中考折纸问题解析，本文主要内容关键词为：中考论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题的提出
我国现行的全日制义务教育数学课程标准在“空间与图形”学习领域中，非常重视培养学生的动手操作能力，提倡让学生在操作中感受和体验数学知识的形成和发展。因折纸具有操作性和直观性的特点，常被应用于“空间与图形”的教学中，在近几年来各地的中考数学题中也常有“折纸问题”出现。然而分析发现，这些“折纸问题”几乎都没有将问题产生的折纸过程阐述清楚，以至于让许多学生见到折纸问题就害怕，不知道从何切入，效果不佳。本文使用Huzita折纸公理作为折纸的基础，对部分中考题中的折纸问题进行解析，完善了折纸过程，以期能为折纸应用于数学教学提供参考。
二、概念的界定
折纸作动词用一般是指用纸折出动物、植物、交通工具、生活用具等形状的手工活动，作名词用一般是指一张正方形或长方形或三角形的纸片。折纸作为一种艺术活动，因其造型生动活泼，变化无穷而深受人们的喜爱，几个世纪以来人们创造出了许多优美而神奇的折纸作品；折纸作为一种手工活动，是一个充满着想象力和创造力的手脑并用的过程，因而常被应用于幼儿的智力开发；随着折纸理论的丰富，近代折纸已被作为一种科学活动应用到了航天研究、汽车设计、地图制作等诸多领域；探究折纸的本质，还可以说折纸是一种数学活动，折纸过程中发现的一些数学之谜已经发展成为现代几何学的一个分支。本文所讲的折纸作为动词主要是指用正方形、长方形或三角形小纸片折出各种几何形状的数学活动。
三、Huzita折纸公理
Huzita折纸公理(Huzita-Hatori axioms or Huzita-Justin axioms)由7个公理构成，前6个是1989年由Jacques Justin第一次提出，1992年由意大利籍的日本数学家Humiaki Huzita完善，因而以他的名字命名，第7个公理则是2002年由日本数学家Koshiro Hatori提出的。这一折纸的公理体系将折纸过程进行了规范，为将折纸应用于数学教学提供了可操作的理论基础。
图7
四、中考折纸问题解析
问题1 （2004年芜湖市中考题）亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影。请看图（图8），折叠一张三角形纸片，把三角形的3个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：＿＿。
图8
问题1可以说是一个“纸”上谈折纸的问题，题目并没有将“把三角形的三个角拼在一起”的折纸过程说清楚，学生仍然是凭借图形提供的几何信息来寻求答案。如果学生能了解问题1的折纸过程，在折叠的过程中就能直观地理解三角形内角和定理。这里应用Huzita公理将三角形三内角拼在一起的折纸过程为：
第一步：过△ABC的顶点A折底边BC的垂线，垂足为D（公理4）（图9）；
第二步：展开后将顶点A与垂足D重合对折（公理2）（图10）；
第三步：将点B与点D重合对折，点C与点D重合对折（公理2），即可将△ABC的三个角折成了一个平角（图11）。
图9
图10
图11
问题2 （2004年太原市中考题）如图12，已知Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A的度数=＿＿。
实际上题目中所说的直线BE应该是折痕，但折痕是怎么来的，题目并没有叙述清楚。使用Huzita公理可以将问题2叙述为：
“将BC与BA重合对折，折痕为BE（公理3），若点C正好与AB的中点D重合，则∠A的度数=＿＿。”
这里折纸的过程说明了BC=BD，若D为AB的中点就说明了直角边BC是斜边AB的一半，所以∠A=30°。
问题3 （2004年河南省中考题）图13是一张矩形纸片，要折出一个面积最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上AF重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他判断的方法是＿＿。
图12
图13
“折痕”应该是折后留下的痕迹，本题的叙述方式并没有反映出折纸的过程，就直接使用了折痕两字，显然对学生理解题意是不利的。根据题目的意思，使用Huzita公理可以将问题3叙述为：“过点A将点B折到直线AD上（公理5），得折痕AE，B点落在AD边上的点记为F，则ABEF为面积最大的正方形”，他的判断方法是＿＿。
实际上因折痕两边的图形是呈轴对称的，因此ABEF为正方形，又由于该正方形的边长为长方形的宽，所以正方形ABEF在长方形ABCD中是最大的正方形＿＿。
问题4 （2005年威海市中考题）如图14，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6。将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=＿＿；
图14
图15
这里，如果将点B与点D重合对折，折痕正好过点A的话，说明了AB=AD的，因此题目中这个条件是多余的。可以将题目改为：
“梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=2，BC=6。将B、D两点重合对折（公理2），若折痕恰好过点A并交BC于E，则CE=＿＿。”
由折纸过程可知，AB=AD，因此四边形ABED是菱形，故BE=2，因此CE=4。
问题5 （2006年南京市中考题）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合。
(1)如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G，
，求DE的长；
(2)如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G，△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长（如图16）。
图16
这个题是初中毕业生学业考试题的最后一道题。两个问题中的折痕根本就不知从何而来。在折纸的实际操作过程中，发现“将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合”的折痕是不能确定的。但如果考虑到(1)中的条件，这条折痕可以确定。具体可以将问题(1)改为：
(1)已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1。若，过点F将点A折到DC边上（公理5），折痕为FG，点A落在DC边上的点记为E，点G是折痕与AB的交点，求DE的长；
第(2)小题中，直接从已知条件是无法得到折痕FG的。如果不考虑折纸，直接通过计算可以得到
（计算过程参见图18中的辅助线），这样可以发现折痕FG可以由A、E两点重合对折而得到（图17连续对折四次可得到点E）。
问题6 （2008年莆田市中考题）如图19，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上A'处，则∠EA'B=＿＿度。
显然本题也是先有折痕，再叙述折纸过程。实际上，根据Huzita折纸公理，过一个点可以将另一个点折到已知直线上，因此问题6可叙述为：
“如图19，过D点将A点折到BC边上（公理5），得折痕DE，A点落在BC边上的点记为A'。则∠EA'B=＿＿度。”
由折纸过程可知，∠EA'D=∠EAD=90°，所以，∠EA'B=∠CDA'，在三角形△CDA'中，由CD=1，DA'=DA=2，可知∠CDA'=60°，所以，∠EA'B=60°。
问题7 （2008年宁德市中考题）如图20，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝无重叠的四边形EFGH，若EH=3厘米，EF=4厘米，则边AD的长是多少厘米？
图17
图18
图19
图20
问题7中“恰好拼成一个无缝无重叠的四边形”，需要经过以下四步才能完成：
第一步：将矩形纸片ABCD的两组对边分别对折得到矩形的中心O（公理3）；
第二步：如图21（下页），过AB的中点E折叠，使边BC经过点O，折痕交BC于点F，并设点B所落位置为点K（公理5）；
第三步：将EA与EK重合对折（公理3），折痕交AD于点H（下页图22）；
第四步：将FC与FH重合对折；HD与HF重合对折（公理3）（图23）。
图21
图22
图23
由折纸过程可知，点F、K、H一直线，第四步中的两条折痕相交于CD的中点G处。可以证明折痕四边形EFGH为符合题意的四边形，AD=FH=5cm。
皮亚杰指出：“传统教学的缺点，就在于往往是用口头讲解，而不是从实际操作开始数学教学”。可以说，折纸是非常有效的图形操作活动。数学课的折纸是学习意义上的折纸，是一种特殊的数学活动，是为了提高学生思维的兴趣，给学生营造一个手、脑并用的操作环境，不是为折纸而折纸。教学中，教师应该充分地利用折纸的直观性和形象性，指导学生进行操作活动，使学生对一些抽象几何问题的感知建立在操作活动基础上，让学生在自己积极、主动的操作中提升思考和获得发展。