课堂试题与道的教学与思考与工作的一般方法及其在课堂与道中的作用_数学论文

功在通法，效在课堂———道中考题的教学与思考，本文主要内容关键词为：考题论文,道中论文,在课堂论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      中考复习课的重要性不言而喻，复习课的设计、例题的选择是上好复习课的关键，而例题的解答又是提高复习课效率的重要保证.本文以一道中考压轴题的解答为例，谈谈个人对中考复习课教学的一点思考.

      一、考题展示及学生初解

      题目 问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，填空：

      （1）∠AEB的度数为________；

      （2）线段AD，BE之间的数量关系是________.

      拓展探究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由.

      解决问题：如图3，在正方形ABCD中，CD=

.若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离.

      （2014年河南省中招考试数学试题）

      

      “问题发现”的第（1）小题易通过“SAS”证明△ACD≌△BCE，从而AD=BE，∠BEC=∠ADC=120°，进而可得∠AEB=60°.“拓展探究”将等边三角形改成了等腰直角三角形，与第（1）小题类似，可得结论：∠AEB=90°.大部分学生做到这里就结束了，CM，AE，BE之间的数量关系出乎意料地几乎无人正确解答，至于“解决问题”那自然是“无人问津”了.

      二、受阻原因及正确解答

      对于“拓展探究”中CM，AE，BE之间的数量关系，大部分学生思维受阻是由于受平时解题“思维定势”的影响：判断2条线段的数量关系就是相等或2倍（或

），如“问题发现”中的AD=BE，3条线段的数量关系一般只从三者之和或者差方面考虑.笔者曾尝试将“问题发现”改为判断CD，AE，BE之间的数量关系，则大部分学生能想到CD+BE=AE，但结论变为AE等于CM的2倍与BE的和，学生就不敢“越雷池半步”了.事实上如果仔细观察图2，可知CM是等腰Rt△CDE斜边上的高，从而DE=2CM，且AE=AD+DE=AD+2CM，其中AD=BE，这时得出结论AE=2CM+BE也不算太难.

      对于“解决问题”，虽然只要直接写出点A到BP的距离，但是摆在面前的问题至少有2个：一是不会读题、画图，不知道哪条线段表示点A到BP的距离，从而根本就无法求解；二是即使画出了草图，也看不出与第（1）小题、第（2）小题的联系，想不到如何添加辅助线构造模型，从而无法求解.造成此时解题受阻的重要原因就是缺乏正确的思维方法，没能将本题中3个问题由特殊到一般的内在联系揭示出来，而是孤立地思考问题.笔者在教学时对这个看似“高不可攀”的压轴题进行了画图分析、解法分析和总结通法3个方面的尝试.

      教师首先引导学生正确画图.由PD=1，可知点P在以点D为圆心、1为半径的圆上.由此点P是这2个圆的交点.而画出这2个圆后发现显然有2个交点，于是分2种情况（如下页图4和图5所示）.因为要求点A到BP的距离，所以需作出表示此距离的垂线段，即过点A作AM⊥BP，垂足为点M.

      

      然后教师与学生一起分析了以下几种解法.

      1.利用解决第（1）和第（2）小题的经验

      当点P在如图4所示的位置时，连接PD，PB，PA，过点A作AP′⊥AP，交BP于点P′.由PD=1，CD=BC=

，∠BPD=90°，可得BD=2，BP=

.因为点A，P，D，B共圆，所以∠APB=∠ADB=45°，故△PAM是等腰直角三角形.又因为△BAD是等腰直角三角形，点B，M，P，P′共线，AM⊥BP，所以由第2）小题的结论可得：BP=2AM+PD，从而得

      

      当点P在如图5所示的位置时，同理可得

      2.构造全等三角形

      因为PD=1，∠BPD=90°，所以BP是以点D为圆心、以1为半径的圆D的切线，点P为切点.

      第1种情况：如图6，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，构造了全等三角形，即△APD≌△AP′B，从而PD=P′B=1，又CD=

，可得BD=2，BP=

，进而可求得

      

      第2种情况如图7所示，同理可求得

      

      3.利用勾股定理

      

      4.利用双直角三角形

      

      类似地，如图9，可在△ABP中过点B向AP作垂线，得到有公共边的2个特殊直角三角形（有30°角的直角三角形和等腰直角三角形），从而求得AP，进而求得AM.也可在△ADP中过点D向AP作垂线，同样得到有公共边的2个特殊直角三角形，从而求得AP，进而求得AM.甚至还可以利用在△ABM中，∠AMB=90°，∠BAM=15°，AB=

，由这个特殊直角三角形构造双直角三角形求得AM.此法技巧性较强，这里不作阐述.

      

      三、教学症结与解决策略

      1.教学“定势”与解决策略

      不难想象，学生解决“拓展探究”的思维定势多少受教师平时教学定势的影响.特别体现在我们解决问题时总是按照习惯性的思路和方法去分析，这种习惯在与所要解决的问题思路恰好一致时能产生思维定势的正迁移，有利于问题的解决，但如果这种习惯与所要解决的问题不同甚至相反时，就会产生思维定势的负迁移，使解决问题陷入误区[1].试想，我们在平时的教学中，对于判断3条线段的数量关系不是2条线段之和等于第3条线段就是这2条线段的差等于第3条线段，有第3种关系吗？几乎没有！就像我们要证明直线与圆相切一般都是“遇（圆上的）点连半径证垂直”，几乎没有“无点作垂直证”一样，因为我们平时所遇到的题目（包括中考题）基本上可以说是前者.这样的教学当然会“固化”学生对解决该类问题的方法，束缚学生对该类问题的认识，最终弱化学生的思维.那么如何克服思维定势的消极影响呢？

      首先，要加强概念的教学，明确概念的内涵与外延，使学生牢固掌握“四基”，以助于认清问题的本质.其次，不仅要让学生掌握知识还要让学生掌握方法，平时教学中多结合具体问题分析其中所蕴含是数学思想，不断鼓励学生发现问题，突破原有定势，引导学生一题多解、一题多变，培养学生多角度、多方位发散地看问题.再次，注意收集、整理容易产生思维定势的问题给学生训练，让学生对自己的错误产生深刻的认识，对自己形成较强的刺激，从而克服思维定势的消极影响.

      2.教学“误区”与解决策略

      读题能力是学生必备的一种基本能力，而目前，许多教师在平时的教学过程中往往不够重视，有时为了节约课堂宝贵的时间而代替学生读题、“帮助”学生画图.殊不知教师在读题时总是会对关键字或者关键关系加重语气，这样就能引起学生的注意从而“帮助”他们思考.同时教师“帮助”学生画图显然会造成学生的依赖心理，不利于学生动手能力的培养，其结果是教师在前面讲得口若悬河，有些学生上课自认为能听懂，还有些学生在下面听得云里雾里，遇到独立解决的问题时还得“碰运气”、“吃老本”以至于出现“这种题目我讲了多少遍怎么考试还是错”的情况.

      数学读题是一个包含认知、记忆、理解等多种元素的复杂的心理活动过程，是学生自主获取知识的一种学习过程，它不仅仅是读的过程，而且是动口、动手、动脑的有机结合和统一协调的过程.数学教师要认识到学生独立读题的重要性，从而更有效地培养学生自主读题的意识和能力.上课过程中有意识地给学生传授读题的方法，如边读边在重点条件上做着重标记、边读边将相关条件“翻译”成通俗用语、边读边将相关已知条件在图形中标出，放手让学生自己去读懂题、学会读题.不仅如此，还要让学生明白读题是解题的基础，让学生尤其是后进生感到他们能通过读懂题成功地解决一些问题，激发学生学习数学的兴趣，从而提高学生的数学能力.

      3.教学“软肋”与解决策略

      习题讲评是初三数学复习一种最常用的授课形式.好的习题讲评既能复习巩固基础知识、基本技能、基本方法及基本活动经验，又是对知识进行梳理、整合、再运用的过程，也是师生共同探讨解题通法、提炼数学思想、优化思维品质的重要举措.但在平常的初三数学复习课中“就题论题”往往是最常见的，谈不上一题多解，更谈不上解决问题以后的优化提升及反思，久而久之学生思维受到严重束缚，遇到不同问题时根本不会思考.本该高效的习题讲评结果成了初三复习教学的“软肋”.如何激发学生的思维，使学生学会思考，使初三数学习题讲评更高效呢？

      作为数学教师，首先，不仅要明确所讲问题有几种解法，而且要清楚本题哪一种解法最适合，适时引导学生探求一题多解，并对方法作比较，从中挖掘通性通法而不是注重解题技巧.通过对问题多种解法的思考、比较，学生的学习兴趣将大大增强，思维能力将得到有效提升；其次，要引导学生对数学学习过程进行反思，要给学生时间反思自己在解决问题时何处思维受阻、哪里出现过错误，解决问题后启发学生总结解题思路，提炼数学方法，揭示问题本质，提升解题能力，进而不断生成智慧.通过解题后的反思，将会形成层次更高的经验，为进一步学习解决问题的最优化作准备.长此下来，学生的数学素养自然得到提升，也有利于学生今后的终身发展，这样的初三数学习题讲评效果应是我们所不断追求的.

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