初中概率题为什么颇有争议——兼谈可能性和概率教学，本文主要内容关键词为：概率论文,颇有论文,可能性论文,初中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
初中的概率是建立在等可能性基础上的古典概率，又是统计学中概率的理想结果。由于概率知识涉及公平性，抛掷结果的偶然性及概率问题的不确定性等因素，较易受错误直觉的误导。虽然教材通过大量重复的实验，先获得频率稳定值，再概括概率定义，让学生经历实验、观察、猜想、验证活动，获得古典概率的计算方法。但学生在处理概率问题的计算时还是容易出错。概率问题为什么颇有争议，笔者结合自己在课堂内外或听课时，遇到对概率问题发生的争议，经历对有争议的概率问题的解决过程，谈些感受。
1 机械套用树状图
案例1 问题1：同时抛掷两枚相同硬币一次，朝上的一面有多少种可能？
这是一次带徒活动中的一个学员在一堂诊断课临近下课时的一道补充题，课题为浙教版七下第3章《事件的可能性》的第1课时《认识事件的可能性》，教师让学生思考后叫学生回答。
师生对话：
教师：做好的同学请举手。（学生纷纷举手示意，并争相发言）
学生A：3种，分别是：正、正，正、反，反、反。
学生B：4种，分别是：正、正，正、反，反、正，反、反。
教师：同意学生A观点的同学请举手（学生举手，数了一下有十几个），同意学生B观点的学生请举手。（学生举手，数了接近二十个，还有几个学生两次都没举手）
老师：到底是3种还是4种，我们可以借助树状图（教师画树状图，并根据树状图得出4种可能）。同意这种观点学生再单一下手。（又观察一下，有二十几个，比第一次多了几个，但还是有将近一半的学生没有举手，这时教师叫其中没举手且位置靠后的一名男生发言）
学生C：我觉得一正一反和一反一正还是算一种。
这时下课的铃声响了，同时又一个男生站了起来。
学生D：如果给两枚硬币做不同的记号，一正一反就有两种情况。
学生C：（口气不甘示弱）那还不是一正一反吗？（有部分学生发出笑声，并开始骚动）
教师：（有点慌乱）根据树状图应该是4种，由于时间关系，我们讨论到此为止，下课。
下课后，发现学生们还在争论……
课后，笔者在反思为什么会出现两种不同的意见呢？
师生争议的疑点：
疑点1：“有多少种可能”与“有多少种等可能结果”意义是否相同？
疑点2：设两枚硬币分别为A、B，“A正B反，A反B正”与“一正一反”意义是否相同？
疑点3：同时抛两枚硬币能利用树状图分析么？列表呢？
疑点4：“两枚硬币同时抛”与“两枚一先一后抛”结果一样么？
疑点5：“两枚硬币同时抛”与“一枚硬币先后抛两次”一样么？
疑点破解：
对疑点1，结论显然不一样。教师给出问题1的答案是4种，他把结果理解为有多少种等可能结果，而学生理解成3种情况。为了避免歧义，笔者认为最好把问题改为有多少种等可能结果。
对疑点2，意义也是不同，前者是排列，后者是组合。
对疑点3，解决方法不能机械套用树状图。我们可以这样理解，实际生活中的树木生长它是有先后，因此，树状图它适用于事件发生有先后顺序的一类问题，但列表就没有这种限制。通过列表，得知同时抛掷两枚相同硬币一次，朝上的一面有4种可能结果。
对疑点4，结果应该一样。尽管两枚硬币同时抛，实际上不可能绝对同时，总有先后。如果按照这种理解，对疑点5结论一样就显然了，这样树状图也能分析问题1。
综上所述，教师在课前预设时应该弄清上述问题，本人认为就本题的答案3种或4种均有道理。在学生理解有困难的情况下，为了避免歧义，教师最好把问题改为有几种等可能结果，并且最好用列表求解，机械套用树状图不妥当。因此，我们编题时一定要注意问题的严谨性与科学性，讲题时既要注意数学法则、定理的适用性，同时更要考虑学生的可接受性。有时，树状图不是“万能”的。
2 枚举法容易出错
案例2 问题2：口袋中有4个小球，其中2个红球，2个黄球，它们的大小、形状完全一样，从袋中一次摸两个球，求：有几种等可能的结果及摸到两球恰为同色的概率。
这是笔者在上浙教七下第3章《事件的可能性》的第3课时《可能性和概率》时举的其中一个例题。先让学生独立思考，教师在教室里来回巡视，等多数学生完成得差不多时，发现下列五种不同答案，分别叫五个学生上来板演。不妨分别记为：
教师：大家同意吗？
学生（齐答）：同意。
教师：还有谁想发表意见？
学生B：我觉得观点4好像不对，应该有6种。
教师：那么观点1、2是错的了。
学生C：不可能。
学生D：树状图没错。
（教室一下安静下来，过了一会，又有学生回答）
学生E：观点2错了，他的答案实际同观点3是一样的。
教师：学生E观察比较仔细，观点2与观点3实际上犯了同样的错误。那么观点1与观点5谁对谁错，或者都错呢？支持观点1的请举手，支持观点5的再请举手（将近各一半）。
双方争议的焦点
(1)一次摸两个球没有先后能不能用树状图？
(2)摸到
到底算一种还是两种？
看到同学们争论得如此激烈，出乎教师的意料。这时教师适时介入：
教师：老师再问几个问题：如果我今天下午叫小明和小亮留下来做值日与今天下午叫小亮和小明留下做值日一样吗？
学生：一样。
教师：很好。我们在一次摸两个球的时候手指触摸到的两个球有先后，这种情况可能发生吗？
学生：可能。
教师：这时能用树状图分析吗？
学生（想了想）：可以。
教师：那么观点1有错吗？
学生：没错。
教师：那问题出在那里？
学生：老师，我知道，观点1出现了重复计数，答案应该是6种，观点5正确。
教师：第一个问题解决了，第二个问题就不难了。其实一次摸两个球，它等价于先摸一球，不放回再摸一球。观点2和3它等价于先摸一球放回再摸一球，那当然错了。今后解决此类问题，我们可以用树状图，也可以列表，但最后要避免重复计数。用枚举法要小心，它容易出错，比如观点4。
3 是直觉欺骗了我们
案例3 问题3：有三个抽屉A、B、C，A抽屉放有1个红球1个蓝球，B抽屉放有2个红球1个蓝球，C抽屉放有2个蓝球（其中三个抽屉中小球的形状、大小分别一样），在一个抽屉里摸一个球，求摸到的是红球的概率。
这是在问题2这节课留下的一个思考题，中午有不少学生纷纷到教师的办公室来跟老师说他们的答案。
师生对话：
学生A（代表绝大多数同学）：摸到一个球只有7种可能的结果，其中摸到红球有3种可能，所以摸到一个球为红球的概率为
学生B（代表极个别同学）：不是，应该是
。
教师：为什么呢？
学生B：我也说不好。
学生A（带有不屑的语气）：说都说不清楚，还说答案是
。
学生B：老师我是这样想的：摸到A抽屉的概率是
，在A抽屉摸到红球的概率又是
，因此在A抽屉摸到红球的概率是
，同样可求在B抽屉摸到红球的概率是
，再把它们相加。
学生A：这又是为什么呢？
同学们都用期盼的目光看着老师（我认为出题初衷已初步达到），就开始引导学生。
教师：大家来看，在A抽屉摸到一个红球的概率是多少？
学生（齐答）：。
教师：再看，在B抽屉摸到一个红球的概率是多少？
学生（齐答）：。
教师：那么，在A抽屉和B抽屉摸到一个红球的可能性一样吗？
学生（顿时反应过来）：不一样。老师，我们明白了，它不是等可能事件，我们错了。但我们不明白同学B解题意义，你快说么。
教师：三个抽屉中都变为几个球时，摸到一个球的可能性就一样了？同时又要使在每个抽屉中摸到一个红球和蓝球的概率分别不变？
学生们讨论后得出的结果：
A抽屉变为3个红球3个蓝球，B抽屉变为4个红球2个蓝球，C抽屉变为6蓝球，这样摸一个球共有18种等可能的结果，其中摸到红球的有7种可能结果，所以摸到一个红球的概率为。
接下去，教师又充分肯定了学生B的解题方法，并给他们介绍了加法原理和乘法原理，这时有个学生感慨地说：“老师：是直觉欺骗了我们。”
4 争议给我们带来了共识与启示
4.1 达成一种共识
通过以上案例，我们在可能性和概率教学时，要让学生达成一种共识：首先要判断事件各种结果是否为等可能。符合古典概率模型的生活实际必须具备两条特征：(1)试验结果的有限性；(2)每一个结果出现的等可能性。虽然“等可能性”是一种假设，是一种理想状态，但在实际应用中，需要根据实际情况去判断是否可以认为基本事件是等可能的；其次根据题意，选择合适分析方法。具体如下：
通常我们采用列举法，一旦选择一种方法完成解题后，可以用其他方法验证，这样更有利我们理解问题、积累学习经验。
4.2 得到一些启示
通过这三个案例，笔者认为：
(1)教学要民主。教师要有师生平等的意识。课堂内外要留给学生一定的思考时间和空间，鼓励学生大胆地表达自己的观点，耐心倾听学生的想法，提倡争论和质疑，在师生思维火花的碰撞中解疑析惑。
(2)教师要善于讲题。会讲题不等同于普通的解题，教师不但告知学生怎样解题，还要告诉学生为什么这样解，善于从不同的角度解释同一个问题，讲清问题的本质。
(3)教师要有整体把握教材的本领。教师在课前预设时，既要研读教材，又会整合教材，这样才能超越教材。要站在系统的高度，高屋建瓴，见树木，又见森林。只有这样，才能在课堂中做到浅入深出，深入浅出。
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