加涅学习结果分类理论对函数符号教学的启示
李伟东
（惠州市龙门县永汉中学 广东·惠州 516870）
摘 要 在教学中，每每与学生谈起函数时，学生们都感觉函数太抽象，太难了，问题主要有：看不懂、记不住和做不来等，本文旨在借加涅学习结果分类之理论，解函数符号教学实践之问题，以期改变学生对函数的看法，使其不再恐惧，更能获得五种学习结果。
关键词 函数符号 加涅学习结果 分类理论
函数符号具有形式的简单性，内涵的精确性，应用上的可操作性以及使用上的统一性等特征，对学习者的抽象思维有较高的要求。而皮亚杰认为：人的形式运算（抽象思维）能力并不会突然获得，而是在身体成熟和环境经验的共同作用下慢慢获得，一般会在15岁左右进入形式运算阶段，并且一些证据表明，相当一部分人在很晚的年龄才学会形式运算能力，而有些人甚至一直都没有获得这种能力。因此重视对函数符号的解释和辨别，创设环境，提升学生的抽象思维能力，是学生学好函数，重获自信的关键。受加涅学习结果分类理论的启示，围绕5种学习结果进行教学设计，寻求破局。
1 言语信息，取函数符号之意
言语信息是指通过言语传达信息的能力，即“知识”，“知道是什么”的能力。教学中，对函数符号的释义，宜做到简单易懂、深刻好记、能操作。
案例1：函数的定义符号。
函数定义符号表示定义域内任一个数
，在对应关系
下，都有唯一一个数
与之对应。具备言语信息的学生，不单能简单对定义符号复述和记忆，更能从具体的环境中表述和运用出来，如根据函数
获得
，g(g(0))=2等。另外，
还可延伸出函数的三要素，
的取值范围（定义域），
是函数的对应关系，
的取值范围（值域）。其中
由与
而定，为判断两函数是否相同做了铺垫。有了上面的认识基础，学生对抽象函数中出现的符号
理解为
所对的
，
理解为
所对
的平均值，便能抓住了符号的本质。
大石油公司围绕核心业务、重点资源类型构建勘探资产。埃克森美孚主要围绕深水、LNG和非常规在全球开展勘探业务。壳牌注重LNG和深水，巨资并购BG也是看中BG在深水和天然气领域的优质资产。埃尼、道达尔等规模相对较小的大石油公司重点发展深水。国际大石油公司在非常规领域并不占有先机，但通过并购有技术专长的美国本土小石油公司及自身研发来增强在非常规领域的技术实力。埃克森美孚、雪佛龙等美国本土公司都将页岩油气作为未来重回增长的重要领域，BP最近以105亿美元的价格击败壳牌获得了必和必拓在北美的页岩油气资产[9]。这都体现了国际大石油公司力图引领非常规的决心。
案例2：函数奇偶性、对称性及周期性符号。
其中ceil()为向上取整函数，floor()为向下取整函数。按照上述方法即可计算得到位于里程桩之间相隔为C的桩号编码。
若
，（T 为常数），则
的周期为T。括号内，不管
如何变化，
始终为常数T，它们对应的
相等，通俗地说，“任意
经过T个单位后，
回来”。变形符号有
等，如果通过推导：由
得周期为2T，对部分学生来说，难于接受。换种说法，“任意经过了T个单位，它们所对的
互为相反数或倒数，即 只回到了半路”，所以该函数的周期为2T，更易于被接受。对称性符号与周期性符号的区别信息是：括号内的数，和为常数与差为常数。
案例3：函数图象的变换符号。
在解释符号：
前，宜同化中点公式
找到学生的最新发展区。即不管如何变化，
与
是关于
对称的两个数，如果它们所对的相等，即函数关于
对称，如果它们所对的相反，即函数关于(a,0)对称。若a=0，即前者为偶函数，后者为奇函数。
函数图象的变换符号比较多，学生容易混淆或不会操作，通过下面的信息，便于辨别的同时还能兼备操作方法。如
，对比前后两个函数，对
加减，即左加右减，对 加减：即上加下减；
，对乘a，看
定伸缩，对
乘a，看a定伸缩（a>0）。
2 动作技能，得函数符号之形
一些普通高校继续教育学院并没有意识到举办社区教育的重要性、紧迫性，还停留在成人学历教育层次上，对服务社区成员的社区教育存在着轻视、歧视和无视的错误认识。一些高校继续教育学院虽然认识到社区教育的重要性，却找不到介入社区教育的合适方式、途径和模式，无场地、无师资、无经费、无课程，思想上处于观望，行动上难以向前迈进。
达斡尔传说中认为除夕的夜晚已故亲人的灵魂会回家来探访，其它游魂也会回到人间到处游串。所以家家户户都要把门窗上的缝隙封好堵严，以防游魂野鬼进入家中；除夕夜晚与该年同属相的人不准出门；除夕夜晚不准在室外呼叫孩子的名字，怕被鬼魂带走；除夕一整夜不许关灯，要放置长明灯。
例1：下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是()
函数符号教学中动作技能的培养，主要体现在函数作图，教学中要培养学生三种作图技能：第一，在理解函数定义的基础上，利用描点法（从多点到关键点）作出具体函数的图象，同时能根据图象逆向理解相关定义。如图1，通过多个描点到提炼出三个关键点画出函数
图象。如图2，能根据函数
的图象，理解函数的单调性定义，尤其是其中对任意性的描述，体验函数在(
，0)∪(0，+
)上并不单调递增。
（图1）
（图2）
第二，能根据函数符号的信息，画出草图，并根据草图逆向理解函数性质。如图3，理解函数的奇偶性和对称性，同时可以借用几何画板追踪点的踪迹，印证函数的对称性，如图4。
图3
图4
图5
第三，能根据符号信息，对函数图象进行各种变换，如图5。
动作技能是指将各动作组成连贯、精确的完整动作的能力，如绘制函数图象，制作几何模型等。
3 智慧技能，索符号之果
智慧技能是指运用符号与环境相互作用的能力、运用概念和规则办事的能力，即“知道如何去做”的能力。习得函数
=
概念及其三要素的学生，能辨别出函数的正例和反例，能对函数同属归类，如：
灵山岛尖九年一贯制学校项目选址于广州市南沙新区明珠湾区起步区，总用地面积70896m2，总建筑面积73581m2，总班数72班。项目建设内容包括：教学楼、行政管理用房、生活服务用房、图书馆、体育馆、报告厅及其他配套辅助用房等功能，并配套运动场地、道路广场以及绿地等室外工程等。本项目为EPC项目。
图6
例3：在
这四个函数中，
当
时，使
恒成立的函数的个数是（）
同时，具有作图的意识，利用数形结合的思想解决问题。如：
例2：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
目前，中小制造企业也有着不少挑战，比较明显的问题为：①过于注重关系渠道而非用户渠道；②缺少核心业务竞争力；③人力管理过分依赖命令和控制；④决策流程过于单调，未能兼顾企业发展方方面面；⑤人才激励制度的欠缺；⑥信息化水平不高。
（A）.0 （B）.1 （C）.2 (D).3
学生在理解符号
和
的基础上，通过图6，认识凹凸性，最终确定答案为B。
具备智慧技能的学生，不仅仅是对例题的模仿，更是抓住概念和规则的本质，灵活应用到不同的环境中去。如：
对于船舶连续减速过程，此处称之为船舶减速连锁效应，该效应会导致航道内的船舶交通处于阻滞的状态，应尽量避免航道内发生船舶连续减速过程。
例 4：函数
的定义域为_____。
学生除了能顺利解决此问题，对其各种变形也应应对自如，如变换条件：
变式1：已知
，则函数
的定义域为_____。
三是探索建立博士后成果产业园区。参照工业园区、高新技术区、创业园区模式，创办博士后实验园区，建立实验基地，将价值大、成熟度高的科研成果移植到园区，进行规模开发。盘活已建立起来的北京和青岛两个高新技术研发中心，依托科研项目，依托改制企业，一个项目加一个单位，即为一个实验基地，发挥更大辐射作用。
4 认知策略，授之以渔
认知策略是指指导自己注意、学习、记忆和思维的能力，控制自身内部技能的能力。经过循序渐进，获得以上三种技能后，学生们对函数符号的辨别和识记，对作图步骤和技能，对问题的思考和方向都有了初步的认知，教师可以引导学生归纳总结出学习函数的方法，构建知识，形成程序：定义、符号的理解→图象的作法→看图分析函数性质→利用知识解决问题，并迁移到具体函数的学习上。Thorndike练习律告诉我们，已形成的联结得到不断应用，联结便得以加强。当学生坚持用此种学法学完基本初等函数后，相信学生对函数的认知水平会不仅是上升一个阶层，更是获得一种学习函数的方法。
5 态度，启动学习内驱
态度是指影响个体行为选择的心理状态，表现在对数学学科、对数学兴趣、对数学具体内容的态度。学生对函数符号不再陌生，自然就会消除了恐惧，不再觉得函数太抽象，知道符号表达的是什么，并尝试利用图象将其形象化，应用智慧技能试着解决问题。从陌生到熟悉，从抽象到形象，从无到有，过程中，学生收获了知识，体验了成功，对函数的看法有了改变，使刺激与反应间联结形成的同时，伴与愉快的情绪体验，学习效果便得以加强，使得“要我学”向“我要学”成为可能。
总之，加涅学习结果分类理论对函数符号教学设计具有很强的指导意义，围绕5种结果进行教学操作，学生更易于理解、辨别、识记和应用符号，同时使得目标更加明确，评价教学或学生学习效果可操作性更强。
参考文献
[1] 何小亚,姚静.中学数学教学设计[M].科学出版社,2008.
[2] 王宽明.中学数学符号释义及其教学[J].韩山师范学院学报,2010.
[3] 罗伯特·费尔德曼.发展心理学——人的毕生发展[M].苏彦捷,邹丹等译.世界图书出版公司北京公司,2013.
[4] 蔡小雄.更高更妙的高中数学一题多解与一题多变[M].浙江大学出版社,2016.
中图分类号： G720
文献标识码： A
标签：函数符号论文; 加涅学习结果论文; 分类理论论文; 惠州市龙门县永汉中学论文;