作为教育任务的数学解题，本文主要内容关键词为：数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、为什么要解题
解题历来受到世界各国的重视，解题是数学教学的重要组成部分，正如波利亚所说的，“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练.”解题一直受到我国数学教育的重视并被认为是中国学生的特长之一.《普通高中数学课程标准（实验）》中明确提出，数学课程的目标之一是“提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力.”同样，美国数学教育历来十分重视数学问题解决.《美国学校数学课程的原则与标准》（NCTM，2000）把数学问题解决作为各年级数学课程的重要组成部分，提出通过问题解决掌握新的数学知识，解决在数学及其他情境中出现的问题，采用各种恰当的策略解决问题，检验和反思数学问题解决的过程.全美州长协会（NGA）和各州教育长官理事会（CCSSO）共同推出的《美国数学课程州际共同核心标准》（CCSSM，2010）中，把“理解问题并解决问题”作为八大实践目标的首要目标.可以看出，解题成为学校数学的焦点，受到世界各国的广泛重视.
著名学者蔡金法教授从如何改进学生的数学学习这一宗旨出发，认为问题解决的最终目的是达到学习目标及改进学生的数学学习.因此，教师需要精心设计一些有利于数学理解的问题，学生充满信心地、饶有兴趣地、以探究的精神和方式来解决这些问题，比如，从不同的数学视角和策略探讨同一问题，或者用不同的方法来表征问题涉及的数学关系.在一定的问题情境下，在教师的协助下，启发学生提出猜想、探索猜想并修正猜想，最后用推理和证明来证实或推翻这些猜想.学生能够在课堂内外，将自己对数学的理解和研究的结果，以口头的或书面的形式与他人进行有效交流，使学生成为会利用各种信息、具备一定创造性品质的问题解决者.
促进学生的数学理解，启发学生的数学思维，改进学生的数学学习，所有这一切都离不开精心设计的数学素材.教师在选择好的、有价值的数学问题上，起着至关重要的作用.通过分析和选择数学问题、预计解答数学问题所能学习的数学概念及学生可能遇到的困难，教师决定所选的问题是否能帮助学生进一步达到教学目的.问题解决的教学对教师提出了更高的要求，因为他们必须既能教这些知识又要能培养学生正确的解题态度.教师的一个重要责任是设计好题目，给予学生在解题的过程中学习重要的知识和熟练解题技术的机会.显然，对于教师来说，设计一些有挑战性的问题，引导学生探索一些发人深省的解法，以及师生共同对问题解决的深刻反思，这都涉及对解题的深入研究.
二、作为教育任务的解题
在我国的数学教学中，无论学生还是老师每天都要与解题打交道.通过解题活动强化学生对数学知识的理解和掌握，发展学生的数学思维，提高他们的数学素养.作为一名中小学数学教师必须具有较强的对问题的判断、决策、分析、讲解、反思等能力.这些能力的强弱能够反映一名教师对数学理解的深刻程度，这是成为一名合格数学教师并能胜任教学的必要条件之一.尽管数学解题是数学教学的重要活动，是了解学生对数学知识掌握情况的一个重要环节，但是作为一名数学教师不应该让自己和学生落入“题海”中，这就需要教师对数学解题作深入的研究.
今天，无论是我国的中小学数学课堂，还是广大数学教育工作者发表的关于解题的文章，大都涉及比较高深的数学问题，展现的是高超的解题技巧.当然，这与我国的数学教育的一些传统有关.但是，当我们浏览美国的数学教育期刊的时候就会发现，美国的解题和中国的解题是有区别的.这些区别不仅表现在美国数学教育类期刊上刊登的文章中涉及的数学问题没有中国数学教育中涉及的数学问题那么高深，还表现在美国教师不只是单纯地研究问题解决方法的奇妙.美国类似期刊上刊登的文章展现更多的是：如何设计有意义的数学问题？教学中如何呈现数学问题？如何引导学生解决这些问题等.
什么是解题，不同学者有不同看法.本文中的“解题”不仅仅是探究如何解题.或者说，不是单纯地探究怎样解题的问题，我们讨论更多的是从教学角度出发的解题.例如，为了更好地服务于数学教学，教师如何设计数学问题？如何选择一个好的问题？如何呈现一个数学问题？怎样对问题的解决过程展开讨论？如何让数学问题发挥它的最大功效？这些都是我们所说的数学解题.
三、设计有价值的数学问题
数学教学的基本要求就是要仔细认真地选择能够激发、鼓励学生形成对数学的理解的教学任务.作为数学教育任务的解题离不开数学问题，只有好的或有价值的问题才能让学生有机会巩固和拓展他们所知道的内容并鼓舞他们学习数学.从而，教师面对的一个挑战是如何选择和设计“有价值的问题”.教师对任务的选择对于学生形成更深刻的、更加有联系的数学理解至关重要.学生受益于一系列精心设计的任务，这些任务由他们已经知道的内容组成，在挑战误解时形成新的知识.学生从他们对于数学的真实体验中对“做数学”形成自己的认识，他们最主要的体验数学规律的机会就是坐在课堂里参与活动.因此，选择“有价值的”数学任务在数学教学中有很大的作用.一个有价值的任务形成能够使学生将内容相互联系并对数学思想形成内容框架，注重问题解决和数学推理的方式，将数学思维融入数学概念和技能中，激发学生的兴趣，用多种合理的解决方法来鼓励学生猜想并对猜想进行验证.显然，设计一系列活动让学生感受到冲突、不确定性、惊讶、涉及重要的数学知识的问题，能够促进学生的概念化理解，形成推理的能力，促进数学交流和吸引学生的兴趣和好奇心.这些感受促使学生理解为什么他们的想法是错误的，而且也促进问题的解决.作为数学教育任务的解题中，我们期望学生通过问题解决收获数学内容，以及新的数学内容是怎样与他们已有的数学知识相关.以便学生能够重新组织数学知识或是将学生的非正式知识转化成数学知识，而不是单纯地记住教师所给的数学事实.
那么，有价值的数学问题源于哪里呢？一些研究人员认为开放式数学问题可能对学生学习重要的数学知识有影响.几个国际科学基金会在美国资助的课程项目，例如，数学衔接项目，数学情境项目等，这些项目包括现实情境和问题.当学生试图理解和认识现实情境时，他们能够从中寻求重要的数学思想.因为数学在生活的各个方面都存在，所以教师提供经验帮助学生寻找关系并欣赏数学及其在课外生活中的应用，这一点非常重要.在我国，数学概念经常在无背景和联系的情况下进行教学.学生知道为了下次考试必须记住，之后就遗忘了.数学教育者必须找到办法改变这种误解.这种改变的重点就是选择和实施一个有价值的数学任务.只知道数学是不够的，我们必须让学生积极地做数学.只有这样，我们才能成功地教会他们在这个时刻变化的社会里茁壮成长并变得出色.显然，一个有价值的数学问题最重要的标准就是问题应该作为学生学习重要数学的一种方式.这种问题不需要一个复杂的奇特形式，只要这个问题能够培养学生学习重要的数学，那么这就是一个有价值的问题.是不是一个有价值的问题需要回答以下六个关键问题：
·学生对这个问题感兴趣吗？
·这个问题是否包含了有意义的数学？
·这个问题是否给学生提供了应用和延伸拓展数学知识的机会？
·这个问题对学生来说是否具有挑战性？
·这个问题支持学生使用多重策略吗？
·学生与问题的互动过程能够揭示出学生对数学的理解程度吗？
四、满足学生的认知需求
美国学者Stein和Smith根据认知需求水平，对数学任务分为：高水平和低水平.低水平的需求包括记忆和无背景或意义情况下的运算法则的使用.高水平的需求也包括记忆事实和运算法则，但是能以不同的数学表征形式连接基本概念并给予数学意义.在认知需求水平的基础上将高水平和低水平的数学任务又细分为两种（下页表1）.
高水平的数学任务分为有联系的程序和做数学；低水平的数学任务则分为记忆和无联系的程序.因此，按从最低的认知需求到最高的认知需求排序，数学任务可以分为：记忆，没有联系的程序，有联系的程序以及做数学.
低水平的任务：只通过记忆，学生不能真正地理解或证实所给信息；他们需要做的只是重复信息.因此，任何只是简单地要求学生叙述公式的问题都属于记忆任务.
例如，以下几个例子：
（1）确定通过点（1，2）和（4，6）的直线的斜率；
（2）求斜率是2且与y轴交于点（0，4）的直线的方程.
（3）Mary每年能赚30000美元，她的工资每年能增加2000美元.
a.写出Mary在x年内能赚的钱的方程.
b.Mary在10年内能赚的钱的总数.
因为完成这类任务只需要进行计算就行了，它关注的重点是完成任务、获得答案，而不是形成深刻的数学理解或建立联系，对解释或证明没有作出要求.
用低水平的任务来进行数学教学对于确定学生知道重要事实和程序并用其来实践是很重要的.然而，这并没有让学生对概念建立联系并确定它们之间的相关性.因此，老师必须找到加深学生理解的方法，其中一种方法就是使用有价值的数学任务.
有价值的任务：有价值的任务要求学生去做数学，它没有确定的解题思路，而且经常有多种可能的正确答案.为了完成这种任务，学生不能只简单地记住事实或进行算法的演算；相反，他们必须用获得的知识来确定解题方法，并对每一个解题步骤进行证明.
例如，维基百科上报告说有8%的美国人每天都吃麦当劳.数据显示2012年大约有3.11亿美国人吃麦当劳，在美国大约有1.28万家麦当劳店面.不管你相信不相信网络发布的信息，从以上数据中做出一个猜想，并对你的结论给出一个数学上的证明.
这是一个可以扩展或转化为数学模型的例子.可以给学生一些近几年麦当劳餐饮消费的相关数据，然后让学生预测2020年美国人在麦当劳的餐饮消费会是多少.
在作为教育任务的解题中，概念性的理解是重点，而不是程序性的知识.涉及记忆和背诵事实、法则和程序性知识，强调用预演好的程序来解决常规问题的传统教学方式，在当下已经明显不适用了.
五、改进问题的呈现方式
如何呈现要研究的数学问题是解题中一个十分重要的问题，不同的问题呈现方式学生的收获是不一样的，呈现问题的方式不同，学生学习的机会不同.那么，问题的呈现方式就应该尽量让学生获得更多的学习机会，促进学生的数学理解.在数学课堂上，不同的问题呈现方式可以用来培养学生解决复杂问题、数学推理和表达的能力.我们应该选择合适的情境连接新的想法和旧知识.也就是说当情境是与学生的旧知识相关，就可以引发学生重新组织数学知识.我们来看一个外国数学问题的呈现：有张纸片，把它撕成5小片，把5小片中每一片再撕成5小片，也可不撕，如此继续，问能否撕成2005片？
上述问题可以转化为一个等差数列的问题，其首项是1，公差是4，问2005是不是该数列中的某一项？这个问题比单纯的直接告诉学生相关条件来解决它，显然这样的呈现方式更有趣.同样的问题如果转换一种问题的呈现方式，那么教与学的效果是不一样的.
在呈现问题方式上，需要注意几个重要的问题：
·呈现的问题能评估内容范围和认知过程吗？
·呈现的问题能够引出不同合理的解释或解决策略吗？
·这种呈现方式能清楚地表明期望学生学到什么吗？
·这种呈现方式能激发学生的最好表现吗？
·所有的学生能用同样的方式理解这个问题吗？
六、对解题过程加以引导
基于问题解决的课堂教学要求教师扮演好两个新角色，即选择合适的任务和组织课堂讨论.选择合适的任务和组织课堂讨论对培养学生数学理解是十分重要的.使用有价值的问题是基于问题的数学有效教学的一个重要的特征，但这还不够，因为一个有价值的问题可能并没有被合理地实施.因此，教师的另一个作用就是如何用有价值的问题来使学生在课堂的学习机会最大化.除了让学生参与到好的问题解决活动中，参与的类型也是至关重要的.换句话说，课堂讨论包括学生和老师的属性是我们急需考虑的.在通过问题解决的学习中，学生不仅有更多的机会表达自己的想法并证明自己结论的正确性，而且有更多的机会参与到认知需求问题中.
影响课堂中有价值问题的实施的因素有很多.最主要的一个因素就是分配在解决问题和讨论解决方案上的大量时间.在通过问题解决进行的教学中，对于问题和可能的解决方案的讨论所花的时间远多于一个常规的课堂活动的演示.那些主要关注问题解决的课堂用更少的问题，而且在每个问题上所花的时间比那些不以问题解决为主要焦点的课堂更多.而且，在这些问题解决课堂上，教师问更多关于概念性的问题，如描述一个策略或解释一个得到答案的基本推理，少问记忆性的问题.
在解题教学中，教师在指导数学讨论时的作用是高度复杂的.除了控制一个合适的量的时间来进行问题讨论，教师还必须决定需要强调任务的哪一方面，如何组织和协调学生的工作，选择什么问题来挑战不同层次的知识，以及如何在没告诉学生思维过程挑战仍存在的情况下帮助学生.也就是说，教师为学生的数学探索提供足够的帮助很重要，但不能完全接管学生的思维过程.教师不仅需要关于如何学习发挥作用的具体想法，他们还需要具体的例子来指导他们的实践.为了促进学生思维和推理过程的评估，可以用提示语、数学表达、图象等或这些表征的结合来表达解题策略和推理过程.
以下是有利于数学表达的提示的例子：
·解释你的答案和举一个例子；
·描述或展示你是如何得到答案的.你可以用图象作为解释的一部分；
·你同意哪种解决方案？解释为什么这种方案是正确的；
·用所学的知识展示你是如何找到答案的；
·描述图形中的数据.
以下是如何利用不同的策略来支持学生参与到小组以及整个课堂的讨论的例子：
·让一个学生复述和总结一个学生的回答然后叫其他学生来确认这个学生的总结；
·让一个学生对全班人提问，然后另一个学生去回答；
·提问另一个学生或者小组如果他们同意或者不同意一个学生或小组的叙述，并说明原因；
·提问一个学生或者一个小组来以一种不同的方式解释问题，并让他们捍卫他们的回答.
对于中国数学教育来说，转变对解题的认识，由纯粹的为了解题而解题，为了升学而解题升华到把解题作为教育任务而进行研究、探索，还有一段距离要走，任重而道远.