陕西省咸阳西北工业大学启迪中学 廉庚
数列在高中数学中占有非常重要的地位，每年高考都会出现有关数列方面的试题，一般分为小题和大题两种题型，而数列通项公式的求法是常考的一个知识点，一般出现在大题的第一小问中，因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握数列知识，更有助于我们在高考中取得好的成绩.本文将中学数学中有关数列通项公式的常见求法进行了较为系统的分析和总结。
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一．数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．
二．常见数列通项公式的求法
题型一 观察法 由数列的前几项求数列的通项公式
例1 (1)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()
A．an＝n2－(n－1) B．an＝n2－1 C．an＝n?n＋1?2 D．an＝n?n－1?2
(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.
解析：(1)观察数列1,3,6,10，…可以发现
1＝1，
3＝1＋2，
6＝1＋2＋3，
10＝1＋2＋3＋4，
…
第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝n?n＋1?2.
∴an＝n?n＋1?2.
(2)数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，
∴an＝2n＋1n2＋1.
思维升华： 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋处理．
题型二 公式法 由等差数列与等比数列通项公式直接求通项公式
这种方法只需要根据首项和公差（公比）直接代入通项公式即可求出，在此不需赘述.
题型三 由an与Sn的关系求通项公式
例2： (1)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________.
解析： 由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.
(2)已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．
①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.
解析： ①当n=1时，a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
②当n=1时，a1＝S1＝3＋b，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2?3n－1.
当b＝－1时，a1适合此等式；
当b≠－1时，a1不适合此等式．
∴当b＝－1时，an＝2?3n－1；
当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2?3n－1，n≥2.
思维升华： 已知Sn，求an的步骤
(1)当n＝1时，a1＝S1；
(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1；
(3)对n＝1时的情况进行检验，若适合n≥2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．这种方法可以形象的称为“三部曲”或者称为“当当当”.
题型四 由数列的递推关系求通项公式
例3 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式．
(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
解析： (1)∵an＋1＝an＋ln(1＋1n)，
∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝ln nn－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln 32＋ln 2＋2
＝2＋ln(nn－1?n－1n－2?…?32?2)
＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2适合上式，故an＝2＋ln n(n∈N＋)．
(2)∵an＋1＝2nan，∴anan－1＝2n－1 (n≥2)，
∴an＝anan－1?an－1an－2?…?a2a1?a1
＝2n－1?2n－2?…?2?1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝2n?n－1?2.
又a1＝1适合上式，故an＝2n?n－1?2.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴an＋1＝2?3n－1，故an＝2?3n－1－1.
思维升华： 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
(1)当出现an＝an－1＋m时，构造等差数列；
(2)当出现an＝xan－1＋y时，构造等比数列；
(3)当出现an＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；
(4)当出现anan－1＝f(n)时，用累乘法求解．
论文作者:廉庚
论文发表刊物:《创新人才教育》2018年第11期
论文发表时间:2019/1/15
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