结构原则来指导复习的一些想法及做法，觉得效果不错，是提高学生解题能力和自我复习能力的一个好方法.
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