正态分布的分布函数及分位数的算法和编程技巧，本文主要内容关键词为：正态分布论文,位数论文,算法论文,函数论文,编程技巧论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一般统计学教科书对正态分布的分布函数和分位数的算法较少介绍，本文在分析算法的基础上，用TRUE BASIC语言编写程序，讨论如何用计算机语言表现统计算法。
一、密度函数和分布函数
设连续随机变量x的密度函数为：
二、分布函数值和分位数的算法
（一）分布函数值的算法
（4）式不能被求解成为简单初等函数，所以不能直接用定义初等复合函数的方法计算其值，需要借助比较复杂的算法。一种比较直观的算法是把正态密度函数（1）式展开为泰勒级数，然后，对泰勒级数的各项求定积分，最后相加各项数值即得分布函数F（t）的值。
因为：
所以：
计算过程分为以下几步：
1.确定t的数值，代入（7）式；
2.（7）式是一个无穷级数，计算时只能对前面有限项相加。选择项数越多，结果愈准确。但数值精确度并不要求无限高，若4＜t＜5，选45项可使精度达到10[－7]以上；若t＜4，选取20项就足够了。
3.定义一个中间函数JSX（t，n）；用它表示每个级数项的值：
还有其它一些算法如连分式逼近、近似初等函数式等，这里给出一种近似初等函数式算法，不讨论推导过程：
这种算法有足够的精度且简单易行，其程序编写也比较简单，本文不讨论这种算法的编程。在后面的程序中，F（t）用NMLP（t）表示。
（二）分位数的算法
前面讨论的是根据给定的t值，计算出一个介于0与1之间的概率值F（t）（被称为分布函数值）的算法；现在讨论先给出一个概率值p，再求一个数值t[,p]使F（t[,p]）＝p，t[,p]为对应于概率p的正态分布的分位数。
根据（7）的定义，有下述等式：
这是一个求解非线性方程的问题，可用“基于二阶展开的迭代法”求解。
△是一个微增量，如果找到一个数值t[,0]使△足够小，则t[,0]为满足（12）式的t[,p]，因为（12）式是（11）的近似展开式。
按上述算法从某个初始值开始通过多次迭代，可使△小于某个给定的误差值。具体算法如下：1.给定一个初始值t[,0]，若t[,0]等于0，（13）式无意义，不妨设置为一个很小的数如0.00001；
2.计算（14）式中各变量的值；
3.按（13）式计算△，若（13）无实根解（即分子根号内的数值小于0），取：
……（15）
4.如果△非足够小，在t[,0]上加一个小数，再按第2步计算△，通过试算发现：如果加上由（13）或（15）式计算的△，会有较大的误差，不妨加上△/4（分母也可为2，3，5等）；
5.重复2，3，4的计算步骤直到△小于给定的误差值ε。
上述算法的计算框图如下
三、编程方法
按前面讨论的算法编程，把所有计算结果都设计成外部自定义函数，正态分布函数值用NMLP（T）表示，其变量是标准正态分布随机变量；正态分布分位数值用NMLT（P）表示，其自变量是标准正态分布随机变量小于某数值的概率。在计算这两个函数时还用到阶乘函数FACT（N），级数项函数JSX（T，N），正态分布密度函数及其一阶层数函数等。这些自定义函数在其他统计分析中（如回归分析，抽样估计，假设检验）被调用起来十分方便。
