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这几年我省小学数学课堂教学研究的重点之一是概念课教学，今年我们地区也相应地开展了这方面的研讨，并要求我市确定一位老师上一节数学概念课.于是，我们选择了人教版二年级下册第54页例2来进行研究.
一、“倍”概念的教材编排引争议
在研究的过程中，产生了不同的意见：
正方：二年级下册第54页的例2是以“解决问题”的形式出现的，实际上学生在二年级上册第76页已经认识了“倍”.二年级下册第54～55页的例2和例3应该是运用“倍”的概念去解决实际问题，而没有必要再侧重于“倍”的概念教学.
反方：学生在二年级上册第76页虽然已经认识了“倍”，但那时的重心放在“求一个数的几倍是多少”的问题思考上，并没有真正深刻揭示“倍”的本质属性——两个数相除所得的商，有必要对“倍”进行一次再认识.
面对正、反两方，我们又该如何把握呢？于是，我们首先去认真钻研教材：
当我们将人教版教材有关“倍”的相应教学内容并列地放在一起时，十分惊讶地发现所创设的情境是何等相似啊！只不过二年级上册的情境是用小棒摆正方形，而另一个情境是用小棒摆飞机而已.可为什么二年级上册的例2上面没有“解决问题”这四个字，而二年级下册例2上面却有呢？我想一个重要的原因可能是：由于数学新课程在设计时有一个十分强烈的信念就是彻底取消所谓的“应用题”单独一个单元的编写方法，同时想努力克服“应用题”教学脱离实际的形式化倾向，着力实现计算与解决实际问题的有机结合，所以人教版教材在前三册都没有出现“解决问题”的表述，只是在一年级上册第117页的总复习里出现“用数学”.但人教版教材到二年级下册却突然出现第一单元是“解决问题”，似乎设想与实际编写有所矛盾，想必教材编写者们在具体安排教学内容时也遇到了一些困惑吧，觉得适度安排一个单元来专门学习“解决问题”还是有必要的.
事实上，无论是二年级上册第76页还是二年级下册第54页，学生在学习了相应的内容之后都安排了“解决问题”的内容（见下页图）：
这样一比较，我们又发现了一个十分奇特的现象，人教版在二年级上册第77页第一次正式出现用线段图表示实际问题中的数量关系，而第二次出现用线段图表示数量之间的关系大概到五年级下册第105页，横跨大约三年半时间，这给一线教师的留白实在是太大了！我们该如何把握和培养学生借助线段图（或图示）去分析数量之间的关系呢？
二、剖析“倍”概念的本质属性
通过以上的剖析，现在我们回到二年级下册第54页例2是否属于“概念课教学”上来.所谓“概念”，新旧现代汉语词典里是这样解释的：
那么“倍”的本质属性是什么呢？新旧现代汉语词典对“倍”和“倍数”是这样解释的：
从汉语词典解释中可以发现，“倍”是一个多义词，除了通“背”外，关于“倍”的词语含义绝大多数与数学中的“倍”的含义有着千丝万缕的联系.而“倍数”新旧现代汉语词典中的词义比较一致，但此“倍数”并非彼“倍数”也.我们今天所讲的“倍”更准确地说是“倍”数，而非“倍数”，词典中的第二种解释当属它的本质属性，即“倍”是一个数除以另一个数所得的商.
笔者认为，由“倍”的本质属性去判断，人教版二年级上册第76页的例2和例3，通过摆正方形和摆圆片来引导学生所认识的“倍”是不深刻的，只能说是一种渗透，并没有真正地、清晰地揭示它的本质.这是因为学生在此时还没有学习过除法知识，这不得不说是人教版课标教材在编写时的一个缺陷.
乘、除法的初步认识及乘法口诀和用口诀求商，人教版九年义务教育小学数学教材的编排方式是先分后合：乘法初步认识及2～6的乘法口诀——除法初步认识及用2～6的乘法口诀求商——7～9的乘法口诀及用口诀求商.而人教版课标教材则是采用单一的直线式分两段编排：二年级上册集中学习乘法的初步认识及2～6的乘法口诀，然后再学习7～9的乘法口诀；二年级下册集中学习除法的初步认识及用2～6的乘法口诀求商，然后再学习用7～9的乘法口诀求商.从而导致二年级下册第54页例2不得不对“倍”进行一次再认识，不然的话有的学生还误以为求一个数是另一个的几倍是用乘法计算的，就会影响学生准确、灵活运用“倍”的概念去解决实际问题.
至此，我们已经十分清楚地知道“倍”的本质属性——两个数相除所得的商，这是人教版二年级上册第76页例2和例3所无法深刻揭示的.于是，在人教版二年级下册第54页例2的教学中应该突出“倍”的这一本质特点.
三、整合资源突显“倍”概念
人教版课标教材无论是二年级上册第76页例2摆正方形的个数及所用的小棒根数，还是二年级下册第54页例2摆飞机的架数及所用的小棒根数，都没有起到强烈突显两个数量在比较，再加上三、四个小朋友和一位小精灵的对话，反而让人看得有点眼花缭乱.
笔者认为，可以吸取老教材的优势，做到取长补短.比如可以先出示“○○○”，然后告诉学生“□的个数是○的4倍”，提出“□有几个？”以唤起学生的回忆，并作如下左图的板书：
当学生解释“○的4倍”的意思及得出□有12个后，教师将板书演变成上面右图所示，并提出两个问题：（1）什么叫倍？（2）“几”倍的数可以用什么方法计算得到呢？这样的引导起到温故而知新的作用.然后，可以出示如下图的蓝花（2朵）、红花（8朵）的比较，让学生说说红花的朵数是蓝花的几倍？并要求说出想的过程.
在此基础上，再让红花的朵数与蓝花的朵数在变化中思考，并作如下的板书：
一个数÷另一个数=几倍
红花的朵数是蓝花的（？）倍
8÷2=4 想：8里面有（）个2.
8÷4=2
8里面有（）个4.
12÷4=3
12里面有（）个4.
5÷5=1
5里面有（）个5.
蓝花的朵数是红花的（？）倍
5÷5=15里面有（）个5.
并问学生：（1）两个算式都是5÷5=1，它们表示的意思有什么不同？（2）求“几”倍数都是几个数量在比较？（我们可以称为“一个数”和“另一个数”）（3）想一想，如何求“一个数”是“另一个数”的几倍？从而揭示“一个数÷另一个数=几倍”.
这里值得指出的是，要求一个数是另一个数的几倍，所比较的每个数量应该是整体呈现，而不应该是一组一组出现.人教版教材二年级下册第54页的“做一做”这样编写，我觉得考虑得是有所欠缺的（见下图）.不应该将第一行的16个三角形4个一组分开，应均匀排列，要求学生按照第二行4个三角形为一份圈一圈或分一分，充分体现16里面有（）个4.从而突出“倍”数的本质属性.
相应地，在引导学生用图示分析解决实际问题时也有细微的差别，如：
四、合理把握“倍”概念的外延
有许多第一学段的数学老师往往引导学生这样思考：把较小的数看作一份，将较大的数分成这样的几份，就说较大的数是较小的数的几倍.有的甚至还这样说：只有当两个数量相同时，才可以说一个数量是另一个数量的1倍；当两个数量不同时，只能说较大的数量是较小的数量的几倍，而不能说较小的数量是较大的数量的几倍.比如，只有当小猫的只数与小狗的只数同样多时，才可以说“小猫的只数是小狗的1倍，小狗的只数是小猫的1倍”；当小猫的只数与小狗的只数不同时，如小猫8只，小狗4只，只能说是“小猫的只数是小狗的2倍，不能说小狗的只数是小猫的几倍”.一个重要的理由是学生还不会计算4÷8，再说还不到1倍呢，怎么可以说是几倍呢？这样就容易导致学生在解决问题过程中，如果出现求较小的数量是较大数量的几倍时，许多学生一开始思考的时候可能是正确的，后来越想越觉得有问题，于是就不管三七二十一地将算式由原来的较小的数除以较大的数改为较大的数除以较小的数.可见，上述这种片面的引导不利于学生思维的深刻性和批判性的发展.
那么，能否说较小的数量是较大的数量的几倍呢？我想这还得从“倍”数的本质属性——“一个数除以另一个数所得的商”展开思考.从“倍”数的本质属性来看，显然并没有强调“倍”数必须是较大的数除以较小的数，只要是两数相除所得的商就行.这就是说我们除了要研究清楚概念的内涵以外，还要分析清楚“倍”概念的外延.那么，“倍”数的外延是什么呢？实际上它包括了“求一个数是另一个数的几（百）分之几”，乃至于求两个同类量的比值.如，人教版五年级下册第66页和六年级上册第43页.
除此之外，我认为还应该让学生去理解“一个数比另一个数的几倍多（少）几”.原九年义务教育小学数学教材在二年级让学生认识“倍”数的概念后，又在三、四年级曾安排“求比一个数的几倍多（少）几是多少”的应用题.然后到简易方程教学之后，再安排“已知比一个数的几倍多（少）几，求这个数”的应用题.而现在的人教版课标教材在二年级让学生认识“倍”数概念前后，只在“认识除法”之前的二年级下册第11页练习二中安排一道“几倍求和”的实际问题.然后，突然到五年级上册第65页出现“已知比一个数的几倍多（少）几，求这个数”的实际问题.
那么如何在教学“倍”数的再认识中，适度拓展“倍”的外延呢？我们做了一些有益的尝试：
算一算，小猫的只数是青蛙的几倍？
这连续的四个情境都是让学生紧紧围绕着解决“小猫的只数是青蛙的几倍”这个问题进行思考.在青蛙的只数不变的情况下，将小猫的只数逐渐减少，让学生的认知在矛盾冲突中使思维逐步走向深刻，有的学生甚至大胆地猜测2÷4=0.5.然后要求学生完成下面的练习：
小猫有5只，小狗有12只，小羊有10只.
（1）小羊的只数是小猫的几倍？算式________
（2）小狗的只数是小猫的几倍？算式________
（3）（）的只数是（）的几倍？算式________
这样的训练实际上还是紧紧抓住“倍”数的本质属性，从而有效地克服学生思维的定势，为进入第二学段的数学学习打下坚实的基础.
五、两个“倍数”概念的辨析
我们已经剖析清楚“倍”数的内涵和外延，但还有一个问题也容易使学生产生困惑，那就是学生到五年级学习“因数和倍数”时，似乎感到与第一学段学的“倍”数有什么不同的地方.人教版五年级下册第12页的具体解释“倍数”与新世纪现代汉语词典的解释“一个数与一个整数相乘的结果”基本一致.
不过，词典中的这样解释仔细推敲起来是不严密的，因为一方面它并没有清楚地说明“一个数”的准确范围，倒是人教版教材的界定比较清楚.另一方面“倍数”是相对于另一个数的关系来说的，并非强调两数相乘的“结果”，实际上是这个“结果”是每个数的倍数.
其实，关于“因数和倍数”严格来说是在两个数“整除”的前提下产生的相互之间的关系，所以，还是1983年版的现代汉语词典解释比较准确：一个数能被另一个数整除时，这个数即为另一个数的倍数.人教版教材去掉了有关“整除”知识的学习，直接进入“因数和倍数”的学习，凭借生活的情境“每排有4架飞机，3排有多少架飞机？”“梨每千克4元，买5千克梨需要多少元？”从3×4=12或5×4=20引出“因数和倍数”的关系，虽然这样的切入，让学生感到这里的“因数”与二年级“乘法初步认识”的“因数”基本上是一致的，但二年级所认识的“因数”和“倍”数主要是指一个数，它可以是整数、小数，也可以是分数等，如4的1.3倍是5.2，这里的“1.3”既可以把它看成是“因数”，也可以把它看成是“倍”数——两数相除所得的商.而在“因数和倍数”里，它们不仅有严格的规定——一般在不包括0的整数范围里讨论，而且它们必须是相互依存的关系，两者不可以离开另一方而独立存在.因此，为了凸显“因数和倍数”这种相互依存的关系，同时也为后续学习“质数和合数”打下基础，人们找到了一种比较好的数学模型来研究——用若干个相同的边长为1个长度单位的小正方形去拼一个长方形，能拼成的长方形所用的小正方形的个数就是长（或宽）所含长度单位个数的倍数，反之长（或宽）所含长度单位个数就是拼成长方形所含小正方形个数的因数.进而学生就会发现：除一个小正方形外，凡是只能拼成一个长方形的小正方形的个数都是质数，否则都是合数，较好地起到“以形解数”的作用.
总之，教学数学的概念，首先要剖析清楚概念的内涵和外延；其次要遵循学生的认知规律力求透彻理解概念的内涵，同时又要适度拓展概念的外延，让学生的思维既有广度又有深度；最后要加强概念与概念之间的辨析，有效提升学生的思维品质.