基于数学思想和方法的全设计三角函数理解教学_数学论文

基于数学思想方法的理解整体设计三角函数的教学，本文主要内容关键词为：函数论文,思想论文,数学论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      从大量的课堂教学实践观察与课后访谈可以发现，从课堂教学情境的创设到教学载体的选用、从教学重点的把握与教学目标的确定、从教学内容的逻辑组织到对学生学习反馈的分析解读……处处可以看到教师在教育教学上的见解深受教师对教学内容的理解深度的影响与制约；而对教学内容的理解深度又集中反映在教师对数学学科所蕴含的观念、思想与方法是否有深入地体会和理解.

      本文将以必修4第一章三角函数为例，从多个角度去理解知识所蕴含的数学观念、思想与方法，并结合学生的认知分析对三角函数一章进行整体的教学规划与设计.

      一、多角度理解三角函数所蕴含的数学观念、思想与方法

      1.从三角函数所处的知识领域来看

      （1）从三角函数在函数领域中的地位与价值来看

      函数是全部数学中最重要的概念之一，它是“一个量对另一个量的依赖关系的抽象模型”[1].函数概念向人们提供了一个认识世界的框架，这个认识框架的核心就是从联系与变化的观念出发，运用变量与函数的工具来思考，建立两个或多个变量（或几类量）之间的依赖关系——函数关系，利用函数的性质和方法来解决问题.在函数理论中，一些具有典型代表性的函数类的系统性研究结果成为函数领域中的基础函数模型，也就是目前已纳入高中数学课程中的基本初等函数.通过这些基本初等函数的复合或者四则运算便构成了其他较复杂的函数，因此基本初等函数的图象和性质就成为研究函数问题的重要基础.每一类基本初等函数都具有其自身的独特属性，而三角函数是反映周期规律的重要函数模型，三角函数所具有的周期性使其成为描述刻画一切周期现象的基本模型，不仅如此，傅里叶的工作使我们知道任意在（-π，π）上的连续函数都可以由正弦、余弦函数构成.因为正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx的图象在形状上实际是相同的，只是在坐标系中的位置上相差

，所以，正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+b的图象和性质就自然成为了三角函数一章所研究的核心问题，为了解决这个核心问题，对正弦型函数的模型及其性质获得深刻理解，那就离不开对三角函数的概念和函数周期性概念的理解，因此，这两个概念也就自然构成了本章的核心概念.

      （2）从高中课程中函数的内容体系来看

      三角函数是高中阶段学习的最后一个基本初等函数模型.在此之前，学生已经从变量观和对应观对函数的概念进行了认识理解，学习了函数的单调性、奇偶性概念，在一次函数与二次函数的再认识过程以及指数函数、对数函数、幂函数的研究过程中，对研究函数的基本框架以及方法已经有了一定的理解和认识，对函数研究中的价值取向也有了一定的了解.但是从研究函数的工具来看还很有限，一是描点画图感知猜想认识函数性质，二是从解析式蕴含的运算特性去推演认识函数性质，研究函数的强大工具——导数要在后面的课程中才会学习.

      从几类基本初等函数模型来看，三角函数与其他基本初等函数还是有着很大的区别的.幂函数、指数函数、对数函数的对应法则本质上都是一个二元运算，涉及一个实数对集合到实数集的二元映射，函数法则只不过是把

中一个元取定（底数、指数或幂值）后另外两个变元之间的确定性依赖关系，与以前学习的加、减、乘、除四则运算有很大的相似性，并且是在四则运算基础上进一步发展而来的，有“运算”的味道.而三角函数的对应法则本质上是一个一元映射，是实数集到实数集的映射，学生对其已感觉不到“运算”的味道，因此，对三角函数性质的研究也缺少了“运算”的视角（实际上也不具备这样的基础，缺少必要的三角恒等变形公式，例如和差化积公式），因此，回归并依托三角函数概念本身的直观表达——单位圆就成为了必然途径.由单位圆获得正弦函数y=sinx的图象及性质后，正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+b的图象和性质的研究，认识的角度就丰富了，不仅可以从匀速圆周运动背景去认识，也可以从五点作图研究，还可以从解析式角度，通过函数的复合运算来研究.

      2.从与三角函数相关的知识来分析

      三角函数内容，不可避免的涉及角的概念与度量，所以说，三角函数又与三角学领域的内容密切相关.在义务教育阶段，学生首次接触到三角函数这个名词，那是在直角三角形中利用边之比定义的锐角三角函数，这个阶段突出的是几何观念，研究的目标指向是几何图形的性质，重点是直角三角形中边与角两类量之间的数量关系.此时，“角”这个概念是一个静态的几何图形的概念.这与高中三角函数概念中的“角”的概念是不同的，高中阶段的角是放在直角坐标系和圆中研究的，此时，“角”的概念更加凸显出其动态属性，关注其形成的动态（旋转）过程，是一个动态的图形.项武义在其所著的《几何基础》中指出[2]，正弦、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质的解析表述.此时，三角函数的概念才达到名副其实，真正反映出其代数解析的属性，刻画圆周运动中两个变量间的函数关系.

      如果我们把目光不仅仅局限在数学天地里，而是放大到与数学相关的更广泛天地里来看，三角函数与物理中的波动、弹簧的简谐振动、单摆的简谐摆动等现象密切相关.这样来看，正、余弦函数值就有了另一种认识视角，分别从正上方俯视和从一侧平视单位圆的圆周上动点的匀速圆周运动（动点分别在x轴和y轴上的投影点），自变量就是单位圆圆周上动点旋转的角或弧长.此时，我们看到的其实就是以原点为平衡位置的简谐振动.如果把自变量看做时间t，记角速度为ω，圆的半径记为A，起始位置的角度记为φ，则从一侧平视看到的点位置与时间的函数就是y=A·sin（ωt+φ）.

      3.从数学发展历史的角度来看

      个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程.许多数学家和数学教育家认为，个体对数学理解的认知发展遵循数学思想的历史发展，个体对数学概念的认知发展与该概念的历史发展相似.[3]这说明，历史的视角能帮助我们更好的认识知识背后的数学观念、思想与方法.

      三角学的早期发展主要来自天文学和测量的几何问题的研究，而天体运动的轨道在人类认识的早期就是圆，圆里的角（或弧）与其所对的弦长的关系是当时需要处理的一个主要问题，从三角学之父西帕克斯（约公元前180～公元前125年）的《论圆中弦》直到现代，一直没有三角“比”这样的东西.希腊人，以及他们之后的印度人和阿拉伯人，都使用三角“线”，这些三角线起初都采用圆内弦的形式，把数值（或近似值）与弦联系起来成了托勒密义不容辞的责任.要做这件事情，需要两个约定：①细分圆周的方案；②细分直径的法则.把圆周等分成360份，从西帕克斯时代就在使用.托勒密希望把细分圆周和细分直径的法则一致起来，因此他把圆的半径分为60份，进一步把每一份分成60分，每一分分成60秒.同样，弧长也是按六十进制度量.事实上，任何时候，古代学者只要想得到一个精确的近似系统，他们就会求助六十进制来表示小数部分.[4]统一度量方式的思想在古印度流传下来的著作《悉昙多》和《阿利耶毗陀论》[5]中，也可以看到，当时为了用同一单位来表达弧长和正弦长度，周长取作360·60=21600，由圆周长公式可得半径应被取为

.但这在使用上感觉并不舒服.韦达在《三角学的数学基础》（1579）中提供了一份详尽的三角函数表，包括所有六种函数，角度间隔接近分，他极力主张使用十进制、而不是六十进制小数.[6]从上述史料可以看到，不难发现建立弧度制的思维脉络.用统一的方式度量弧长与半径单位的思想，是建立弧度制的精髓.[7]

      哥白尼的学生，印度数学家利提克斯（Rheticus，1514～1576）将传统的圆中的弧与弦的关系改进为角的三角函数关系，把三角函数定义为直角三角形的边长之比，从而使平面三角学从球面三角学中独立出来，并采用了六个函数（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割）.三角形就成了三角关系的基本结构，而相应的圆反而成了从属.那时所讨论的“三角函数”仅限于锐角三角函数，而且研究锐角三角函数的目的在于解三角形和实施三角计算.这基本和义务教育阶段的初中数学中的锐角三角函数相对应.此阶段的三角函数概念突出的是几何的视角，关注的是三角形的边与角的关系，基本不涉及变量与函数的观念.

      十七世纪，由于数学注意到了对运动的研究而引进了许多重要的数学概念与方法，三角函数就是其中的一个.首先发现三角函数的是欧拉，在他1748年发表的《无穷小分析引论》一书中指出三角函数是一种函数线与圆半径的比.欧拉还彻底解决了三角函数的四个象限中的符号问题，从而把各种三角公式推广到最一般的情况.这个定义使三角学突破了仅仅讨论三角形的一个静态的狭小天地，摆脱了三角形的束缚，从而可以去反映现实世界中的具有周期性规律的运动或变化过程，使三角学成为一门具有现代特征的分析学科.三角函数又称圆函数，是匀速旋转这个最简单的圆周运动的本质表现.要研究现实世界中的匀速圆周运动这一周期现象，所以要在圆中研究三角函数，为了研究的方便，所以要在单位圆中研究三角函数.[8]

      从上述三角函数的发展过程可以看出，三角函数与几何、与物理中的周期性运动，如波动、振动等都存在内在关系.但是在不同的阶段，研究的视角和观念是完全不同的，锐角三角函数是研究三角形各种几何量之间的关系而发展起来的，而任意角三角函数是研究现实中周期现象而发展起来的.它们研究的对象不同，侧重的性质也不同.我们既不能把任意的三角函数看成是锐角的推广（或一般化），又不能把锐角三角函数简单看成是任意角的三角函数在锐角的范角内的“限定”.[9]因此，正确处理好任意角三角函数与锐角三角函数的“因袭与扩张”自然就成为了教学中必须关注的一项任务.

      二、结合学生的认知分析整体设计全章教学

      1.全章知识体系的梳理与架构

      通过前面从多个角度对本章教学内容蕴含的数学观念、思想与方法的解读，下面可以对本章知识作如下的系统梳理：

      本章的核心知识是正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，核心概念是三角函数的概念和周期概念，为了更好的实现对核心概念的理解，获得核心知识，可以以“摩天轮”为问题源，以抽象出的“匀速圆周运动中的变量关系”为研究的核心问题，在问题的研究过程和解决认知冲突中获得新知识，在发现规律中获得新知识，逐渐展开全章内容.在整个研究过程和知识应用的过程中，需要的核心技能是识图、作图、用图，其中的“图”是指三角函数概念内涵的直观反映——单位圆和三角函数类的图象，贯穿始终的是联系与变化的观念，一以贯之的是数形结合思想.

      2.以“匀速圆周运动中的变量关系”为问题源，生长发展全章知识

      数学是由问题构成的，数学教学过程实质上是数学问题解决的认知过程，因此问题教学是数学教学设计的逻辑起点，它贯穿于目标设计、过程设计与评价监控设计之中.[10]通过前面的数学观念、思想的分析解读，本章以摩天轮为背景材料，以数学化抽象得到的匀速圆周运动的变量及其变量关系为问题源，以简化后的单位圆模型为研究载体展开研究，是比较合适的.理由有以下几点：

      （1）以“匀速圆周运动”研究三角函数是历史的选择

      “周期现象”的最典型、也是最简单的实例就是匀速旋转，而且匀速旋转运动及其数学研究自古以来就是重大问题，三角学源自天文学，因为天体运动的轨道在人类认识的早期就是圆.研究匀速旋转，最本质、最简单的就是研究单位圆上的点随着角的旋转变化而变化的规律，单位圆上的点的变化，可以牵动多个量的变化，首先联想到的就是角α（弧制度），其次是弧长、弦长，再次是扇形面积；若放在坐标系中来看，动点P就被量化为了数对（x，y），此时点P（x，y）的运动就引起了坐标分量x，y变化.这些量之间关系就构成了函数关系，其中就有点P（x，y）的运动引起了坐标分量x，y随角α（弧制度）的变化，便是我们研究的目标——三角函数.

      （2）以“摩天轮”为背景体现出数学与现实的自然联系

      “摩天轮”是城市孩子非常熟悉的背景，甚至还附带着孩子们童年的记忆或梦想，要比历史上的天文学背景更有亲近感.三角函数是描述现实世界中周期现象的重要函数模型，它就是对现实世界中周期现象的数学抽象建模的结果.由此背景展开，有助于学生经历感受数学活动的全过程：对经验材料的数学组织；对数学材料的逻辑组织；对数学理论的应用.这也就是不同教材在三角函数一章都引入“摩天轮”背景的共同原因吧.但是，也要注意，正因为上述的原因，也就说明，“摩天轮”背景并不意味着是最好的选择，可以因地制宜的根据自己学生的情况选择替换为他们所熟悉的周期现象背景，例如水车、自行车轮等.

      （3）“匀速圆周运动”有助于沟通数学知识间的联系

      “匀速圆周运动”给人的第一感觉是点的转动，而以“角”的概念数学化描述“转动”是再自然不过的想法了.而无休止的“转动”和过去的“角”的度量的有界性（0°～360°）认识自然会引发认知上的冲突，“转动”的方向性和过去的“角”的度量值（0°～360°）同样会引起认知上的冲突，这为角概念的推广和角度量值的扩充的必要性自然地埋下了伏笔！这里对“角概念”的推广及“角度量值”的扩充，与初中以“平移运动”或“直线上位移”为背景引入负数并建立数轴的直观模型是多么的相似啊！不仅如此，两次旋转的合成所对应的角的量的加减运算与两次平移运动的合成所对应的平移量的加减运算也是完全一致的！这不恰恰反映出数学思维的前后一致的内在规律性吗？在这样的联想类比中，又沟通了角的度量（弧度制）和长度度量的一致性认识，单位圆的圆心角的大小（旋转量）用其所对弧长（长度）度量，角的旋转方向与正负符号相对应.如果把单位圆周想象成是由数学中的“无粗细的射线”按两个方向缠绕而成的，那么将单位圆周按逆时针方向和顺时针方向分别展开，就是以前学习的数轴.此时，圆周上运动的点的在每个时刻的位置（弧度数）就对应为数轴上的一个点，表示这两个点的位置的数是一致的.如下图.

      

      （4）三角函数概念的直观模型——“单位圆”有助于教学难点的突破

      诱导公式的记忆向来是学生学习的难点，也是极大的记忆负担.在教学实践中，教师普遍使用口诀帮助解决，“奇变偶不变，符号看象限”.但是，经常会有这样的现象发生：学生清楚地记得口诀，但是仍记不清楚诱导公式.原因在于，这种记忆是无意义的机械性记忆，一旦丢失了口诀中关键字词所指的涵义，诱导公式就全部丢失了.同样的，对于特殊角三角函数值，学生也非常总容易记错.从记忆规律我们知道，形象直观的总比抽象的形式化的东西更易于记忆，如果把诱导公式（圆关于圆心、坐标轴及象限角平分线的对称性的反映）和特殊角的三角函数值附着在单位圆上，结合三角函数概念去理解记忆，效果就会优于其他记忆方式.当然，这一方式也同样依赖于一些基础元素，即三角函数概念的内涵，但是如果能很好地一以贯之的抓住本章核心概念进行教学，显然对三角函数概念的牢固记忆并不成问题，因为从三角函数这一章的整个知识系统来讲，显然三角函数概念是核心概念，在整个三角函数一章的学习中，几乎任何知识的学习，都可以回归到三角函数的概念上，起到循环往复的不断强化三角函数概念理解的价值.其实，这也就是胸怀全局，处理局部的整体化教学理念.如果这一节课和下一节课没有内在一致的逻辑性，就必然会让一章的教学散而无神，学习的效果也就大打折扣.

      

      3.重、难点内容的教学解析

      （1）弧度制的教学解析

      弧度制是本章教学的一个难点内容.“难”主要体现在学生对弧度制的感性接受，而不在于理性接受.如果学生不能理解引入弧度制的必要性和合理性，就难在感性上接受，在使用上就会回避弧度制而使用角度制，最终这就会造成学生忘记弧度制度量方法，因此，弧度制的教学关键就在于，如何让学生真切感受到引入弧度制的合理性和必要性.在前面对教学内容进行分析的历史视角是非常有帮助的，首先教师自己要认识到用统一的方式量弧长与半径单位，是弧度制建立的背后思想精髓.其次是教师可以借助历史材料和现实材料来进行教学设计.贾利与李文铭的文章《从“弧度制”一课看数学史在教学设计中的作用》中的教学设计很好地体现了这一观念.此外，用弧度制度量角后，实现了单位圆上做匀速圆周运动的点的角度描述与点在圆周上的位置描述和数轴上点的匀速直线运动的位置（取相同的运动速度单位）描述的统一，也会给学生带来认知上的数学美感体验.

      （2）诱导公式的教学解析

      

      （3）研究正弦函数y=sinx图象的逻辑线索

      五点法作图对于正弦和余弦三角函数的作图来讲是非常重要的方法，但是五点法作图形成的逻辑是什么呢？从逻辑上讲，它应是在充分认识了正弦函数图象的形状特征后而获得的快速作出正弦函数图象的方法.从整个基本初等函数的研究过程来看，又可以看到其中的前后逻辑的一致性.以前研究的基本初等函数时，我们总是通过描点法来感知一个新函数的图象形状，从而获得函数中的两个变量的变化规律的认识，然后根据学生的认知水平适度的从函数解析式的角度进行理性分析来考证其严格性，在此基础上对函数图象的形状特征形成清晰认识，之后便会找出一种便捷的画出函数示意图的方法.例如，二次函数，我们根据函数图象是具有对称性的抛物线形状特征，借助二次函数的对称轴、顶点、开口、与坐标轴的交点来画出二次函数；对于指、对数函数，也是根据其单调性、渐近线、与轴的交点来画出函数的示意图.由此看来，五点法作图也是按这一逻辑获得的！其中的五个点是正弦函数的三个零点和两个极值点，这完全来自对正弦函数的周期性、对称性、极值等性质的凝练而得出来的.

      因此，研究正弦函数应该向学生分析展现出这一内在的逻辑线索.在初始获得正弦函数图象的认识时，既可以借助特殊角三角函数值从以往的描点出发来感知图象（但是周期性显然是在描点之前就应该从定义中认识到的，否则就不知道在一个周期内取值列表描点），也可以从正弦函数的定义出发来分析函数图象的形状及性质.但是从其内蕴的思想的深刻性上来讲，后者是必须使学生经历的.

      （4）研究正弦型函数y=Asin（ωx+φ）图象与性质的逻辑线索

      正如前面所分析的，对于正弦型函数y=A·sin（ωx+φ），直接上来进行五点法作图是不合逻辑的！因为，五点法作图的逻辑基础应该是正弦型函数的图象形状特征和正弦函数基本一致，但是，在还不知道正弦型函数的图象时，就失去了使用五点法作图的逻辑条件.因此需要慎重研究正弦型函数图象和性质研究的逻辑线索.

      前面我们曾主张以“摩天轮”为问题背景源，实际上，这个主张的妙处在于并不仅仅是在角概念的推广与角度量值的扩充中使用，而是在后面还有不断使用的价值.“摩天轮”的转动背景，可以提供给学生理解匀速圆周运动的经验材料.由“摩天轮”背景抽象出匀速圆周运动的几何模型是一个被放大了的圆（半径记作A，A＞0），其中有了时间t和转动的角速度ω等物理量，这样，圆上点的位置（与地面的距离y）和时间的函数关系就被抽象为y=Asin（ωt+φ）.结合匀速圆周运动背景，可分析解析式中的参数A，ω，φ对图象的影响，不难发现圆半径A越大，函数最大值越大；转动的角速度ω的绝对值越大，转一周所需时间越短，即周期

越短；φ则表示起始位置的角度，即t=0时函数值为Asinφ.显然匀速圆周运动的背景有利于理解周期的概念内涵，例如函数y=sin2x的周期，可与y=sinx相对照，赋予匀速圆周运动的背景，前者角速度是后者的2倍，当然转一圈所用的时间就是原来的一半，因此前者的周期就是后者周期的一半.

      

      此外，还可以从匀速圆周运动的背景来感知认识函数y=Asin（ωt+φ）的图象.可以让学生回忆由单位圆获得正弦函数图象的过程（如下图），可以发现它与反映正弦函数y=sinx的单位圆背景非常相近，只不过圆的大小变了，横轴表示的是时间t了.从纵轴来看，显然，圆半径A的变化改变了图象在纵向上所占的宽度；从横轴来看，随着时间t的变化（t轴上的点匀速右移），点的位置（y值）仍呈周期性变化，且变化规律与正弦函数基本一致.由此可以发现，函数y=Asin（ωt+φ）图象和正弦函数的图象形状是相近的.

      

      

      

      【编辑手记】如何引入任意角三角函数一直是一个难点问题，本文从三角函数所处的知识领域、与三角函数相关的知识以及相关数学史的角度综合考虑，提出了自己的设计方案，这是一个值得肯定的思路.数学知识存在较为清晰的逻辑顺序和历史发展顺序，忽视甚至无视知识的逻辑和历史规律，对数学教学必然会造成一定的不利影响，这也是条目式课程标准的弊病之一.这就需要教师在设计教学时，从整体的视角全面审视教学内容在数学知识体系中的位置，从历史的视角审视其演进历程，这样才能实现教学立意的提升.

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