例谈数学概念教学的误区与模式，本文主要内容关键词为：误区论文,概念论文,模式论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学是由许多彼此联系的概念通过逻辑关联构成的理论体系.数学概念是对客观事物的数量关系、空间形式以及结构关系的特征概括，是对数学对象的本质属性的反映.数学概念是数学大厦的基石，是导出数学定理和法则的逻辑基础.假如将数学定理、法则比喻成杠杆，那么数学概念就是支点——离开支点，杠杆就失去了作用.理解数学概念是掌握数学知识的关键，是进行数学判断、推理的前提.只有深刻理解数学概念，才能提高数学解题的能力以及自主学习的能力.因而，概念教学是数学教学的重要组成部分，要实现对数学本质的理解，就必须重视数学概念的教学. 一、数学概念教学的一些误区 新课改后，初中数学教材上许多概念只给出描述性定义，而没有严格定义，如二元一次方程、二元一次方程组等；一线教师也逐渐习惯了使用“像这样……”的方式来讲授一个新的概念.教材这样处理的目的在于淡化概念形式，但有些教师却错误地以为概念教学不重要了.再加上少数年轻教师对概念理解不深刻，便出现了很多数学概念教学不到位的现象. 例如，一位教龄六年的青年教师执教苏科版初中数学教材七年级下册“二元一次方程组”的教学片段—— 教师给出“鸡兔同笼”问题，引导学生列出
师：（同步板书）像这样，把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组.请同学们判断下列方程组是否为二元一次方程组.
生：（1）是二元一次方程组，因为它是由两个二元一次方程组成的. 师：非常好，你的判断正确.那（2）呢？ 生：（2）不是二元一次方程组，因为其中含有了三个未知数. 师：看来同学们对二元一次方程组的概念理解很到位.那（3）呢？ 生：（3）不是二元一次方程组，因为其中第一个方程x=1是一元一次方程. 师：（略显失望，把目光投向其他学生）其他同学有没有不同看法的？ （学生沉默.） 师：看来同学们都赞成（3）不是二元一次方程组，是这样吗？ （学生点头.） 师：同学们既然认为（3）不是二元一次方程组，那如何给它命名呢？ 生：一元一次方程组. 生：不对.这个方程组中的第二个方程是二元一次方程，所以肯定不能叫一元一次方程组. 师：那到底叫什么呢？同学们讨论讨论. （学生讨论了约摸有五分钟.） 师：现在有同学能回答这个问题了吗？ （学生依然沉默.） 师：请同学们看看黑板上写的什么是二元一次方程组，是“把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起”，（3）中的第一个方程是一次方程吗？ 生：（齐）是. 师：那（3）究竟是不是二元一次方程组呢？ 生：（齐）是. 师：组成二元一次方程组的两个方程都必须是二元一次方程吗？ 生：不一定.只要两个方程都是一次方程，整个方程组含有两个未知数就可以. 对二元一次方程组的概念这样一个只需要了解的内容花费了近半节课，显然是偏离了重点.问题的关键在于教师没有重视概念的教学，讲授二元一次方程组概念时照本宣科地一带而过，没有以学生原有的认知结构为基础，更没有通过实例揭露概念的关键特征.这导致学生没有理解二元一次方程组概念的数学本质. 这里，学生之所以能对例题（1）（2）作出正确判断，也只是“依样画葫芦”.其实，在回答问题（1）的过程中，学生已经暴露出概念理解上的偏差：在判断（1）是二元一次方程组时，学生给出的理由是“它是由两个二元一次方程组成的”；也就是说，学生认为所谓的二元一次方程组就是由含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的——这恰恰就是二元一次方程组概念最难理解之处.如果说最初讲解概念时教师没能让学生理解二元一次方程组的数学本质，可谓错过了一次机会，那么在这里教师又错失了一次良机：假若他能纠正学生的错误认识，指出二元一次方程组并非全是由含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的，只要是含有两个未知数的两个一次方程联立在一起就可以，那样，也就不会出现后面学生的那些无效讨论了. 又如，教学苏科版初中数学教材七年级下册“因式分解”时，学生因为刚刚学过“整式乘法”，所以常常将它们混淆，对因式分解的题目出现“分解后再乘开来”的笑话.其原因何在？不在于应用训练不到位，而在于概念理解不到位.这归根到底还是教师教学的问题.教材将“整式乘法”与“因式分解”两个内容编排在同一章中，考虑的是“整式乘法”与“因式分解”是两种互逆变形，可以引导学生比较、辨析、感悟.实际上，教师在教学中，应该帮助学生强化对因式分解概念的理解，从以下几个方面把握因式分解的描述性定义“把一个多项式化成几个整式的乘积的形式”：（1）分解的结果一定是积的形式；（2）每个因式必须是整式；（3）各因式要分解到不能再分解为止；（4）它是整式乘法的逆运算，可以实现不同的目标. 二、数学概念教学的基本模式：“四个关注” 数学教学中，我们可以忽视概念的表达形式，但不能忽略概念实质上的内涵和外延.为此，需要做到“四个关注”.下面，结合苏科版初中数学教材八年级下册“二次根式”的教学加以阐述. （一）关注概念引入，体验概念形成 【片段1】 教师投影出示问题1：根据下列式子特点，给它们分组——
生：
、2m+1、
. 师：这三个放在一组的理由是—— 生：这三个都是我们前面学习过的整式，其中
是单项式，2m+1、
是多项式. 生：
是分式，所以这两个放在一组. 生：
应该是一组，因为这两个式子都含有二次根号. 师：同学们观察得非常仔细，一共分了三组：第一组是整式，第二组是分式，第三组的名称目前暂不知道.我们在平时的学习中碰到过类似的问题吗？请看问题2. 教师投影出示问题2：用式子表示下列问题中所求的量——（1）边长为1的正方形的对角线的长；（2）面积为S的圆的半径；（3）直角边长分别为a、b的直角三角形的斜边的长；（4）一个物体下落h（m）所需要的时间t（s）满足关系式
，试用h表示t.学生独立完成，获得答案：
师：请同学们仔细观察这里所得的结果
以及问题1中出现的
，回答以下问题：这些式子分别表示什么意思？这些式子有什么共同特征？ 生：分别表示
的算术平方根，共同特征就是都含有二次根号. 师：数的算术平方根我们已经学习过，今天我们将学习由数的算术平方根过渡到式的算术平方根. 教师投影呈现概念的描述性定义：形如
（a≥0）的式子叫作二次根式，其中a叫作被开方数. 这里，二次根式的概念是借助数学问题和实际问题引入的，这样的引入能让学生充分感知学习这一概念的重要性和必要性，有助于产生认识需求，明确认识任务.在概念引入的过程中，通过教师的引导，学生逐步体验了概念的形成过程，为深入理解概念奠定了基础. （二）关注概念理解，促进概念深化 【片段2】 师：前面我们已经学过整式、分式，现在又知道了二次根式，你觉得二次根式与前面所学相比最显著的特点是什么？ 生：有二次根号. （其他学生哄堂大笑.） 师：同学们为什么笑？ 生：他的回答是显而易见的，与不答没什么区别. 师：首先，同学们要学会尊重他人.其次，老师问了什么，他就答了什么，虽然比较浅显，但是并不是没有区别的.当然，如果再深入一点，说出二次根号有什么性质或要求，就更完整了. 生：（急切地举起手）老师，我知道的，被开方数不能小于0. 师：被开方数为什么不能小于0？ 生：负数没有平方根，所以被开方数不能小于0. 师：（微笑着点点头）二次根式
实质就是非负数a的算术平方根，那
是什么数呢？ 生：
表示的是非负数a的算术平方根，因而
也是非负数. 师：说得很好，有理有据.可用数学式子表示为
≥0（a≥0），用语言描述为一个非负数的算术平方根仍然是非负数. 概念形成后，不应急于让学生应用概念解决问题，而应引导学生对概念进行去粗存精、由表及里的思维加工过程，通过抽象化、形式化来掌握概念的内涵，廓清概念的外延，既知其然，又知其所以然，从而促进概念理解的深化. （三）关注概念拓展，形成概念体系 【片段3】 （教师投影出示问题3：（1）当a≥0时，
=________；（2）当a≥0时，
=________.） 生：平方与开平方互为逆运算，非负数a开算术平方根后再平方，就是它本身，所以当a≥0时，
=a. 生：非负数a平方后再开算术平方根，也应该是它本身，所以当a≥0时，
=a. 师：同学们回答得非常准确.由此思考一个问题：
与
有区别吗？ 生：肯定有区别，从运算顺序来看，一个是先开算术平方根再平方，另一个是先平方再开算术平方根. 生：可是，从运算结果来看，
与
没有区别.尽管它们的表达形式不同，但是计算下来结果是一样的：都是a. （其他学生纷纷附和.） 师：那么，结论就是：从形式看有区别，从结果看没有区别.是这样吗？ （学生思考了一会儿.） 生：不对！肯定有区别.
是先开算术平方根再平方，因而a必须是非负数；而
是先平方再开算术平方根，因为
一定是非负数，所以a可以为任意实数.当a≥0时，
与
计算的结果的确是相同的；但是，当a＜0时，
不可以计算，而
可以计算.这说明两者从结果看也是不一样的. 师：很精彩！你不仅关注到了
与
的联系，更发现了两者的区别.这说明你思考问题很全面.的确，
与
不仅有联系，而且有区别，区别在于字母a的取值范围是不一样的.当a＜0时，
究竟等于什么呢？这个问题留给同学们课后去思考. 对于数学概念的适度拓展，可以开阔学生思路，开发学生智力，加深学生对知识的理解，增强学生探究的热情和兴趣.当然，这里的拓展不是盲目超脱课程标准和教材，不是任意拔高和加深；要根据教材内容的特点、学生的接受能力来挖掘和拓展知识点，帮助学生形成结构功能强大的概念体系. （四）关注概念应用，领悟概念本质 【片段4】 教师投影出示例题：下列代数式，若能作为二次根式的被开方数，则求出字母的取值范围；若不能，请说明理由.（1）1-2a；（2）
+1；（3）
；（4）-2
-1. 生：1-2a可以作为二次根式的被开方数，这时要求1-2a≥0，从而求出
生：无论a为什么实数，
+1总是一个非负数，所以
+1可以作为二次根式的被开方数，此时字母a可取任意实数. 生：
可以作为二次根式的被开方数，此时2a+1＞0，
生：-2
-1可以作为二次根式的被开方数，此时-2
-1≥0，
（停住了，不知下面该怎么回答）. 生：-2
-1不能作为二次根式的被开方数，因为无论a是什么实数，
总是非负数，-2
总是非正数，-2
-1一定是负数. 师：在解答问题的过程中，同学们始终能抓住二次根式概念的本质，这说明大家对这个概念已经理解了.接下来思考这样一个问题. （教师投影出示思考题：若
，求x+y的值.） 生：因为
是个非负数，而
也是个非负数，两个非负数相加和为零，结果就是这两个数必须均为零，所以得到x-1=0，y+2=0，从而解得x=1，y=-2，所以x+y=-1. 师：这道题主要借助什么知识来解决的？ 生：主要借助二次根式（算术平方根）与完全平方式都是非负数，由几个非负数的和为零，推出每个加数都为零，从而得到方程组来解决的. 师：归纳得很好！从两个例题中，同学们也感受到二次根式两个基本特征的应用了吧？同学们解题后还要学会及时反思、总结，这样可以不断积累解题经验，形成自主解决问题的能力. 从思维方式上看，概念的形成是一个“聚敛性”思维，而概念的应用则是一个“发散性”思维.概念由理解到掌握再到应用，不是一个静止的过程，而是一个积极思考、体会、感悟的过程.这一过程中，可借助问题来巩固概念，可以通过概念的正用、反用、变用等，让学生学会抓住问题的本质特征，并升华对概念的理解.
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