初中概率教学“鸡肋说”的根源分析——兼谈一个教学案例的启示，本文主要内容关键词为：鸡肋论文,概率论文,根源论文,启示论文,教学案例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
19世纪法国著名数学家拉普拉斯说：“生活中最重要的问题，其中绝大多数在实质上只是概率的问题”.然而现实却是初中概率教学一直备受冷落，有的教师甚至说这部分内容如同“鸡肋”，弃之可惜，食之无味.这种状况是怎样造成的？作为教师的我们又该如何改变概率教学无奈的现状？本文就此与大家一起探讨.
一、初中概率教学“鸡肋说”的缘由
初中概率教学遭受冷落，有其复杂的原因，概括一下，可能有如下几个方面：知识的原因、教师的原因、学生的原因和教材的原因.
1.知识的原因
概率论是研究随机事件发生规律的学科，它的存在历经四百余年，逐步发展成一套完整的理论体系.概率知识高度抽象，其独到的说理方式，与数学其他分支所具有的因果关系、逻辑关系等确定性思维方式形成很大反差，从而造成了学生的理解困难.例如教“三角形任意两边中点的连线平行且等于第三边的一半”时，只须作图，并稍作推理，学生就能接受这一事实，但若教“掷一枚匀称的骰子，掷得1点的概率为1/6”时，教师却不能在数次或几十次试验后，保证学生能观察到这一事实.而且要让学生接受“用大数次试验中频率的稳定值作为概率的估计值”这一观点，也并非易事.
从另一方面讲，概率论特殊的研究对象也导致了其研究方式，与研究确定性现象的其他数学内容有天壤之别，随机现象的统计规律必须在大量同类随机现象中才能呈现出来，所以，观察、试验、调查就是概率统计这门学科研究方法的基石.
概率概念的抽象性及研究方法的特殊性，常常给教学带来不小的挑战，面对与之前学习内容如此不同的一门学科，短短几课时的教学往往容易流于形式，不能触及学科的内涵实质，从而使得课堂教学如同“鸡肋”.
2.教师的原因
在“应试教育”为主导的环境中，多数教师遵循“考什么就教什么，怎么考就怎么教”已成不争的事实.如果把“概率与统计”的教学定位于应对考试，那就太简单了，因为不论你如何学习和钻研，试卷中的统计与概率的内容不会很多，而且多为基础的题目，例如2011年北京市中考数学第6题：
一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
这道题对于大多数学生不会造成困难，甚至不学概率也能把分数拿到.假如教师仅仅盯着学生的分数，那么这种几乎不用费什么工夫，就能帮学生拿到分数的内容，自然成了教师眼中的“鸡肋”.
从教师的知识储备看，概率作为新增内容下放到初中，对于长期在初中任教的年龄偏大的教师而言，会遇到许多知识上的困难，谈及概率，能较为准确的表述“古典概型、几何概型、概率的统计定义”已属不易，能从“大数定律”的角度理解“频率的稳定性”者，更属凤毛麟角，在没有机会接受新知识培训的条件下，甚至在教学中会出现“现学现卖、照本宣科、多说一句怕错了”的情况.如此执教，概率的思想方法难以揭示，学生的学习兴趣无法激发，没有碰撞出火花的课堂自然也没有能力让学生真正认识这个充满概率的世界.
3.学生的原因
学生在从小学到初中学习数学的过程中，长期研究确定性问题所形成的思维定势，使他们不习惯研究不确定性问题，由此造成了领悟概率知识的一些障碍.一方面限于初中生的认知水平和理解能力，不可能（也无必要）用数学的形式化方法讲解概率知识，建立概念和理论；但在另一方面，现实生活先于数学课程把概率的相关知识推到学生面前，导致学生在正式进入概率教学之前就已经形成了一些错误概念，如“我们知道了某电视厂次品率是千分之一，但还是可能买到次品；知道彩票中奖率是百分之一，但买一千张还可能不中奖.既然如此，学习概率还有什么用？”有趣的是，与“考试”相关的概率计算，并不是学生的困难所在，经过几次教学，学生完全可以掌握简单的运算，但这并不意味着学生就真的能理解他们的计算结果了，也不意味着他们已经完全放弃与理论相悖的直觉了.没有学习者的积极参与，概率教学的课堂必然是沉闷的.
4.教材的原因
以京教版初中数学教材第15册（初二第一学期用，以下称教材）14.3（求简单事件发生的可能性）为例，课本147页设计了这样一个摸球试验（下称课上试验1）：
口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中4个红球，1个黑球，从口袋里随意摸出一个球，“摸出红球”的可能性是多少？
教材仅通过课上试验1，就分析、归纳出计算公式：“P（所求事件）=
”，这样的设计基于多数初中学生的接受能力，简单直接，原本无可厚非，但对于我校生源基础较好的学生群体来说，在过去的教学中竟引起了以下两大困惑：
（1）因为有4个红球、1个黑球，所以P（摸到红球）=
，这明明是“红球个数”与“总数”之比，可是教材上为什么把“”说成是“摸出红球的可能结果种数”与“摸出一个球的所有可能结果种数”之比？
（2）动手试验结果为什么与可能性的大小不一致？如某同学称：摸出红球的可能性是，但我进行5次摸球试验，却没有摸到红球，这是怎么回事？
这些困惑把师生陷到“想说清楚不容易”的境地，自然品到了“鸡肋”的滋味.
二、教学案例给予的启示
课前研讨：为了搞好14.3的教学，我们初二数学备课组对学生产生上述困惑的根源进行了认真研究.首先，大家查阅了高中教材人教A版数学必修3，发现概率知识的呈现方式是，在相同条件下进行大量重复试验，在发现随机事件发生频率稳定性的基础上，介绍的概率统计定义，然后在古典概型中根据每个基本事件等可能发生，推得它们发生的概率相等，而有限基本事件的“和事件”是“必然事件”，利用这些等可能发生的互斥事件的概率和为1，近乎严格地推导出古典概型的概率计算公式
相比之下，初中教材15册虽然也在“探究与应用”栏目中，安排了“投币试验”，试图渗透用频率估计概率的思想，但这部分内容安排在14.3（求简单事件发生的可能性）之后，即使在14.3之前的14.2（事件发生的可能性）中，安排了一点试验，但旨在说明随机事件的不确定性.由此决定了学生在学习14.3（求简单事件发生的可能性）的公式之前，并没有多少关注试验结果的意识，没有想到、也不可能想到试验应关注“所有不同的试验结果种数”.于是，困惑1就说明学生受数字巧合的影响，仅从“球的个数”角度给该计算公式一个自圆其说的解释（显然是错误的）.困惑2则反映出学生对概率意义的理解出了问题，“5次摸球没有摸到红球”就如同“今天降水概率是90%，但却没有下雨”一样，都反映了事件发生的随机性.两个困惑其实还可能有着共同的根源，即学生没有经过大数次重复试验，没有认识到概率是对随机事件发生可能性大小的度量，没有从试验结果发生频率稳定性角度去理解概率.
找到了问题的症结，我们备课组多数教师认为，虽然限于初中生的接受能力，不能像高中必修教材数学3那样讲授概率，也不能把“随机事件共有多少种可能发生的结果？”“每种结果发生的概率如何？”这类透彻研究随机事件的问题一股脑推至初中生面前，但我们的学生学习基础较好，思想比较活跃，教师应该顺势而为，如果还用灌输、重复训练、把概率讲解成单纯的算术计算等功利性方法，就难以避免学生学习概率过程中产生类似上述的困惑.所以，我们要致力于学生对概率知识实质的理解.于是，我们设计了三个试验，即在“课上试验1”前、后分别增设一个试验：
课前投币试验：将全班学生分为5人一组的若干个试验小组，各组的每一位同学用1元的硬币任意掷20次，计算20次实验中“正面朝上”事件出现的频率.并累计全班各组的试验数据，进行分析.
课上试验2：口袋里有3个除颜色外都相同的球，其中2个红球，1个黑球，从口袋里任意摸出两个球，摸出一红一黑的可能性是多少？
课前试验着眼于解决学生的困惑，使学生领略到随机事件在多次重复试验中才能体现出来的频率稳定性，这个频率的稳定值可以刻画简单事件发生的可能性；课上试验1试图在课前试验的基础上，凭借理性思维，得到在多次重复试验中，摸出5个球中的任一个机会均等，次数趋同，进而推算出频率稳定值，提炼出简单事件发生的可能性的计算方法；课上试验2想引导学生关注不同试验结果种数，以避免“困惑1”中，试验结果种数与球的个数巧合所引起的误导.
但也有人提出了反对意见，理由是对于初二学生来说，我们没必要从频率的稳定值角度去认识概率，教材更多的地方还在用“可能性”替代“概率”，这足以说明教材对概率教学的定位不高，我们何必自讨苦吃？
最后，我们备课组兼顾了两种意见，商定全年级八个班，选4个班实施三个试验，另4个班不做课前试验，只进行课上两个试验，为了更利于有比较、有鉴别地观察学生的学习行为，我们还调整了八个班的进度，由本文第一作者在一周内完成八个班的教学.
授课过程简介与对比
在实施三个试验的四个班中，教师汇总了学生的实验数据，然后部分的累加，在学生的帮助下，借助媒体技术，绘制了折线图，下面是四个班中的一幅：
从第一个班开始，学生根据折线图，就发现了随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在数值0.5附近这一事实.在后续几个班上课时，教师先现场作本班的折线图，然后再把前面各班所做的折线图一并展出，让学生观察，这些图虽然数据各异，但“正面朝上”的频率趋向0.5却表现出惊人的一致.在学生惊叹之余，教师又把历史上做“投币试验”的一些更大数据展出（见下表），以加深学生对频率稳定性的认识.
课前试验中，频率稳定在0.5左右的事实使学生感到异常兴奋，导致做课上试验1时，许多同学主动提出要把全班的试验数据累计起来，当与真实的可能性相差较大时，又有学生提出要增加试验次数.看到学生热烈的情绪，教师因势利导，向同学们提出了三个问题：
（1）任意摸出一个球，摸出红球或黑球的可能性哪个大？
（2）每个球被摸到的机会是否相等，一共有几种不同的摸球结果？
（3）如果我们随意加大试验次数为5X，则每个球被摸出的次数将稳定在哪个值左右？其中含摸出红球多少次？“摸出红球”的频率将稳定到多少？
实践表明，学生能够凭直觉回答问题（1）、（2），在课前投币试验“正面朝上”频率稳定在0.5的启发下，多数学生想到了问题（3）中每个球被摸出的次数将稳定在X，最终发现“摸出红球”的频率稳定在
.最后教师说明，当一项试验所有试验结果等可能发生时，表示某事件发生可能性的频率稳定值就不需要进行大量重复的试验，事件发生可能性的计算公式是：
.
在课上试验1的基础上，做课上试验2，学生认可所有可能的试验结果等可能发生，但在确定m，n的值时需要教师给球编号的提示.如给2个红球分别编号①②，1个黑球编号为③，大多数学生写出了所有试验结果为：①②、①③、②③，摸出一红一黑的结果是①③、②③，从而得到P（摸出一红一黑）=
.此试验有效引导学生关注试验结果的种类，而避免了数值巧合的误导.
在不进行课前试验的四个班，学生最大的区别在于没有从大数次试验中观察某事件发生的频率稳定值，并用该值估计事件发生可能性的经验.在直接进行课上试验1时，学生可能不做试验（随意摸出一球），根据4红1黑（困惑1的方式），也能知道“摸出红球”的可能性是，所以，四个班的学生都显得兴趣索然，只是象征性的摸了几次球，就草草的得出了结论.当教师追问“试验结果与事件发生的可能性之间为什么存在差异（如5次摸球试验，却没有摸到红球）”时，大部分学生显得很茫然.
在进行课上试验2时就遇到了更大的麻烦，很多学生还是由于没有在大数次试验中观察某事件发生频率稳定性的体验，甚至利用特殊的试验结果来计算事件发生的可能性.如以下类似的解答：六次试验结果分别是：黑红、黑红、黑红、红红、红红、红红，故摸出一黑一红的可能性是
.于是，课堂上就出现了多个不同的可能性的计算结果，学生似乎意识到这样做不靠谱，但是却不知道如何解释这种现象.此时教师也试图说明不能通过个别试验结果直接计算事件发生的可能性，但又局限于学生没有课前投币试验的亲身体验，从而导致很多学生仍有这样的疑问：“为什么我通过试验得到的结果不对？既然不对，那为什么还要做试验啊？”要想把这些学生的错误认识澄清，教学就要从头再来.
值得一提的是，当我把这些同学的错例讲给做了投币试验的学生时，他们马上就反驳道：“掷20次硬币，3次正面朝上，那么正面朝上的可能性是
吗？如果我去买彩票，买一张就中奖了，那我能说彩票的中奖率是百分之百吗？”
课后反思
平心而论，在初中“求简单事件发生的可能性”的教学中，许多教师都是在不做课前投币试验和课上试验2的前提下，直接处理课上试验1，甚至只根据“4红1黑”的数字关系，得到“任取一个是红球”的可能性是，进而得到事件发生可能性的计算公式.这样做对付考试也可能没问题，但如何解决学生可能发生的困惑？如此“概率”还是“概率”吗？
两种不同的教学设计，导致了两种不同的教学效果.在没做课前投币试验的班级，“事件发生可能性的计算公式”基本靠教师讲解，学生只能被动接受；而做了课前投币试验的班级，在推导“事件发生可能性的计算公式”时，通过一串问题的解决，学生却有了很好的参与度.即使仅凭做了课前投币试验的学生少走弯路，不纠结于前面提及的困惑，而是把主要精力放在了如何分析试验结果上，这就不得不令我们重新审视课前投币试验的作用.
事实上，事件发生与否的随机性与大数次重复试验中事件发生频率的稳定性，恰恰是概率知识最令人费解而又最引人入胜的地方，是破除概率教学“鸡肋”说的精要所在.在概率教学初期就做“投币试验”，渗透“大数定律”，有助于学生理解概率的实质，否则课堂上的概率试验将变得毫无意义.在课前投币试验的基础上，学生解决课上试验1，试图用大数次重复试验解决当然是合情合理的选择，此时教师引导学生用理性的、逻辑的思维方式替代无休止重复试验，是解决事件发生可能性计算公式推导的关键.
可能有人会说，只有在生源基础比较好的学校才能这样讲授概率，笔者不完全否认这种说法.所以，把我们的实践说成使概率教学不受冷落的对策还不够准确.但在围绕“概率知识的抽象性与研究方法的特殊性”是否超出初中生心智水平的争论中，我们毕竟找到了一个克服概率教学“鸡肋”说的佐证.