跳扩散模型中的测度变换与期权定价，本文主要内容关键词为：期权论文,模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：O211.6
引言
风险中性鞅测度(Risk neutral martingale measure)的引进是期权定价理论上一个重要的里程碑。Harrison & Kreps[5]于1979年首先证明了市场无套利等价于存在一个风险性的测度Q，使得市场中任何财富的贴现价格过程(Discounted price process)在Q中都是鞅，而且当市场是完备时，Q是唯一的。我们称这样的Q为风险中性鞅测度。这时期权的定价问题就简化为求其收益函数的贴现在Q中的（条件）数学期望。通常用来贴现的计价单位(Numeraire)是局部无风险的银行帐户(Money account)，其定义为
其中r(s)为短期利率(Short rate of interest)。Jamshidian[8]和Geman等人[4]的工作表明通过选取一些不同于B(t)的资产作为计价单位，同样可以得到具有类似性质的概率测度。具体的，设S(t)为一个无红利支付的资产的价格过程。则也可以用S(t)作为记价单位构筑一个概率测度
；使得市场中任何财富的价格过程相对于S(t)都为鞅。通过这样的测度变换，他们得到了许多关于期权定价的有用的性质。这些工作都是在扩散模型中进行的。本文将他们的理论应用于跳扩散模型中，推广了Merton[9]，Vecer[10]等人的工作，得到了一类随机利率模型中欧式期权的定价公式以及关于交换期权、亚式期权等新型期权定价的一些结果。
一、预备知识
在给定的市场及其滤波空间
中，设短期利率r(t)严格正且为
可测的过程。取定Q为一个风险中性勒测度，即对市场中任意资产的价格过程Φ(t)，其贴现过程Φ(t)/B(t)均为Q-鞅。
定义1 设S(t)为一个无红利支付、严格正的资产价格过程。定义以S(t)作为记价单位的测度
上的Radon-Nikodym导数为：
性质2 设Π(t)为一个随机过程，满足Π(t)/B(t)为Q-鞅，则过程Π(t)/S(t)为鞅。
证明（略）。
推论3 设X为市场中一个T时刻到期的未定权益(Contingent claim)，满足
，则其价格过程
下面我们考虑一种特殊的计价单位：零息债券(Zero coupon bond)。一张到期日为T的零息债券为一张可以保证持有人在T时得到1＄的合约。记其在t(≤T)时的价格为p(t,T)；由定义知p(T,T)=1；在推论3中取X为T时刻到期的零息债券，取S(t)即为B(t)；则有[1]：
我们容易看出以上等式成立当且仅当r(s)为非随机的确定性函数。
注7 在以下我们将要讨论的跳扩散模型中，市场一般都是不完全的，即这时市场中风险中性鞅测度Q的选取是不唯的。关于如何选取一个恰当的鞅测度，可参见[2]，[3]。本文讨论当市场中鞅测度选定以后，如何进行期权的定价。故以下的讨论都是限于鞅测度的条件下，即在所给的风险中性的概率空间中所有资产的价格过程对于B(t)的贴现都为鞅。
二、期权定价
（一）随机利率模型中的欧式期权
在给定的金融市场中，r(t)为短期利率（可能随机），p(t,T)为到期日为T的零息债券的价格过程，S(t)为一个严格正的风险资产的价格过程。在给定的风险中性的概率空间
中，p(t,T)，S(t)分别满足以下随机微分方程：
其中波动率δ(t,T),σ(t)均为确定性函数，
。我们称（λ,m(dy)）为随机测度γ(dy,dt)的局部特征（注：关于随机测试及其局部特征的定义，可参见[7]。）。此外，
考虑一个到期日为T，敲定价格为K的欧式看涨期权C(t,S)。则
先考虑
公式[6]有：
由Girsanov定理[7]知，经过测度变换：
由Doléans-Dade指数公式[6]可得随机微分方程(11)的解为：
对于
公式[6]有
由Girsanov定理[7]知，经过测度变换
由Doléan-Dade指数公式[6]可得随机微分方程(16)的解为：
综合(10),(13)和(17)式，我们就得到了随机利率模型中欧式期权的定价公式：
定理8 在具有随机利率的跳扩散模型(7),(8)中，由(9)定义的欧式看涨期权的定价公式为：
早(19)简化为Merton[9]著名的跳扩攻模型中欧式期权的定价公式。
（二）交换期权(Exchange option)
交换期权为一种合约，它使期权持有人在到期日T时有权但非必须以一种资产换取另一种资产。设这两种资产的价格过程在给定的风险中性的概率空间中分别满足以下随机微分方程：
公式[6]我们容易证明Z(t)满足以下微分方程；
由Girsanov定理[7]知，经过测度变换
（三）亚式期权
亚式期权是一种路径依赖期权，其在到期日T时的收益取决于在整个期权有效期内标的资产所经历的价格的平均值。设在给定的风险中性的概率空间中，标的资产的价格过程S(t)满足以下随机微分方程：
由(29),(35)以及
公式[6]容易验证Z(t)满足以下随机微分方程：
由Girsanov定理[7]知，经过测度变换
如果
公式[6]有：E
注12 至此，通过选取恰当的投资组合以及记价单位，我们将一个路径依赖的亚式期权定价问题(30)转化为一个与路径无关的一维积分－微分方程(41)的求解问题。同样的方法可以推广至其他类型的亚式期权，这即在一定程度上简化了亚式期权的算法设计及定性分析。
注13 若为扩散模型，即S(t)满足的随机微分方程为：
此即Vecer[10]得到的结果。
三、结论
变换记价单位(Change of numeraire)及测度的技巧在扩散模型中应用已由来已久，并被证明是期权定价的一个重要的工具。本文表明这一技术在跳扩散模型也依然有着广泛的应用，通过选取恰当的记价单位及测度，可以极大的简化期权的定价及求解，并解决一些在传统框架中比较复杂的问题（如随机利率问题）。
致谢：作者衷心感谢导师姜礼尚教授的指导与关心！