我国数学学习心理学研究综述_数学论文

我国数学学习心理学研究综述_数学论文

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数学是什么?数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的科学。这是对数学的十分重要的概括。进一步分析,数学具有这么一些学科特点:1、数学研究对象是形式化的思想材料,反映了数学的抽象性;2、数学思维在宏观上是生动活泼的策略创造,在微观上是严谨的逻辑演绎;3,数学知识的物质载体是精确简约的数学语言。这些数学学科特点也决定了对数学学习进行心理学研究时的一些基本事实:1、数学既然研究现实世界的空间形式和数量关系,而无处不在又无时不有的数量关系及空间形式是儿童认识世界的基本内容。因此,儿童数概念及运算能力的发展是发展心理学中认知发展研究的一项重要内容。2、当认知心理学从信息加工的角度研究认知过程时,数学任务是一种很有价值的研究材料。数学任务比之一般的阅读任务或人工设计的问题解决任务,更能揭示认知的本质。3、数学是一个界限分明的特定知识领域,是中小学教育中最重要的基础课程之一。研究数学学习规律、提高数学教学质量,是广大教育心理学家和数学教育家最关心的主题。

中国数学教育水平不低,无论是华人数学家的数量还是中学生奥林匹克数学竞赛的得奖情况,都可以证明这一点。在数学学习心理研究领域,国内心理学家和数学教育家通过不懈努力,取得了不少的研究成果;但在整体上尚未达到很高的研究水平。本文对国内数学学习的心理学研究在几个主要方面作一个回顾,以启发后继的研究。

1 数概念和运算能力发展的研究

在婴幼儿数概念的发生问题上,吕静等人[3]对2-5岁被试逐个进行5以内的辨数、认数和点数的测试,发现儿童数概念发生有一定顺序,先辨数、发展到认数、再发展到点数,它们都存在发展的关键期。吕静[4]还研究了表象在儿童数概念发展中的作用。数概念的发展是从直接感知到间接感知、从具体到抽象的过程,表象在数概念的形成与发展中,常起着桥梁作用,儿童凭籍表象帮助问题解决。许智权、宋宝玲[5]对一个幼儿三周岁至五周岁掌握数概念进行了个案追踪研究,获得了比较深入、翔实的资料。研究结果表明,三周岁至四周岁儿童有可能、有必要掌握最初的数概念,认读数字表,在突破难点时起相当大的作用,在认识过程中,动作和记忆具有特别突出的地位;四周岁至五周岁是掌握数概念关键性的一年,读写数字、用数字作为符号进行运算具有特别突出的地位。张梅玲等人[6]研究了幼儿百以内数概念的形成与促进。

二十世纪70年代末期全国儿童认知发展协作组由刘范主持[7]对3-12岁儿童数概念和运算能力进行了大规模的调查研究,从宏观上勾画出当时国内十一个地区儿童在数概念的起始、数的运算、数的概念系统等方面发展的图景。近期,方格等人[8]从微观的角度采用定性和定量相结合的研究方法探查幼儿对基数、数序、运算和解应用题的认知发展过程及其认知策略,主要研究结果表明:(1)幼儿对基数、数序、运算和解应用题的认知成绩均有随年龄发展的趋势,但快速发展的年龄阶段因任务的难度而异;(2)幼儿对基数和数序的认知在4-5岁显示出不同步的发展,对基数的认知成绩优于对数序的认知,而到6岁两者具有同步发展的趋势;(3)幼儿解决问题的策略水平随年龄发展。

林崇德对中小学生数概念和运算能力的发展进行了综合研究。研究结果揭示中学生运算能力发展的一般趋势表现为数学概括能力、数学空间想象能力、数学命题能力、数学推理能力等几个方面阶段性的发展。

同时,在研究数概念和运算能力发展的基础上,国内心理学家们对5-15岁儿童一些数学概念发展也进行了大量研究,如长度概念、面积概念、容积概念、概率概念、交集概念、比例概念等方面的研究。

2 中小学生数学能力结构的研究

对国内中小学生数学能力结构研究产生重要影响的是二十世纪80年代李伯黍翻译了前苏联教育科学院克鲁捷茨基1968年出版的《中小学生数学能力心理学》(此书在中国有两个译本)。克鲁捷茨基在书中提出中小学生数学能力成分的假设模式,列举中小学生数学能力九个成分:(1)能使数学材料形式化,并用形式的结构,即关系和联系的结构来进行运算的能力;(2)能概括数学材料,并能从外表上不同的方面去发现共同点的能力;(3)能用数学和其它符号进行运算的能力;(4)能进行有顺序的严格分段的逻辑推理能力;(5)能用简缩的思维结构进行思维的能力;(6)能逆转心理过程,从顺向的思维系列过渡到逆向思维系列的能力;(7)思维的机动灵活性,即从一种心理运算过渡到另一种心理运算的能力;(8)数学记忆力,关于概括化、形式化结构和逻辑模式的记忆力;(9)能形成空间概念的能力。

在克鲁捷茨基研究的影响下,王权等人[11]探查了我国小学生学习了当时部编五年制数学教材的双基教学内容后应该具备的数学能力:基本的演绎推理能力、识别关系和模式的能力、空间想象能力和速度能力。进一步考察小学生数学能力的实际发展状况,基本上认定通过当时部编五年制教材的教学,可以培养这四方面的能力,但空间想象能力和速度能力的发展是相当有限。特别是小学生的空间想象能力一般还处在知觉水平阶段,这种发展水平与中学几何教学的要求极不相适应,造成了小学生进入初中学习数学,几何比代数更难。刘兰英[12]结合小学数学教学大纲的要求对作为小学生数学能力核心的数学推理能力的结构进行验证性因素分析,总结出小学生数学推理能力包括五个方面:可逆推理能力、类比递推能力、归纳推理能力、整分变换推理能力和演绎推理能力。张君达、倪斯杰[13]研究了超常儿童的数学能力,指出影响超常儿童数学能力发展的主要因素为综合运算能力、逻辑思维能力、抽象概括能力、空间想象能力和灵活的形象思维能力。超常儿童较之一般儿童就能力的特点而言,更具备逻辑性、抽象性和概括性的特点。

章建跃[14]在分析数学能力研究存在的问题的基础上,提出必须在数学能力结构中引进自我监控能力,并从三个方面说明其重要性。首先,由于数学学科具有抽象性,而越是抽象的材料学习越困难,就越需要对学习过程进行及时调控,以使学习进程与学习目标之间保持较好的一致性,从而保证学习效果。第二,对数学学习的自我监控机制进行研究是抓住了数学学习活动的深层本质,能促进数学认知活动研究的深化。第三,数学学科自我监控能力是培养学生数学能力的关键。

对学生的数学学习能力有重大影响的是教师的数学教学能力,孙敦甲[15]探讨了教学改革中教师的数学教学能力结构。教师数学教学能力包括数学教学活动中的认知、操作和监控三个方面的九种能力:认知方面的数学能力、数学学习心理活动的分析能力和数学教学方案的设计能力;操作方面的数学语言表达能力、数学教学的情感表达能力和调动数学学习积极性的能力;监控方面的数学教学过程中的观察能力、数学教学过程中的判断评价能力和数学教学过程中的应变能力。

3 数学知识结构与认知结构的研究

刘静和[16]领导的课题组自1979-1981年就儿童对数及数学上的部分与整体关系的认知发展进行了系统研究。刘静和等根据他们最早的四个儿童认知发展的实验,提出了儿童对部分与整体关系认知的十二项指标,如“整体可以分为若干相等或不相等部分”、“各部分之和等于整体”。他们用这十二项指标对4-11岁儿童在正整数、几何图形和分数这三个方面进行研究,并根据研究结果设计教学实验;通过反复的教学实践再进行理论上的概括。张梅玲等[17]开展了以“1”为基础标准揭示数和数学中部分和整体关系的系统性教学实验。儿童对单位“1”的认识及其整体守恒能力,是把握数学中部分和整体关系的两个核心概念。以“1”为基础标准的含义是:一方面,从性质上讲,“1”具有概括性、包含性、相对性和可分性;另一方面,就其在小学数学内容中的地位来说,“1”又是最基本的知识结构。循着“1”这条发展线索构建起来的知识结构把整数、分数、小数、百分数、比值等概念统一在一个系统之中,用“1”去说明它们的内在联系与层次间的过渡。进一步的研究[18]表明,以“1”为基础标准揭示数与数学中部分与整体的关系为主线所构建的知识结构,使学生能形成良好的认知结构。这种认知结构有利于对新知识的学习、策略的选择和数学学习迁移能力的提高。

作为儿童对数学学习中部分与整体关系认知发展研究课题的一部分,何纪全[19]进行了小学生应用题认知发展的研究。应用题的结构成分主要有框架结构、情节结构和数量关系结构。数量关系结构是核心,体现了部分与整体的关系。小学生对应用题结构的认知发展经历了五个层次,显示了认知发展的顺序性,表明了应用题结构特征的认知是一个从外部到内部、从具体直观到抽象概括、从结构构成到结构功能的过程。同时,研究也表明,不同的教材体系影响小学生对应用题结构的认知发展。

姚飞、张大均[20]以小学四年级学生为被试,进行应用题结构训练教学,促进学生解题知识结构向解题认知结构的有效转化,提高解题能力。训练内容包含了应用题框架结构分析、情节结构分析和数量关系结构分析,具体分为五个方面:(1)什么是应用题的结构?掌握应用题的结构有何意义?(2)怎样排除无关信息的干扰、寻找到有效的已知条件和所求问题、确定应用题的框架结陶?(3)在多种应用题情节与情节顺序的变换中,如何利用结构图表分析出隐含条件、概括出一般数量关系式?(4)怎样认识一般数量关系式及如何实现关系之间的相互转换?(5)结构分析中如何利用认知监控保证解题顺利完成?实验结果表明:(1)应用题结构分析训练可显著提高小学生解应用题的能力,中等生受益最大;(2)该模式训练效果与学生智力水平呈中等程度正相关;(3)学生对该训练模式持肯定态度,反应积极。

4 数学学习迁移问题的研究

为迁移而教,是教育心理学中的一个口号。近年来,人们越来越重视学生数学学习中的迁移问题。

良好的认知结构是迁移的基础,因此对认知活动结构的探索是揭示迁移过程的关键环节。冯忠良[21]在“结构化与定向化教学心理学原理”理论框架下对解题迁移的机制进行了实验研究。实验以多项式的因式分解(分组分解法)为材料,由浅入深地编拟4组题,再编一组形异但解法与第4组题相同的第5组题。在解答完第4组题后要求被试再做第5组题,以考察迁移水平。结果表明:解题迁移过程是由审题、联想、解析和类化这4个相互联系、相互制约的认知成分构成的。

要使迁移得以实现,解题者具有将先前某类问题的经验与待解决问题相比较、从而概括共性的意识显得十分重要。杨卫星[22]就不同认知风格学生的问题共性意识水平对解题迁移的影响进行了实验。结果发现:初中生的平面几何成绩与认知风格有显著的正相关;在平面几何解题过程中,无论是具有场独立性倾向的学生还是具有场依存性倾向的学生,对先后问题之间存在的共性关系的意识水平对解题迁移都有显著影响。杨卫星、张梅玲[23]还研究了学生认知加工水平对解平面几何问题迁移的影响。结果发现,当迁移题与训练题之间具有结构相似、但表面特征有部分较隐蔽的相似性时,被试对迁移题与训练题之间存在共性关系的意识及加工水平对解题迁移有显著影响。

用过去已经解决的相似问题(源问题)的解决方法和程序去解决新问题(靶问题),就是类比迁移,这是迁移的一种特殊情形,近年来人们比较关注样例在类比迁移中的作用。莫雷等[24]研究了样例表面内容对数学问题解决类比迁移的影响。结果表明,先前学习的样例与新问题在内在原理相同的情况下,两者表面内同相似对被试解答新问题有显著的促进作用,其中表面概貌相似(指问题的情节、具体对象、表述形式相似)有利于被试对问题的类化;表面对应相似(具有相似对象,且这些对象所对应的是相同的原理变量)则促进被试对公式的正确运用。当两者内在原理不同时,表面内容相似会对新问题的类化产生负迁移作用。在提示被试注重问题的内部结构的情况下,会促进类比迁移的实现。任洁、莫雷[25]在研究迁移时,首先对程序性知识进一步作了区分,即联结性程序知识和运算性程序知识。前者指不需要经过人类复杂的认知操作活动而形成的,只有一定的信息意义,Anderson等人的知识编辑迁移理论解释的基本上是这类知识。后者指要经过人类复杂的认知探索活动才能形成,表述的是某些规律性或者逻辑必然性的东西。它们不仅有一定的信息意义,同时也有一定的智能意义,凝聚了人类一定的智力活动。运算性程序知识的学习迁移有着不同于联结性程序知识的学习迁移,样例对运算性程序知识迁移成绩有重要影响。张春莉[26]研究了样例和练习在促进解题迁移能力中的作用。由强调样例下的练习促进技能的熟练和解题能力的迁移。样例在技能习得的早期扮演了重要的角色,并提高了练习的密度,从而更有效地促进了技能的熟练和解题能力的迁移。练习本身并不总是保证促进技能的熟练和解题能力的迁移。它至少要受三方面因素的影响:第一,与在练习中是否有来自外部的指导和反馈有关;第二,与练习的任务性质有关;第三,与参与练习的个体的智力和认知水平有关。

5 数学学习非智力因素的研究

5.1 数学学习的信念方面

信念是个人对一类事物持有的基本看法。这种看法是个人成长过程中逐渐形成的。对于数学学习来说,有关信念可以分为三类:关于数学的信念,关于数学学习的信念和关于在数学学习中自身的信念。这些信念实实在在地影响着学生在数学学习中对认知材料的选取、所使用的认知方式以及对学习结果的评价。关于数学的信念,比如,小学生会认为数学就是计算;中学生会认为数学就是推导;而一些大学生可能认为数学就是证明;而公众的见解可能是数学要列出式子、作推理,列不出式子的东西不能算数学。关于数学学习的信念,就是学生的数学学习观,比如,“学数学主要靠记忆和模仿,记住一大套规定的法则和算法,并按例题的步骤去做。”关于数学学习中学生自身的信念,主要是学生在数学学习方面的自我概念、自我效能感等。

成子娟[28]对幼儿数学学习自信心培养进行了追踪研究。研究表明,幼儿学习数学的自信心可以通过在学习中不断获得成功体验来提高,而这种成功的体验来自于特定的课程设计;幼儿学习数学自信心必须经过长期培养,在这一过程中,使他们对学习的成功体验逐步概化为对自己学习能力的认识后,自信心才能获得相当的稳定性。何先友[29]探讨了小学五年级学生数学自我效能、自我概念与数学成绩的关系,考察了数学成绩优秀学生与数学成绩不良学生数学自我效能和自我概念的差异。结果表明:数学自我效能与自我概念对小学生的数学成绩有显著的影响,两者之间存在显著的交互作用;数学成绩优秀生和不良生在数学自我效能和自我概念上有着显著的差异,优秀生均高于不良生。周国韬等人[30]的研究也表明,初中生在数学方程学习中代数能力感与方程能力感对成绩有显著影响。徐速、朱燕[31]从归因的角度研究初中数学学习中教师与学生的信念问题。

5.2 数学学习的情感方面

数学学习中产生的情绪,是一个不容忽视的因素,与信念相比,主要表现为一个过程,而不是一种结果。

数学焦虑是心理学研究的一个热点。数学焦虑是个体在处理数字、使用数学概念、学习数学知识或参加数学考试时所产生的不安、紧张、畏惧等情绪状态。数学焦虑会使个体对数学刺激产生负面的生理反应、对自己解决数学问题的能力怀有错误的信念和消极的态度,最终的结果是数学焦虑者会回避需要应用数学技能的环境和职业。陈英和、耿柳娜32 指出,在相当长的一段时间内,数学焦虑和数学认知是被作为两个分离的课题进行研究,很少涉及认知因素。近年来,人们研究发现,当主题应用事实性知识解决简单问题时,数学焦虑的影响不显著;而当主体应用程序性知识解决复杂问题时,数学焦虑的影响非常显著。进一步探讨其内部机制,表明即时的数学焦虑反应分散了工作记忆活动,从而降低依赖于工作记忆的数学任务成绩。

6 数学教学实验研究

数学教学心理研究是以数学学习心理研究为基础的,而数学教学研究又促进数学学习心理研究的深入。国内最大规模、最有影响的数学教学心理研究首推中科院心理所卢仲衡主持的中学数学自学辅导教学研究。二十世纪六十年代,中科院心理所曾依据斯金纳的思想试验中学数学的程序教学,但未得到成功。在总结经验教训的基础上,卢仲衡认为应采取班级集体与个别化相结合的教育方式,在教师指导辅导下以学生自学为主的方法,调动师生双方积极性。于是根据九条有效的学习心理原则编写自学辅导教材,包括三个本子:一是课本,这课本适合自学;二是练习本,习题印在练习本上,答案附在课本后面;三是测验本,供教师及时检查学生的学习效果。并且制定出自学辅导教学特有的七条原则。自学辅导研究从1965年开始预试,1966年开始正式实验,到1980年开始进行推广实验。检查实验效果的四个指标是:数学成绩、自学能力成长、自学能力迁移、学科全面发展。以三年为一周期,取得了满意的结果。在自学辅导教材取得了肯定效果之后,研究者又开始研究产生效果的心理因素。首先,比较研究自学辅导教学与常规教学的注意力集中问题,表明在课堂上自学比老师讲课的注意力更为集中,心理机能处于较优化的状态。关于在平面几何证题中的推理能力的比较研究也表明,推理过程正确性和速度都是自学辅导教学班学生优于常规教学班学生,而掌握较难的逆推分析法也是前者优于后者。另外,在创造性思维方面、在基本知识的记忆方面,等等,也是自学班优于常规班。

7 对国内数学学习心理研究的几点思考

综观国内数学学习心理的研究,取得了不少的成果,但是有些不足之处也值得思考。

其一,研究材料的局限性。一方面是研究选题面窄。比如,代数问题的研究焦点主要是封闭型的应用问题;几何问题限于平面几何,研究者很少涉足更能体现空间能力的立体几何;在迁移、元认知的研究中,研究材料也是一些简单的数学问题。另一方面是研究问题的层面较低。研究者所关心的是小学和初中阶段的数学学习,因此主要探讨初等的常量数学问题,而对变量数学问题缺乏研究;集中研究初级数学思维,而对高级数学思维、高级数学思维和初级数学思维之间联系缺乏研究。心理学家研究数学学习时,可能由于自身数学知识结构的关系,在数学知识选材时广度和深度就要受到限制,研究难以反映出数学学习的全貌。同时,心理学家比较多地从心理学的角度看待数学问题,企图在对特殊数学问题研究的基础上得出一般性数学学习心理规律,比较忽视数学学习心理自身的特殊性,忽视不同的数学知识学习可能有完全不同的心理过程或思维形式,从而影响了研究的外部效度。因此,心理学家与数学家要携手进行数学学习研究。

其二,研究方法和研究类型比较单一。比如,在数学能力结构的研究中,克鲁捷茨基所采取的研究方法是很有特色的。分析数学能力的成分,必须拥有大量的资料。克鲁捷茨基所收集的资料有两大类:一类是实验性资料,另一类是非实验性资抖。在取得实验性资料上,克鲁捷茨基重视能力的个别差异,将学生按能力分组作为他的实验对象;按照所假设的数学能力结构成分设计有针对性的实验题;让学生在解答实验题时出声思维。同时采取各种调查法收集非实验性资料。国内研究在研究思想上深受克鲁捷茨基的影响,但方法上却基本上采取西方所重视的不甚麻烦同时也是不甚深入的因素分析法。在研究类型上,如果涉及到发展问题,基本上是横断研究,纵向研究比较少见。

其三,研究内容的局限性。有些主题的数学学习研究国内很少开展。比如,数学学习中的语言问题。在数学的书面表达中,使用了一套不同于自然语言文字的记号系统,以符号为元素,按特定方法形成合理的符号串表达式,并常常嵌入在自然语言组成的句子中。学生要学会用数学语言表达数学思想,诸如用数学符号给应用题列方程、用函数语言描述运动模型。数学学习不仅仅是解题训练。不少学生的数学学习困难就是产生于对数学语言的使用和理解方面,而很现实的问题是数学教学中没有进行单独的数学语言教学,从而使有些学生在数学语言方面是积重难返。心理学研究在这些方面应该有所作为。再比如,对数学学习的非智力因素缺少细致的研究。研究者在评估学生的数学学习,往往注重认知结果,而忽视非智力因素对认知结果的影响,从而使一些相关的学习问题得不到很好的探讨。

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