构建学生容易理解的数学教育形态——数学和人文意境相融合的10个案例，本文主要内容关键词为：数学论文,意境论文,形态论文,人文论文,案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
自19世纪下半叶以来，数学的呈现方式日趋形式化，定义、定理、证明、推论多以简洁而抽象的方式加以陈述。H·弗赖登塔尔这样描述：“没有数学思想如当初刚被发现时那样被发表出来。一旦问题解决了，思考的程序便颠倒过来，把火热的思考变成冰冷的美丽。”可以说，书本上陈述的某些数学过程，是一种严密的学术形态，呈现出冰冷的美丽。数学教师的任务，就是把它们重新颠倒过来，使它们以学生容易接受的教育形态呈现出来，即将冰冷的美丽变成火热的思考。
中小学教育是基础教育。虽然有一些数学学习优秀的学生，可以轻松地跨过“抽象”的门槛，严密地按照形式化的叙述把握数学的含义，但还有相当多的学生不能接受这样的数学，他们总是把数学看成是“天书”，与自己的思维挂不上钩。人是社会的动物，人的认知过程是一个整体，人文的、科学的、生活的、数学的种种认识，相互交织在一起。因此，学生要理解数学，需要从个人的社会经历以及精神生活中寻求思维的契合点，实现数学思维的建构。目前的教学理论要求创设实际情景，联系学生的日常生活，让学生动手操作，这样做的目的就是为了把各个学科的学术形态转变为教育形态。
目前的问题在于，并非所有的数学都能有实际的儿童生活情景给予支持。联系学生的日常生活，不是越具体、越生活化越好。值得注意的是，火热的数学思考，往往来源于许多人文的“意境”。学生一旦找到这种意境，就会有豁然开朗的感觉，好像把“窗户纸”捅破了，看到了数学的本质。人性化的数学，不该是很干巴、很冰冷的面目。本文试图用10个案例，说明数学可以通过不同的方式，呈现为学生容易理解的教育形态；着重介绍被大家忽略了的“人文意境”式的数学教育形态，学生以这样的教育形态为“抓手”，可以进入火热的数学思考。
案例1：关于质数与合数
著名的特级教师顾汝佐先生曾对笔者说，他曾挖空心思为小学数学知识寻求实际生活背景，对许多小学数学知识都能或多或少地找到一些生活原型，而对“质数与合数”而言怎么找都没有找到。不过，我觉得学生对质数与合数的理解不应十分困难，因为“整体与部分”“分解与组合”的人文意境学生非常熟悉，教师可以将其移植过来。例如：
●一句话可以分解为一些词和字。“我是小学生”可以分成“我”“是”“小学生”。“小学生”是由“小”和“学生”组成的。“学生”不能再分了。
●一个玩具可以被拆成一些零件，有些零件可以被再拆，有些零件则不能被再拆了。
●用七巧板拼成的很多图形可以被拆成许多图形，不能被再拆的图形只有7个。
这就是说，对于质数与合数，虽然我们可能无法找到实际生活情景将其直接加以显示，但是通过“组合与分解”“拼装与分拆”的意境，学生能够接受质数的概念，从最原始的数学思想层面进行火热的思考。
案例2：关于0是自然数
自然数系一向从1开始。然而，从20世纪下半叶开始，许多专家逐渐认为0也是自然数，而且是第一个自然数，1993年，中国文字改革委员会也正式宣布这一结论，人们据此开始改编数学课程。
许多人对自然数从0开始不习惯。其实，从人文意境上看是可以找到契合点的。这里我们举出三种不同的思考意境。
●一个盒子原来是空的，后来往盒子里放进一块糖，再放第二块糖，放第三块糖……所以从意境上考察，一开始总是先“没有”，再出现“有”。这就是说从0开始，原来是很自然的。
●老子《道德经》有“道生一，一生二，二生三，三生万物”。“道”可以看做是宇宙本来只有虚无的“道”，然后才产生具体的、实在的“一”，接着是二，是三，乃至无穷。道相当于0。
●冯·诺依曼用集合的语言，特别是“集合组成的集合”和存在空集这两个约定，简约、清晰、准确地构建了自然数体系。具体步骤如下：
案例3：一个分数是一个等价类
分数对六年级学生而言是一个学习难点。教材中有一个关于分数的所谓基本性质：“一个分数的分子和分母同乘以或除以一个相同的非零数，分数的大小不变。”于是，就有了令学生头疼的“最简分数”，以及“约分”“扩分”和“通分”。
从数学上看，所谓“分数的基本性质”是一句回避本质的话。实际上，分数是一个等价类。等价类是不能回避的，我们可以从实际生活中找到类似的意境。
●我们可以把一个分数看作是一个群体。例如，一所学校，学校里的老师、学生都是平等的一员，每个成员各有各的用处。校长相当于“最简分数”；但只有“最简分数”是不能完全代表分数的。分数相加时需要通分，就要找一个最小公倍数为分母的分数才能进行，这好比学校要参加全市学生运动会，就要派本校的学生去参加；奥林匹克数学竞赛的教练，要由数学教师来担任。这样一比喻，学生也就明白了。
●我们也可以把一个分数比喻为一个“大家庭”，家庭成员各自扮演不同的角色。
●我们也可以把一个分数比喻为一个学生可以穿着很多种服装，校服、运动服、舞蹈服等等，学生在不同场合穿不同服装，但本质上都是同一个人。
“比喻”，说明许多思维方式存在着共同之处。用常识理解数学的意义，可以采用某些意境上的共性，通过适度的比喻，把复杂的问题简单化。
案例4：
有“和谐美”吗？
分数的加法计算起来比较麻烦。学生常常把分子和分母分别相加，造成这样的错误。其实，平心而论，产生这种错误来自人的天性：和谐之美。我们如果讲究人性化的数学，就不该批评学生，反而要赞美他们具有某种“合情猜想”意识，可惜的是合情不合理，结果是错的，非常令人惋惜。试想，当初的数学家一定也希望分数的相加，恰好是分子、分母分别相加，后来，他们发现在数量上这两者是不相等的，所以才想到要通分，实行同分母相加，并成为一条运算规则。
总之，发生的错误，是意境上的问题，不是记忆问题，更不是“笨”的表现。
遗憾的是，我们在纠正的时候，却往往发现学生会出现
这样的错误。学生以为分子、分母分别相乘这样的“和谐”都是错误的。我想，我们应该知道问题之所在了。
案例5：“比”，作为普通名词和数学名词
比，是比较的简称。它既是数学名词，也是普通名词。语文教学中早就有“比”的用法，根深蒂固。现在数学中又出现“比”，教师却不加以对照，指出两者的区别，难怪学生要糊涂。一般的，“比”有以下几种用法。
●一般的质量之“比”。例如，我们说A比B美观，A比B健康等。
●一般的数量之“比”。例如，我们说A比B高2厘米，A比B大3岁。此外，我们也可以说足球赛的比分是3:0。
●特定的倍数之“比”。即A是B的若干倍，写成A:B，这时B不为0。
●广义的除法之“比”。泛指一切除法中被除者和除者的关系。这包括“分式”的情形。例如，我们说“(x+1)/(3x-5)”是(x+1)和(3x-5)之比。tanθ是sinθ和cosθ之比。
在小学数学里，“比”是专有名词，意为倍数之比。“比”在数学和人文的思想意境中，既有联系又有不同，为什么教科书不指出，课堂上教师又不强调呢？人性化的数学教学不应如此。
案例6：火柴可以是半射线的原型吗？
一条半射线是由原点出发，向一个线段的右面无限延长的几何图形，选取单位之后，正的有理数都可以在上面被标志出来。但是，我们实际能画出来的数射线，只是有限部分：一点O，一个指向右方的箭头，以及单位1。
有个教案认为，小学生认为“火柴”像射线是错的，因为它有限。于是，教师拿出手电筒，一束光线从手电筒射向远方，教师认为这就是数射线和日常生活相联系。
了解数射线是否要借助手电筒，是一个值得讨论的问题。人脑不仅仅起照相机的作用，它具有很强的能动性。直线本身是一个想象中的数学对象，它无宽、无厚，通过两点间确定的线段，向两端无限延长而成线。人们能够感受的只是有限的直线段，包括手电筒发出的光线，也是有限的，无限永远存在于想象之中，反倒是“火柴”很像一根半射线，有起点，有方向，符合可以无限延长的想象。
案例7：负数教学中的“抵消”
负数是中国古代数学的辉煌成就之一，它并不难懂，足球比赛的输赢，个人财务中的收入和支出，都是现成的模型。现在有些教师用温度计横摆引入负数，乃是败笔。负数之难学，在于运算。温度不便计算，不是好模型。
关于负数的加减，课本里有许多用黑体字书写的规则，综述如下：如果是同号数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。如果是异号两数相加，应先判别绝对值的大小关系，如果绝对值相等，则和为0；如果绝对值不相等，则和的符号取绝对值较大的加数的符号，和的绝对值就是较大的绝对值与较小的绝对值的差。一个数与0相加，仍得这个数。
总之，按照课本的规则，首先要了解绝对值，然后把用黑体字写出来的正负数加减运算的规则背诵记住，练习操作。其实，一个正数和一个负数的加减规则，教师用一个词“抵消”，学生就全明白了。一场足球赛，对方进球5个为-5，我方进球3个为+3，“抵消”之后，当然是输两个，结果是-5+3=-2。与其死记那些黑体字，用“抵消”这样的教育形态，更容易被理解。再看看教师自己头脑中的正负数加减规则，实际上也是“抵消”在支撑着，教师并不会想到“绝对值”之类的黑体字。
抵消，就是正负数加减的教育形态，就是教师进行火热的数学思考的意境。
案例8：负负得正的乘法规则
负负得正，是很令人头疼的乘法规则。那么什么是负负得正的理由呢？新版教材以问题串的形式，引导学生观察、探索、分析、推理，归纳出负负得正的规律。据说在学习过程中，学生不仅掌握了知识，还发展了合情推理的能力。许多教案的设计也是让学生去“发现”。
但这样做的效果如何呢？往往是事倍功半，吃力不讨好。宁波的黄伟健老师告诉我，学生理解负负得正都是用相反数的概念，否定之否定就是肯定，两次否定回到原地。一个生动的比喻是：“不得不做就是要做。”一语点破，数学学习比较困难的学生也能理解了。
试问，每位数学教师做负负得正的乘法运算都非常熟练，可是有多少人还记得那些黑体字书写的规则呢？留在脑海里的，恰恰就是相反两次回到原来这样的思考，就是“不得不做就是要做”这样的意境。
案例9：直线上升与指数爆炸
有一堂公开课，讲指数函数，教师从细胞分裂入手，得出
，然后定义一般的
，a≠1，中规中矩，滴水不漏，讲得很不错。但我总觉得不满足。在通俗语言中，有直线上升、指数爆炸的说法。上升和爆炸是不同的语文意境。我们将它们做比较，可以看出指数爆炸的具体情形（以前教师喜欢用国王在棋盘格子上赏米的故事），联想到计算机的速度跟不上指数爆炸，更有现代意义。
这里不免会有一些离开数学的题外话，但却依然是火热的数学思考。
案例10：平移、旋转的数学本质：不变性
一位数学特级教师在讲平移、旋转时，从汽车前行说到平移，从游乐场的大转盘说到旋转，教师用多媒体展示，学生动手操作，热热闹闹一堂课，介绍了平移和旋转这两个词的意义。我疑心这是一堂语文课。
语文意境必须与数学本质相联系才是数学课程的目标。数学上的平移必须指出方向和距离，旋转必须指出旋转中心，特别是，变换的核心思想是不变量。
还有一堂课讲“乘法交换率”，整堂课教师就是围绕“交换”一词做文章，忘记了交换之后的不变性。讲“两个学生交换位置”，却没有讲教室里的人数没有变。火热的思考不能局限于日常生活，语文意境必须联系数学的本质，这是数学人文化必须注意的。
最后，我们来谈谈无限和极限。
数学是直接研究无限的唯一学科。最接近数学中无限概念的文学意境也许是杜甫的《登高》，其中有“无边落木萧萧下，不尽长江滚滚来”两句。仔细琢磨，似乎“无边”和“不尽”说的是“实无限”，而“萧萧下”与“滚滚来”则描述了动态的“潜无限”。诗人当初未见得有这种数学思维，但就意境来说，相当接近，令今天的学子可以直觉地有所感受。
说到极限，大家熟知的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是一个著名的例子。出自《庄子》的这段话，文学味道还不足。数学名家徐利治先生在课堂上讲极限的时候，总要引用李白的《送孟浩然之广陵》一诗，用“孤帆远影碧空尽”一句，让大家体会一个变量趋向于0的动态意境，煞是传神。更有意思的是用诗句描述“无穷大”和“无界变量”的意境。
把数学转变为学生容易接受的教育形态，方法很多。这里，笔者只是谈到使用人文化的表述方式更容易使学生亲近和领会数学。数学教学如何“以人为本”，努力符合人的认识规律，还是有许多事情要做的。