邰日昶[1]2007年在《多项式微分方程的等价性》文中认为我们知道,对于一些不可积微分系统,寻找它的Poincaré映射是非常困难的.上个世纪八十年代,俄罗斯数学家Mironenko建立了反射函数理论,为寻找微分系统的Poincaré映射提供了一个全新的方法。本文应用Mironenko的反射函数方法来研究了微分方程与其扰动方程之间的等价关系,考虑了微分方程是多项式微分方程的情形,其中多项式的系数函数都是连续可微的.若连续可微函数F(t,x)是多项式微分方程的反射函数,当且仅当F(t,x)满足反射函数的基本关系式.当我们用反射函数F(t,x)来研究多项式微分方程时,如果多项式的系数函数都是2ω-周期函数,那么多项式微分方程的Poincaré映射可以定义为T(x)=F(-ω, x).从而多项式微分方程在[-ω,ω]上有意义的解φ(t;-ω,x)为2ω-周期,当且仅当x为映射T的不动点,即F(-ω, x)=x.如果多项式微分方程与其扰动方程具有相同的反射函数,则我们称它们是等价的.由等价性,若某些微分方程属于同一等价类,且它们又是周期微分方程,则它们的Poincaré映射就相同,从而它们的周期解的性态也相同.在本文中我们着重研究了多项式微分方程与其扰动方程之间的等价关系,特别的,当扰动项是多项式和有理分式函数时,它们之间等价的充要条件,推广了文献[28][29]中关于Riccati方程和Able方程研究的相关结论.进一步我们研究了,当扰动项是多项式函数的线性组合和有理分式函数的线性组合时,它们之间等价的充要条件.由该讨论我们看出,一个多项式微分方程不仅可以与多项式微分方程等价,同时还有可能与非多项式微分方程等价,也就是说,当它们都是周期方程时,其Poincaré映射相同,从而它们的周期解的性态也相同.另一方面,利用等价性,我们可以将复杂微分方程的研究转化为简单微分方程的研究.在一般情况下,研究一个多项式微分方程的扰动方程要比研究多项式微分方程本身更困难.如果我们研究了多项式微分方程的反射函数,由反射函数的性质,我们就知道了多项式微分方程解的性态.利用等价性,我们可以将复杂微分方程的研究转化为简单微分方程的反射函数的研究,从而进一步就知道了复杂的扰动微分方程解的性态.因此研究一个微分方程的反射函数,就可以知道与其等价的一类所有微分方程的解的性态.对于一个常系数的二次多项式微分系统,可以通过变换化成一个Able方程,一个线性微分方程组可化成一个Riccati方程,那么研究一个多项式微分方程解的性态,就为进一步研究微分系统解的性态提供了帮助.
蒋娟[2]2016年在《全空间上椭圆方程（系统）在临界条件下解的存在性及解的性态》文中提出变分法是非线性泛函分析中重要的基本方法之一.它的基本思想是把微分方程解的问题归结为相应泛函的临界点问题.本文利用变分法研究了几类非线性椭圆方程(系统)在临界情形下的解的存在性和解的性态.这几类方程(系统)在物理和力学中都有非常有意义的实际应用背景,因此,它们一直都是数学工作者关注的热点.本文在适当的假设条件下证明了全空间上临界情形下这几类椭圆方程(系统)解或多解的存在性,并且分析了解的衰减、渐近等性态,改进和推广了一些已有的结果.本文内容共分为五章.第一章绪论部分对变分法进行了简单的概括,同时介绍了变分法中一些基本的结果、几类椭圆方程的背景、研究现状以及本文的主要工作.本文从第二章到第五章分别对全空间上的四类椭圆方程(系统)进行了研究,以往工作对相应问题多是对单个方程或者是非线性次临界问题进行讨论.而本文所讨论的问题均为全空间上临界情形下,因此所取得成果改进和完善了目前已有结果.第二章研究全空间上扰动椭圆系统解的存在性.在已有的参考文献中,很多研究单个扰动薛定谔方程,得到了最小能量解,或者是在有界域上针对椭圆系统给出了次临界情形下给出了问题解的存在性.而本文第二章是在上述文献的基础上,研究得到了全空间上两类扰动椭圆系统正解的存在性.推广和改进了已有的工作.第三章利用山路定理主要研究临界情形下带有磁势及一般非线性项的薛定谔系统,得到了该系统在全空间上解的存在性.以往的工作多为研究单个方程在次临界情形下带有特殊非线性项解的存在性及其相应的性态,本文的结果对以往的工作是一个改进和推广.从而进一步丰富了以往结果.第四章运用扩展的Clark定理研究了非线性薛定谔泊松方程,得到了无穷多解的存在性以及解衰减的性态.已有文献中,多讨论次临界情形下解的存在性,而且对于解的衰减这一性态没有研究,本文不仅给出了系统无穷多解的存在性还给出了解的衰减这一重要性态.第五章研究在全空间上带有临界增长非线性项的Kirchhoff型问题解的存在性,得到了非平凡解的存在性同时给出了解的渐近性态.文中证明了能量泛函满足局部紧性条件即(PS)c条件.与已有的工作相比较,许多文献研究的问题多为次临界情形或者是有界区域上的情形.
李平润[3]2016年在《卷积型奇异积分方程与边值理论》文中研究说明卷积型奇异各积分方程与边值理论在许多实际问题,如物理学、弹性力学、工程力学、空气动力学、电子光学、工程技术等领域具有广泛的应用。近年来,该领域的研究已经深入到难度极大的高维、变系数、超奇异等情形。针对这些热点问题,本文进行了系统而深刻地研究。本文的主要内容和创新点如下：(1)对于一类对偶型卷积型奇异积分方程得到了具有指数增长或哀减的解。这样的解由于其在无穷远处的指数的增长或衰减性,在物理学、辐射平衡理论中具有重要意义。该类方程的求解方法是新颖的,它是通过积分变换转化为化为带形域上具有复合边界的Riemann边值问题。(2)对于含有调和奇异算子的离散卷积型方程建立了方程解的存在性。与经典的离散卷积型方程不同,该方程的核函数的Fourier变换在单位圆周上有问断点。(3)全纯函数边值问题已有的结果大多局限于一个未知函数情形,该文研究了多个未知函数的Riemann边值问题。其方法与经典情形不同,采用了解析开拓原理。(4)变系数奇异积分方程的研究,由于其方法很少,结果口前尚不多见。本文利用局部性理论研究与全纯函数边值相关的变系数的卷积型奇异积分方程的可解性。
孙雯雯[4]2018年在《记忆依赖型偏微分方程建模及其数值研究》文中提出自二十世纪中叶以后,分数阶导数在机械、图像处理、力学等领域迅速发展.但其核函数固定,不能根据实际自由选择,而且量值会随时间的增长而增大,从而导致刻画失效,这是其固有缺陷,从而发展了记忆依赖型导数,现已应用于粘弹性等领域.相比于分数阶导数,后者的定义形式更能刻画记忆效应,核函数也可以根据实际情况进行选择,由其构成的微分方程也更具表现力.本文利用记忆依赖型导数进行建模并展开数值研究.本文结合经典的弦振动方程和热传导方程,将其中的关于时间的变化率替换为二阶的记忆依赖型导数,建立记忆依赖型偏微分方程.随后研究关于此方程构成的初-边值问题的解的性态,并讨论核函数、扩散系数和时滞等因素对解的性态的影响.最后讨论了新问题与经典弦振动方程、热传导方程及分数阶偏微分方程的解的异同.结果显示:本文提出的新问题的解既有衰减性,又有波动性.解的性态受到核函数、扩散系数和时滞的影响,振幅随扩散系数和时滞的增加而降低.不同核函数下解的性态也有所不同.新问题解的性态介于经典弦振动方程和热传导方程之间,振幅衰减速度慢于热传导方程,振幅远大于后两者的振幅.与分数阶偏微分方程数值解相比,其解的衰减速度更缓慢且波动性更明显.之后基于热传输过程中温度是缓慢升高的现象,对热传输的物理过程进行重新建模,建立了记忆依赖型热传导模型,并研究其解的性态.结果表明:新模型的初-边值问题的解与经典热传导方程的类似,但其传播速度比后者缓慢.另外,前者的传播速度还受时滞和核函数的影响.本文所研究的记忆依赖型导数是一种新型的导数,摆脱了原有分数阶导数的缺陷,在计算中也更加便捷,在应用上有巨大的潜力.本文所采用的建模方法也适用于其他的物理过程,可以作为将记忆依赖型导数引入偏微分方程的一种途径.
张毅[5]1996年在《一类非线性积分微分方程解的性态》文中指出本文研究了一类非线性积分微分方程解的稳定性问题，通过对方程解估计式的研究，得到一些保证所论方程解的稳定性和有界性的充分性条件．
徐志庭[6]2000年在《微分方程解的性态》文中认为微分方程解的性态的研究,历来都是微分方程领域中的重要研究课题之一:一方面,它有着广泛的实际背景,另一方面,有其重要的理论价值。本文研究泛函微分方程与偏微分方程解的性态。我们将建立无界滞量中立型泛函微分方程(p-NFDE)解的一致稳定,一致渐近稳定,一致有界,一致最终有界,以及二阶非线性椭圆型偏微分方程解的渐近性与振动性的理论。这些工作是对相关的基本理论的改进和发展。 全文共分四章。 第一章,概述。主要回顾有界滞量滞后型泛函微分方程(RFDE)和中立型泛函微分方程(NFDE)解的稳定性与有界性,以及二阶常微分方程与二阶非线性椭圆型微分方程解的渐近性与振动性的研究进展,列出经典性的基本定理,着重介绍本文主要工作并与之对比,从而说明本文研究工作对现有理论的贡献。 第二章研究无界滞量中立型泛函微分方程(p-NFDE)解的稳定性问题。首先介绍泛函微分方程新类——无界滞量泛函微分方程(p-NFDE),它是区别于用传统方法分类的有界滞量泛函微分方程,无界滞量(无穷延滞)泛函微分方程,以实例说明p-NFDE是一种十分广泛的泛函微分方程。针对中立型方程的特点,提出一种新的“D算子稳定性”的定义,突破了习惯上以不等式形式给出的“D算子稳定”的定义,它不仅适用于D线性算子,而且适用于非线性D算子,因而更具实用性。利用Liapunov-Razumikhin泛函法建立了p-NFDE解的稳定的理论。通过采用两个Liapunov泛函和辅助函数H(x)方法,在一些弱于基本定理中的(?)定负条件下,给出了三个关于p-NFDE零解一致稳定(U.S)和一致渐近稳定(U.A.S)的充分判据,这些定理均不需要“方程右端泛函f(t,φ),当φ有界时,f(t,φ)有界”的限制,改进和推广了RFDE的基本定理到p-NFDE,用实例说明本文结果的有效性。 第三章研究p-NFDE解的有界性问题。中立型泛函微分方程有界性的研究工作,现有文献尚不多见,本章将弥补这一不足。首先给出一个广泛意义下的“D算子有界”定义,利用Liapunov泛函,结合凸函数和Jensen不等式技巧,得到了保证p-NFDE解一致有界(U.B)和一致最终有界(U.U.B)相当广泛有效的四个充分条件,全面改进和推广了RFDE有界性结果,
王淑清[7]2004年在《非线性微分方程解的性态》文中研究表明本文给出了一类二阶段非线性微分方程解的性态的新结果,推广了[1]的一个结论。
郁心怡[8]2017年在《几类一阶微分方程的反射函数与可积性等价性研究》文中研究表明研究微分系统x'= X(t,x)的解的性态,不仅推动着微分方程理论的发展,同时对研究客观世界中物体的运动规律也具有很大的实际应用价值.当微分系统为自治系统,对于它的解的性态的研究成果已有很多.而对于非自治系统的研究成果就相对有限了.我们知道,对于周期时变系统的研究,可以借助于Poincare映射和Lyapunov变换[1-4],但有时寻找这些变换是很困难的.上世纪八十年代,Mironenko[5]创建了反射函数理论.利用反射函数,我们可以建立周期时变系统（？）的Poincare映射,借助它能研究该系统的解的定性性态.我们称具有相同反射函数的两个微分系统类是等价的,而等价的周期系统的周期解的性态是相同的.所以当研究一类复杂的非自治微分系统解的性态时,只需研究与该系统等价的简单系统或自治系统解的性态即可.Mironenko在[5-6]中研究了微分系统（？）与x' = Y(t,x)(2)的等价性,得出(2)等价于(1),当且仅当(2)可表示为（？）.(3)这里F(t,x)为(1)的反射函数.但是对于一般微分系统要求出其反射函数是相当困难的.那如何在反射函数未知的情况下,判定(1)与(2)等价?于是Mironenko在[7]中给出,若△(t,x)满足（？）时,（？）与(1)等价,这里α(t)为t的奇的纯量函数,由此并推出x' = X(t,x)+ ∑αi(t)△,(t,x)(6)也与(1)等价,这里αi(t)为奇的纯量函数,△i.(t,x)为(4)的解.由此可看出,求出(4)的解△(t,x)即反射积分,对判定两个微分系统的等价性尤为重要.Belskii 在[26]中给出 Riccati 方程（？）和 Abel 方程（？）及一般多项式方程x'=∑i-0nai(t)xi的反射积分的结构形式,及这些方程具有这些反射积分的充分条件.Veresovich[19],Varenikova[25]研究了一个平面多项式微分系统与其线性部分等价的判定准则.在本文中,本人主要研究了几类一阶非自治有理分式型微分方程的反射积分及逆积分因子.通过它们建立了与这些方程等价的一阶微分方程类,利用逆积分因子研究了这些方程的可积性及其解的定性性态.其次还研究了两个非自治线性方程组的等价性,并给出了若干判定的准则.在这篇文章的第三章中,本人研究了一次有理分式方程具有各种类型的反射积分的充分条件,建立了与(7)等价的微分方程类.并利用这些反射积分讨论了微分系统的逆积分因子、首次积分及其解的定性性态.其次研究了二次有理分式方程(?)具有二次有理分式形式的反射积分的充分条件.建立了与(9)等价的微分方程类,并利用反射积分研究了微分系统(?)的逆积分因子及可积性问题及其解的定性性态.在第四章中,研究了两个非自治线性微分系统（？）等价性,并给出当它们等价时,其系数矩阵A(t),B(t)所满足的必要条件,以及它们等价的若干判定准则.特别地,还讨论了（？）等价时,(这里φ(t)为纯量函数C为常数矩阵),φ(t),C所具有的特征性质.
魏俊杰[9]1985年在《一类具无界时滞的微分方程解的渐近性态》文中指出最近,我国的一些学者开始了关于具有无限及无界时滞的微分方程解的渐近性态的研究工作.其中一些文章是应用李雅普诺夫第二方法,建立起关于方程解的性态的一系列理论,如文[1].另一些文章是对较具体的方程讨论其解的渐近性态,如文[2].本文也试图讨论一类具体的带有无界时滞的微分方程解的渐近性态.其中滞量 r(t)是(?)维列向量.本文推广了文[2]的主要结果.
刘晓敬[10]2013年在《超前型微分方程解的性态研究》文中研究表明微分方程是数学中的一个重要分支,在物理,经济,自动控制等领域有着广泛的应用,因此吸引了众多学者专家对此类问题进行研究.由于寻求微分方程的通解十分困难,故从理论上探讨解的性态一直是研究的热点问题,目前在微分方程解的存在性,渐近性,振动性等方面取得了一系列的成果.本论文利用Riccati变换,不动点定理,构造序列等方法研究了两类超前型微分方程正解的存在性以及对振动解的相邻两个零点之间的距离进行估计.全文分为三部分,主要内容如下：第一章阐述了微分方程的相关背景,国内外目前的研究现状及本文的主要研究内容.第二章考虑了变系数,变超前型项的微分方程.通过引用Riccati变换,中值定理以及不动点定理得到了正解存在的充分条件,同时给出了一些例题来说明相关结论的正确性.第三章主要讨论了一阶超前型微分方程的零点分布.通过构造序列fn(ρ)和gn(ρ)交换积分顺序以及反正法来证明这部分的主要引理和定理.同时给出了一些例题来说明相关结论的正确性.
参考文献：
[1]. 多项式微分方程的等价性[D]. 邰日昶. 扬州大学. 2007
[2]. 全空间上椭圆方程（系统）在临界条件下解的存在性及解的性态[D]. 蒋娟. 中国矿业大学. 2016
[3]. 卷积型奇异积分方程与边值理论[D]. 李平润. 中国科学技术大学. 2016
[4]. 记忆依赖型偏微分方程建模及其数值研究[D]. 孙雯雯. 青岛理工大学. 2018
[5]. 一类非线性积分微分方程解的性态[J]. 张毅. 系统科学与数学. 1996
[6]. 微分方程解的性态[D]. 徐志庭. 中山大学. 2000
[7]. 非线性微分方程解的性态[J]. 王淑清. 太原城市职业技术学院学报. 2004
[8]. 几类一阶微分方程的反射函数与可积性等价性研究[D]. 郁心怡. 扬州大学. 2017
[9]. 一类具无界时滞的微分方程解的渐近性态[J]. 魏俊杰. 东北师大学报(自然科学版). 1985
[10]. 超前型微分方程解的性态研究[D]. 刘晓敬. 河北师范大学. 2013
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