全称概括规则和受限制的演绎定理——国内数理逻辑教材中的一个问题，本文主要内容关键词为：数理逻辑论文,定理论文,一个问题论文,全称论文,规则论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
事情本来是怎样的？
在国内数理逻辑教材较为常用的一阶逻辑系统中，有两条推理规则。一条是分离规则，另一条可称为全称概括规则。这两条规则，存在着一个实质性的区别。据分离规则，从A和A→B，可以得到B，这里，A 和A→B不要求在系统内可证；据全称概括规则，从A可以得到
xA，这里，A 一般地应当要求在系统中可证。否则，无法保证推理规则的保真性。例如，F（x）不可证，运用全称概括，可得xF（x）。 不难找到一个解释，使 F（x）真而xF（x）假，即规则失去了保真性。但问题在于，在定义推理规则时，是不能用“可证”这个概念的，因为，何为“可证”，只有基于推理规则才能定义。因此，面临的麻烦是：尽管事实上A一般地应当可证，才可运用全称概括，得到 xA，但是我们却不能把全称概括规则定义为：如果A可证（或A是定理，或├A），则可得出xA。因为在所要构造的系统中，何为可证，何为定理，何为├A， 只有基于包括全称概括规则在内的公理和规则才能定义。
对于上述麻烦，解决的方案大致是以下几种：
第一，使用不包括全称概括规则的系统，全称概括规则的功能被包含在相关的公理中。
第二，弱化推理规则的保真性， 确认在推导中可以从非可证公式A，运用全称概括推出xA。但是，通过对演绎定理的限制，使得例如F（x）├xF（x）成立，但├xF（x）→F（x）不成立。这样，推理规则保真性的弱化事实上并未对系统构成任何实质性的破坏。
第三，在定义系统中的推导时，对全称概括规则进行限制，即规定只允许对可证公式运用全称概括。
第三个方案其实是极佳的方案。第一，推导的定义不依赖于证明的定义，事实上，证明的概念都先于推导出现，因此，在定义推导时完全可以使用“可证”这个概念。第二，由于作为证明的公式序列中的每个公式都是可证公式，因此，在证明中只可能对可证公式全称概括；而在推导中又只允许对可证公式全称概括，因此，事实上全称概括规则只适用于可证公式。
国内一些在系统中保留全称概括规则的数理逻辑专著（教材），采取的是第二个方案。但是，其中出现了问题。
问题是怎么产生的？
我认为，问题最早产生于王宪均先生的《数理逻辑引论》一书。
我注意到，与我所见到的所有国外专著不同，国内不少专著在定义逻辑形式系统的公理时，在公理前加上了“├”；在表述分离规则时，也使用了“├”。这种做法起源于王宪均先生。他在1981年出版的《数理逻辑引论》一书中，在对系统公理作初始陈述时，在公理的左端加上了“├”，并把分离规则表述为“从├A和├A→B，可以得到├B”。（注：王宪均：《数理逻辑引论》，第38、39、144、151、42页。）《数理逻辑引论》参照的是希尔伯特和阿克曼合著的《数理逻辑基础》，《数理逻辑引论》中的系统就是《数理逻辑基础》中的系统。但在《数理逻辑基础》中，公理的初始表述和分离规则中并没有出现“├”。（注：参见希尔伯特、阿克曼著，莫绍揆译：《数理逻辑基础》第68、70页。）王宪均先生不知出于何种考虑，最大的可能是疏忽，作出了此种添加。
这种添加是不正确的。
第一，王宪均先生对他在对公理作初始表述时使用的符号“├”的含义作了明确的说明：“在陈述中，每个公理前面都有├符号。├是断定符。它表示，它后面的公式是本系统内所要断定的，换言之，是本系统中的可证公式或定理”。（注：王宪均：《数理逻辑引论》，第38、39、144、151、42页。）正如本文开头已经指出的，在所要构造的系统中，何为证明，何为可证公式，何为定理，何为“├”，必须基于公理和推导规则才能定义，因此，不能在对公理作初始表述和定义推导规则时，就使用“├”。我所见到的国外专著中没有出现过这种情况；国内的许多专著（例如宋文淦的《符号逻辑基础》和刘壮虎的《逻辑演算》等）也没有出现过这种情况。这说明作者们注意到了这一点。
第二，如果把分离规则表述为“从├A和├A→B，可以得到├B”，这意味着只允许对可证公式运用分离规则。这样，系统中区别于“证明”的“推导”（《数理逻辑引论》中称为“有前提的推演”）这一极其重要的概念，根本无法得到定义。推导区别于证明之处，就在于可以对非可证公式运用推理规则，包括分离规则。《数理逻辑引论》在定义“有前提的推演”时，不可避免地陷入了混乱。参阅该书175页。 这里不赘。
让我们再重复一下本文开头提到的定义全称概括规则时所面临的“麻烦”：为了确保推理规则的保真性，A一般地应当可证， 才可运用全称概括，得到A，但是我们却不能把全称概括规则定义为：如果A可证（或A是定理，或├A），则可得出xA。因为在所要构造的系统中，何为可证，何为定理，何为├A， 只有基于包括全称概括规则在内的公理和规则才能定义。
王宪均先生对希尔伯特、阿克曼的系统所作的上述不正确的添加，说明他并没有注意到这种麻烦。王先生的系统中不包括全称概括规则。如果王先生所作的上述不正确添加，出现在包括全称概括规则的系统中，问题将成为真正的麻烦。
张尚水先生所著的《数理逻辑导引》中，就出现了这样的问题。
问题成为怎样的？
张尚水先生所著《数理逻辑导引》的一阶逻辑系统中，包括全称概括。其中：
第一，被定义的公理左端都有“├”符。
第二，分离规则定义为：从├A和├A→B，可以得到├B。
第三，全称概括规则定义为：从├A可以得到├xA。 张先生对这一规则作了解释：如果证明了A（x）成立，那么，就可以得出，对所有x，A（x）成立。
第四，陈述并证明了受限制的演绎定理。（注：参见张尚水著《数理逻辑导引》，第260、261页、第268～270页。）。
上面第一和第二两点中存在的问题，已如上述。
我认为，和王宪均先生一样，张尚水先生把分离规则定义为“从├A和├A→B，可以得到├B”，是一种偶然的疏忽，甚至是一个笔误，因为他们事实上不可能认为只有对可证公式才可运用分离规则。但是，张先生把全称概括规则定义为“从├A可以得到├xA”， 这不是一个笔误。因为张先生确实认为，只有对可证公式运用全称概括。这说明，第一，张先生注意到了：只有对可证公式运用全称概括，才能确保推导规则的保真性；但是，第二，张先生没有注意到：在定义推导规则时，没有“权利”使用“可证”这个概念或“├”这个符号，因此，全称概括规则本身陈述的内容仅仅是也只能是：从 A可以得到xA。这条规则无法说明，A必须是可证公式，因而实际上不得不确认， 对任意公式A，都可得到xA。这就产生了本文开头提到的“麻烦”， 以及为解决这个麻烦而产生的各种方案，其中，包括对谓词逻辑中的演绎定理进行限制。所有这些，张先生显然都没有意识到。
这样，更成为问题的是，一方面，张先生在定义全称概括规则时确认只有对可证公式才可全称概括；另一方面，他又在同一个系统中陈述并证明了受限制的演绎定理。我们知道，演绎定理并不必在任何一阶逻辑系统中都要受限制，而只须在包括全称概括规则的系统中受限制。而这种限制之所以必要，就在于，例如，全称概括规则允许从不可证公式F（x）得到xF（x），即允许F（x）├F（x）， 如果对演绎定理不加限制，就会得到├F（x）→xF（x）， 即会得到一个可假公式作为定理。演绎定理受限制后，能确保从 F（x）├xF（x）不能得出├xF（x）→F（x）。
因此，这里出现了一个大的自相矛盾：
第一，在定义全称概括规则时，张先生明确指出，从├A， 可以得到├xA，这里A必须是可证公式。张先生还举出实例来说明这一点。
第二，在叙述和证明受限制的演绎定理时，张先生却又明确指出，对于任一公式A，运用全称概括，都可得到xA，即A├xA。张先生同样举出以下的实例来说明对演绎定理限制的必要：F（x）是可假的非可证公式，但运用全概括规则，可得到xF（x），即 F（x）├xF（x）成立，如果对演绎定理不加限制，就会得到├F（x）→xF（x）， 即会得到一个可假公式作为定理。
上述的第一个表述出现在《导引》的第261页； 上述的第二个表述出现在第268页。也就是说，作者在相隔不到7页的地方，作出了两个如此明显的并且事关重要的自相矛盾的断定。这显然又不是出于疏忽，因为作者在陈述这两个断定的时候，都引人注目地专门举了实例。这确是令人费解的。
顺便指出，同样的问题也存在于周礼全先生所著的《模态逻辑引论》中。第一，周先生同样错误地把全称概括规则表述为：由定理A 直接推导出xA。但是，周先生又在定义推导时对全称概括规则进行了限制，即类似地采用了本文开头提到的解决“麻烦”的第三个方案。这里出现了同样的矛盾。如果全称概括如周先生定义的那样，只对定理运用的话，在定义推导时对全称概括规则所作的限制完全是多余的。第二，周先生在模态系统中把必然概括规则错误地表述为：由定理 A直接推导出LA，但同时又表述和证明了演绎定理（在该书中称为推导定理）在设定的条件下在模态系统S4中成立，但在其它模态系统 T中不成立。事实上，如果只对定理才能必然概括的话，演绎定理在T和S4 及其它相关模态系统中都无条件成立。（注：参见周礼全著《模态逻辑引论》，第67、121页。）
中国的逻辑学者和国外的同行特别是其中的大家相比，在著书立说时具有一种极大的便利，就是可以舶来足够现成的成果，只要你懂点外语，又懂点逻辑。这带有必然性，因为数理逻辑本来就是舶来品。但是，这往往又是一种危险。设想，如果受限制的演绎定理是中国学者自己的研究成果，上面的问题是不大会出现的。
以上见解，如有错误，请指正。