关于数学思维风格的理论及其实证研究，本文主要内容关键词为：思维论文,风格论文,理论论文,数学论文,实证研究论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、研究问题
“我之前的老师讲的内容很多，速度很快，并且不画任何图来讲解，在一次数学考试中我考得很差，只得了4分。我觉得我不懂数学，如果我不懂其中的一小部分，那么我还是什么都不理解。我想从一开始就理解数学的每一部分，跟上老师的每一小步，而那时我应付不来。新老师一直画图讲解，现在我已经能得出结果，不仅仅通过公式和计算。我在第一次及第三次测试里都得了1分。”——莎拉，15岁（德国学生的学习成绩用1～6分的评分等级，6分最差）。
从这个学生的描述中，我们可以清晰地看到，莎拉有几种喜欢的数学解释方法。我们可从中推测，一些解释方式能够使学生很好地理解数学，而另一些只能使他们理解一点。莎拉的例子表明，通过图像表征来解释数学问题，明显要比单纯的数学演算分析对她的帮助大。当然，这不能说老师的解释错误或者不好。相反，该描述隐含了另外一个问题：莎拉是否因她自己的思维风格与其前任老师教学与思考风格的不一致而受到不良影响？莎拉班上的其他同学是否有相同的问题？或者说，是否还存在着其他不同于老师思维风格的学生？
近几十年间，认知心理学实证研究表明：思维风格、学习方式及认知方式在许多领域内很大程度影响着成绩，因此也从根本上决定了学生成绩的巨大差异。Sternberg和Zhang(2001)指出，要将思维风格、学习方式及认知方式和能力构建明确区分开来，才有可能对学业成就进行预测和解释，这些方式远远超过了“能力”这一概念。此外，他们还指出了这些方式的教育意义：
“这些（思维风格、学习方式及认知方式）是让人感兴趣的，因为当教师将这些方式考虑在内时，有助于他们的教学和评估。此外，将这些方式考虑在内的老师也将对文化和个人差异敏感起来，而这是过去教学所缺少的。”(2001，p.viii)
Sternberg和Zhang同时指出，由于学生在个人与文化方面表现出从未有过的多样性，因此教学必须尊重学生的不同的思维、学习和认知方式。
本文主要探讨数学思维风格的多样性问题，重点分析存在于课堂中的数学学习的多样性及其如何受不同数学思维风格的影响。与此同时，本文还将呈现许多由于教师与学生思维风格的不同而导致的数学学习问题。如同Sternberg和Zhang所指出的：
“……有证据表明：教师倾向于认为学生比实际情况更好地适应教师自身的风格。因此，教师总是过于乐观地评价那些适应自身思维风格的学生，而不在乎这些学生真实的能力或成绩”(2001，p.viii)。
同样地，在数学教学中发挥重要作用的教科书，通常也只遵循一种数学思维风格，因此教科书也可能会引发学习问题。我们的实证研究，参考了关于数学思维风格的各种表述，例如Leone Burton(1995)曾提出一个外显的、分析性的数学思维分类的方式，她是以专业的男女数学家为实验对象进行的实证研究。我们的研究聚焦的是：在数学学习中类似的思维风格是否也可能出现在初中的15～16岁学生里，在校学生中是否还有其他学习数学的特定思维风格。
我们的研究问题是：
●15～16岁学生的多样思维风格是否能在义务教育的后期被识别、重构出来？
●如果可以，哪些不同的思维风格能够在学生中被重构？
●在解决不同的问题时，被观察的学生能够在多大程度上显示出对特定思维风格的特有喜好，又在多大程度上能选择一系列思维风格？
二、关于数学思维风格
以下将简要地描述现今关于数学思维风格的讨论。Sternberg(2001b)强调了选择因素作为思维风格的一个特征，在他看来，这能够产生令人满意的理论构想。他说：“个体都具有对特定风格的偏好。”(p.250f)。风格不代表个人特性，但是，“它们代表当面临环境刺激时他们的选择”(p.251)。原则上，学生可以选择任一种风格，但他们总是依据条件和环境做出选择。Sternberg认为：对选择与决定的强调，将原来的认知方式、反射能力与现在的方法区别开来。在Sternberg(1997)看来，思维风格是人在运用其“能力”时的一种偏爱，亦即，思维风格不是一成不变的，而是取决于时间、环境及生活。Steinberg指出：思维风格中至少有一部分是社会化的产物。几乎没有对数学思维风格的理论概念研究，实证研究就更没有了。
Hadamard(1945)在他的“数学领域的发明心理学”中发明了一种模型，它仅限于直观型及分析型的思维风格。他的研究聚焦在如何、何时解决数学问题及从心理学的角度抽取数学解决方法。
在已建立好的有关数学的研究和认识论的基础上，Leone Burton最近区分了数学思维风格。在先前理论模型发展的基础上，她采访了男性、女性各35位数学家。
最后将叙述有关认知方式的讨论，以使得数学思维风格这一构想更加精确与详尽。Riding(2001)对描述认知方式的理论构成的两个维度进行了区分：
“整体—分析这一风格维度意旨，个体在加工信息时是倾向于从整体上看，还是倾向于从整体的各个组成部分间进行把握；言语—表象维度意旨，个体在表征信息或思考时是倾向于以言语的形式，还是表象的形式。”(p.48)
Riding指出，一方面这两个维度有截然相反的特征；另一方面，由于每个维度都是一个连续体，所以这两个维度有各类中介位置。他对这两个维度又进行了细致的描述。基于这些探讨，本研究将数学思维风格进行了如下的定义：
“数学思维风格是个体倾向于运用内在想象和（或者）外部表征对数学事实及联系进行呈现、理解及全面思考的风格。因此，数学思维风格基于两个维度：(1)内在想象和外部表征；(2)在整体的基础上分别剖析过程的方式。”（见Borromeo Ferri 2003a）
这两个维度（见表1）组成了一个模型，这个模型中不同种类的数学思维风格都可以在实证研究中找到。
表1 不同种类的数学思维风格模型
关于这个模型的一些解释：
从“内在想象和外部表征”维度看，有的个体擅长对事实进行内在同化，但是不关注外部表征（当外部表征被作为交流工具时除外），这类个体被看作为内隐型。而有的个体擅长进行外部表征，这类个体被定义为外显型。如果他们的内部想象与外部表征相符（例如，图像－图像），这些人被称作一致型；如果两者不相符（例如，图像－符号），这些人被称作不一致型。
从“检验问题解决过程”维度看，个体可以从整体的角度（任务由整体拓展到局部），或者以剖析的方式（任务从局部拓展到整体），或者将这两种方式综合起来检验任务完成过程。
三、研究设计
这个研究以定性为主，因为要探究学生的认知过程细节，仅仅定量的分析是不够的。在定量的研究中，这项调查运用了扎根理论，该理论的研究方法是通过对一个已验证的现象进行系统地收集、处理数据，对数据进行汇总与分析。扎根理论的目的是创造对验证目标有益的新理论，并进行说明。这项研究在有关系统地收集数据方面，运用了如下方法：问题解决过程的录像分析，刺激回忆和深度采访。
一共有12个学生参加研究，其中6个男生和6个女生，分别就读于9年级和10年级，参加研究时他们分别是15岁和16岁。每个年级的6个学生构成一大组，每大组又分为三小组：包括两个男生一组、两个女生一组、男女混合一组。为了更多地获取学生们在问题解决过程中的思维风格上的反应，我们按照以下三个步骤进行实验，具体过程如下：
步骤1：问题解决过程。每对学生依次解决4个问题。他们自己决定怎样合作讨论，整个过程被录像下来。
步骤2：单独刺激回忆。讨论结束后，向每个学生单独呈现步骤1的录像。事先告知学生，他们可以暂停录像，说明他们当时讨论问题时的想法、解释和遇到的困难。另外，主试也会暂停录像，询问学生当时在想什么。
步骤3：单独访谈。每个学生在回忆后直接接受访谈。
四、数据分析
依据扎根理论，我们一一记录下录像中的语言表达，并进行分析和编码：首先用明码，接着用轴心编码，最后用选择编码。编码数据是分解或者说分类数据的一种基本策略，然后用新的方式进行重组。因此，这是很重要的过程，理论基于数据得以发展。在进行过程编码前，所有学生解决问题的过程是以连续的方式进行重建的，这样能够获取对思维进程的更好理解。通过重建解决问题进程，本研究总结了四个维度，以此开发出代码。
1.当试图解决问题时，一个人的内部想象（“用脑子”，“内心的眼睛”）。
2.一个人通过外部表征对数学事实的描述。
3.整体—分析方式的思考与进程。
4.作为稳定的思维偏好证明的数学想象。
在明码阶段，对问题解决过程的这些方面和以上列出的四个方面进行编码。明码阶段是分析的一部分，尤指现象的命名及分类。
五、研究结论
1.宏观结论
(1)重构作为独特的心理建构的数学思维风格是可能的。目前研究的差异和表征都丰富了思维风格的分类标准，即各个维度是相互独立的，它们不同于“能力”对于问题的依赖性，思维风格则是独立于问题解决中的数学成就的。
(2)扎根于实验的研究提出了直观型、分析型及整合型的思维风格：
●直观型思维风格：具有这种思维风格的人显示出对内在图像表征和外在图像表征的不同喜好，同时他们擅长从整体表征来理解数学事实及数学联系。内在想象主要受到丰富的情境联想的影响。
●分析型思维风格：这类思维风格的人显示出对内在形式表征和外在形式表征的喜好。他们能够通过已有符号或语言表征很好地理解数学事实，同时擅长递进式的步骤而不是序列性的步骤。
●整合型思维风格：拥有这些思维风格的人将直观和分析型方式结合起来，能够在不同的表征方式中进行自由的变换。
(3)学生能够重构自己偏好的分析型或直观型数学思维风格。在解决数学任务时，学生们表现出思维风格的差异性。
(4)处于“两端”的思维风格可重构，即学生偏好某种思维风格。“中间”的思维风格也可重构，即有些学生擅长这两种思维风格。
2.具体结论
下面结合具体例子介绍10年级的两位学生如何用不同的数学思维风格解决以下问题。
生日派对。生日派对上有8人聚在一起。每人都想和其他人碰杯。共计要碰多少次杯？
从文字上看，很明显这里需要运用组合数学原理解决问题。然而，用算法或者图像法也可以解决问题。因此，通过这问题，我们可以观察学生如何重构直观型、分析型或者概念型风格来解决这个问题。它的答案是28。
学生的解决方法：
(1)Saskia是偏爱分析型思维风格的典型。我们列举Saskia的问题解决过程和受激回忆的例子来说明分析型思维风格的特点。Saskia对分析型思维风格的偏好主要体现在以下三个方面：
(a)方程和变量占主导。Saskia解决问题的典型策略是使用她一开始设立的方程，在设立方程时主要使用变量这一概念。
(b)侧重于公式。在解题过程中，她直接构造公式或者使用已知公式，寻找规则和图式，试图找到一个解决的方法。
(c)忽视视觉表象。Saskia解决问题的过程中很少用到视觉表象，她引入的视觉想象往往和动作有关。
总而言之，她的方法可视作以静态为主。我们用碰酒杯的例子来说明这些特征：一开始Saskia画了张草图，用8个X代替8个人。
X X X X X X X X
1 2 3 4 5 6 7 8
这些X对Saskia来说并不是视觉符号，而是计算的变量，她用此寻找适当的公式。以下是Saskia和她的同伴Hanna在解决问题时的片段：
Saskia：我们需要一个公式。
Hanna：嗯？
Saskia：让我们系统地再检查下。写下8个人，然后一一划掉？
Hanna：我们可以这么做么？
Saskia：我们可以按照自己喜欢的方式！
Hanna：让我们写下所有过程。
Saskia：好了，我们简单地写上X，还有类似的东西。
Saskia并没有直接从她画的X中得出公式。相反，她写出了各种“方程式”以清楚地显示谁和谁碰了杯。
1=7；2=6；5=5；4=4；5=3；6=2；7=1；8=0。
在随后的采访中，Saskia对于数学的理解和其对数学的情感就明显地表现出来了，这更坚定了她是一个对分析型思维风格有偏爱的学生。这些偏爱可体现在如下三方面：
●对计算的偏爱；
●重视数学和公式的联系；
●对几何的厌恶。
在采访中，当问及数学对她意味着什么时，她说：我觉得一个人得一直想着公式。尽管一开始老师不说，但数学总归是和公式有关的。
后来她说道：我一点也不喜欢几何。怎么会有这种东西呢？！是谁发明了几何？！
(2)Hanna是偏爱直观型思维风格的例子。在问题解决环节中Hanna是Saskia的同伴。Hanna对于直观思维风格的偏爱可明显地从以下两个方面看出：
(a)使用心智模型。Hanna解决问题的典型策略是使用心智模型，将情境想象与图像表征结合起来。
(b)动作为主。在她解决问题的方法中，Hanna将动作与其可观察的想象的事物结合起来。通过这种方式，使得计算更加清晰。
总而言之，这种方法可视为动态的。为了说明这些特点我们仍然举碰杯的例子。一开始，Hanna和Saskia一起用了一张纸记录下她们的解决方法。前面已经讲到，Saskia用X来代表人，但是并没有把他们连接起来，因为Saskia认为这不重要。而相比之下，Hanna将这些X视作图表上的点，用线把这些X联系起来。以下片段展示Hanna和Saskia对X的不同理解：
Saskia：好了，我们简单地写上X还有类似的东西。
Hanna：你可以这样，只把它们视作8个点，这样我们可以用线连接它们。
因为Saskia没有在纸上画出连线，Hanna把线画在了桌子上，同时用一些手势来进行解释。
Hanna：嗯，如果8个人碰杯，一个人不会和他自己碰，但是会和其他人碰。【边说边用手比划着碰杯的动作】
Saskia：是的，那么它得到更多或者更少，或者根本没有？
Hanna：我碰过你的杯子之后，我们两个互相就碰过了。然后，如果现在排成一行，我和你碰杯，再和其他6个人碰杯。碰完后我站在一边或者站在边缘。接着轮到你，你在这排中碰一遍，当然不用再和我碰了。【边做手势，边用她的手指在桌子上画线】
很明显，作图对Hanna和Saskia来说有着非常不同的意义。对于擅长直观思考的Hanna来说，作图起到了解决问题的媒介作用。而对于Saskia，作图是一种记录的方法，记录结果和中间步骤，而这些不能被孤立地进行理解。
六、结论
本文旨在介绍不同的数学思维风格是如何运用扎根理论这一套方法进行重构的，及这项研究的潜在理论方法。此外，取得的这些成果展示了与这类研究高度相关的教学相关性：它在数学教学中的重要性显而易见。那些和教师拥有不同数学思维风格的学生可能在理解方面有一定的问题，如果教师能够意识到这点，并对数学事实运用不同的方式进行讲解，这类问题将会避免。这些结果与从其他研究中得到的结果相关联，其中Zhang & Sternberg(2001)指出：“从第三项研究中可看出，教师无意间就表现出对与其思维风格相类似的学生的偏爱”。因此，教师应该意识到他们自己的思维风格，一方面是为了保障学生的公平性，另一方面，也可提高教师自身的水平。