探索底部：突出“研究性学习”&以“潮水现象数学模型”教学为例_研究性学习论文

刨根究底：让“研究性学习”出彩——以“潮汐现象数学模型”的教学为例，本文主要内容关键词为：刨根究底论文,潮汐论文,为例论文,研究性学习论文,数学模型论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      在高中数学教师的课表中，每周都会有一节“研究性学习”课.它是指学生在教师的指导下，从学习生活和社会生活中选择和确定研究专题，主动获取知识、应用知识、解决问题的活动.“研究性学习”课该怎么上？这是数学教师普遍的困惑.笔者听了不少课，总的感觉是，不少学校的“研究性学习”课是个摆设，上成了平常的数学课.

      通过“三角函数的应用”的学习，学生看到了很多可以用一个三角函数（y=Asin（ωx+φ）+t）模拟的周期现象.比如，弹簧振子作简谐振动，单摆作小角度摆动，摩天轮作匀速圆周运动等.但是，是否所有的周期现象都可以用一个三角函数模拟呢？对于一些自然界中更为真实、复杂的现象，如何用三角函数模拟呢？为了加深学生对三角函数的理解，展示三角函数的“威力”，笔者从苏教版高中数学必修4中的探究案例“港口水深的变化与三角函数”入手，引导学生展开了一次“研究性学习”，并在实施的过程中，引导学生不断深入，不知不觉地将1节课延伸为3节课.希望这3节“潮汐现象数学模型”的课例能够给同样困惑于上述教学现状的同行一些启发和触动.

      一、教学片段

      （一）第1课时：发现问题

      课始，笔者出示了教材中的案例（略去了（2）、（3）两问）：

      海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋.右面表1给出了某港口在某季节每天中几个时刻的水深.

      选用一个三角函数来近似描述此港口水深与时间的函数关系，并给出整点时水深的近似数值.

      

      在题目条件的引导下，按照教材提供的思路，笔者与学生一起完成了该案例的探究.学生对三角函数解析式中各个参数的实际意义有了更丰富的理解，对运用三角函数图象解决实际问题有了更深刻的感受.

      不过，就在一切都很顺利之时，一位学生的质疑却在课堂中掀起了“波澜”——

      生：我根据自己在海边的生活经验知道：（1）一个月里面，通常初一、十五涨大潮，初八、二十三涨小潮，所以农谚中有“初一、十五涨大潮，初八、二十三见海滩”之说；而教材上的模型每天都是一样的振幅，与实际出入较大.（2）每一天的涨潮时间应该比前一天推迟50分钟左右，而教材上的模型每天都是同一时刻，与实际也不相符.

      师：这位同学提出的问题有道理吗？

      生：（多数）有道理.

      师：那么教材中给出的潮汐现象数学模型是否正确呢？

      生：不够准确.

      生：不科学.

      师：我们能不能提供较为准确的数学模型？

      （学生陷入沉思.）

      师：当然，没有准确和足够的资料，我们是很难解决这样的问题的.既然我们不能立即解决这一问题，那么希望同学们课后查阅资料，走访相关部门，下节课我们继续研究.

      （二）第2课时：解决问题

      潮汐现象究竟是由什么引起的，它是否可以用一个三角函数简单模拟？带着这一更加真实、复杂的问题，笔者和学生查阅了很多资料.一周后的“研究性学习”课上，笔者和学生首先汇总、整理了所搜集的资料，主要内容如下：

      潮汐现象主要是由月亮和太阳对地球各处引潮力不同而引起的，并受地球自转、纬度和海岸地形的影响.

      1.潮汐现象可以分为以下3个类型：

      （1）半日潮型：一昼夜内出现两次高潮和两次低潮，前一次高潮和低潮的潮差与后一次高潮和低潮的潮差大致相同，涨潮过程和落潮过程的时间也几乎相等（约为6小时12.5分）.我国渤海、东海、黄海的多数地点为半日潮型.

      （2）全日潮型：一昼夜内只有一次高潮和一次低潮.我国南海的北部湾是全日潮型.

      （3）混合潮型：一月内有些日子出现两次高潮和两次低潮，但两次高潮和低潮的潮差相差较大，涨潮过程和落潮过程的时间也不等；而另一些日子则出现一次高潮和一次低潮.我国南海的多数地点属混合潮型.

      2.与潮汐现象有关的主要数据如下：

      （1）月亮引潮力是太阳引潮力的2.17倍.

      （2）把地球看成静止时，月亮绕行一周的时间是24小时50分；太阳绕行一周的时间是24小时.

      （3）每月初一月亮、太阳在地球的一侧且近似共线；初八月亮、太阳近似成90°角；十五月亮、太阳在地球的两侧且近似共线；二十三月亮、太阳近似成90°角；三十又回到同侧且近似共线——分别对应一个月内月亮经历的新月、上弦月、满月、下弦月这4个关键状态，如图1所示.

      

      （4）虽然初一、十五两天月亮、太阳和地球的相对位置不一样，但两种引潮力的合力都会引起大潮，相应地，初八、二十三两天，两种引潮力的合力都会引起小潮，如图2所示.

      

      为了简化，笔者决定重点研究学生通过教材案例有了一定了解的半日潮型的运动规律，同时，只考虑月亮、太阳引潮力的作用，不考虑其他因素.

      由此，笔者和学生首先通过理解转化和假设简化，重新表征了上述内容，得到如下使设问“如何用三角函数模拟潮汐现象”更容易建模的“题干”：

      在某一天的一昼夜时间内，仅仅考虑月亮引潮力，海水遵循两个周期的三角函数变化；仅仅考虑太阳引潮力，也是两个周期的三角函数变化.但是，这两个三角函数的振幅、周期不一样，初相可能也不一样，具体情况如下：

      （1）月亮引力潮函数的振幅是太阳引力潮函数振幅的2.17倍.

      （2）月亮引力潮函数的周期是12小时25分；太阳引力潮函数的周期是12小时.

      （3）一个月内，除了初一、十五两天（准确一点，应该是初一、十六两天或十五、三十两天），每天月亮引力潮函数的初相与太阳引力潮函数的初相都不一样，前者每天后移

，后者每天不变.

      根据以上信息，笔者和学生通过思考、交流，确定可以把月亮引力潮和太阳引力潮的合成用下面的函数表示（太阳引力潮的振幅被简化为1，月亮引力潮于初一前一天的初相被假设为0）：

      

      接着，为了检验该模拟函数的科学性——是否与经验事实相吻合，笔者在课上利用几何画板进行了演示，结果如图3～6所示.观察图象的变化，很容易看到“初一、十五涨大潮，初八、二十三涨小潮”的表征.另外，当k=1时，约3:20时刻达到第一次大潮，当k=15时，约15:40时刻达到第一次大潮（实际上表现为当天的第二次大潮），所以平均每天第一次大潮的后移时间为

（分钟）——这样计算是为了配合图象直观，其实如果计算k=1或k=2的情况，所得结果也是大约50分钟.这表明，该模拟函数与现实的潮汐现象相吻合.

      

      

      课后，我们就此次研究得出的潮汐模型，征求了海洋局专家以及教材编写专家的意见，得到了专家们的一致认可.

      （三）第3课时：创新应用

      又一周后的“研究性学习”课上，笔者首先向学生转达了专家们对我们的研究成果的意见.学生欢欣鼓舞，亲身体验到探究发现成功带来的满足和喜悦，课堂气氛被调动了起来.由此，笔者带领学生回顾了前两节“研究性学习”课的内容，梳理出建立更逼真、更科学的数学模型的大致流程：（1）深入研究，收集事实和规律（如物理的、化学的等）方面的资料.（2）理解转化信息，假设简化因素.（3）选择函数模型.（4）确定其中参数.（5）检验、验证模型.

      接着，笔者又提出了新的问题：“到此为止，同学们提出的两个问题都得到了比较好的回答，但继续思考，我们会发现上述潮汐模型其实就是两个频率相近的正弦波的叠加，那么，两个频率相近的正弦函数之和在R上，也就是在整个定义域而非一个近似周期内的图象会是什么样子呢？”学生热情高涨，通过几何画板，尝试画出了多种两个频率相近的正弦波的叠加图，其中一个图象如下页图7所示.

      然后，笔者继续引导道：“这便是小周期函数叠加成了大周期函数，我们面对的现实世界中有很多现象都是由多种因素综合作用而成的，利用数学方法，可以分解简化，从而提取这些现象背后的规律.我们既要知道真实世界的复杂与多样，也要了解数学家的眼光和追求——数学方法的内涵和价值.”学生若有所思、似有感悟.

      

      此后，笔者又继续提问道：“此类函数还可以在哪些方面应用？”同时，引导学生通过查阅资料，发现此类问题在声学中被称为“拍现象”，此类模型在数学上我们可以称为“鱼形函数”，它在测高速运动物体的速度等问题上有很好的应用……

      二、教学感悟

      （一）刨根究底，才能上出精彩

      “研究性学习”课，重点在“研究”，而不在“学习”.“研究性学习”课，要激励学生追求卓越、永不满足的态度，培养学生从思维深刻性上刨根究底、追根寻源的能力.“研究性学习”课要关注具有现实性和可延伸性、广泛应用性的问题，并注重研究的深入.教学中，要点燃学生思维的火花，激发他们的创新意识，并让学生的疑问自然流淌、思考充分表达；不能把结论直接抛给学生，不能强行打断学生的思路，而应通过问题引导，与学生共同分析、探究，不断深入，从而使得学生理解知识的产生、发展和应用过程，并在这个过程中培养逻辑思维、分析问题、解决问题等能力.

      （二）学生自悟，才可享受成功

      按照认知科学的建构主义观点，知识的学习只有通过自身的体验，才能得到“同化”和“顺应”，也就是说，应由学生自己将要学的东西“悟”出来（教师的任务则是引导和帮助学生去进行这种“再创造”的工作），这样获取的知识在头脑中才能根深蒂固.笔者立足于这一基本理念，根据“研究性学习”课的特点，在设计本课时，有意让学生挑战教材中已有的模拟函数，让学生经历提出问题、解决问题、初步应用等过程，使他们成为公式的“发现者”和“创造者”；同时，以“问题串”的形式引领学生进行探索活动，使每位学生都能在教师精心设计的问题探究中，不断体验获得阶段性成果的喜悦.

      （三）激发潜能，才显教育价值

      在教授“潮汐现象数学模型”前，笔者一直担心学生的课堂反应，潮汐现象对学生来说是一个陌生的内容，怎么用数学知识去模拟？他们是否具有研究的基本能力？课堂上冷场了怎么办？然而，在开展“研究性学习”后，笔者的一切疑虑均烟消云散，学生在轻松、好奇的情绪推动下，思维活跃、视野开阔，不仅发现了笔者事先准备的很多问题，而且想到了更深刻、周到的问题——当然，前提是笔者的鼓励和课堂氛围的营造.这样的“研究性学习”，培养了学生的学习兴趣，增强了学生的学习信心，并打通了知识之间的联系，激发了数学创造的思维潜能，使得数学基础与创新和谐统一.

      总之，教师要设置具有广阔思维空间的问题情境，引导学生探究、发现，鼓励学生质疑、尝试；并且注意充分发挥学生的主体作用，培养学生的探究精神和创新意识.也就是说，不仅要通过预设使得问题具有可研究的深度，更要关注教学的生成，并通过引导让学生的思考自然和深入.

      【编辑手记】本轮新课改实施以来，“研究性学习”是大家广泛探讨的一个话题.虽然有不少教师研究过这一课题，但是往往停留在口头上，在实际教学中，真正开设“研究性学习”课的为数不多，有的则把“研究性学习”变成了解题教学.本文中的课例，从一个较为贴近现实情境的课题出发，事先收集、整理相关资料，综合运用地理和物理知识，最终得出数学模型，体现了“研究”的一般过程，是一种比较自然的教学思路，我们可以从中受到不少启发.另外，教师敢于将时间花费在考试以外的内容上，这种实践的勇气也值得我们学习.

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