浙江财经大学东方学院信息分院 浙江 嘉兴 314408
摘 要：鞅是随机过程中一个重要的研究对象，大量的学者对其各方面的应用做了详细的研究。本文主要内容是：首先介绍了定义鞅的一个很重要的工具——条件数学期望，其次给出了离散鞅及连续鞅的定义，最后给出了证明随机过程是鞅的常见方法。本文虽然旨在用通俗的语言解释鞅，但在阅读过程中还是需要一些概率论知识作为基础，希望对于初学者来说有所帮助。
关键词：鞅 条件数学期望 布朗运动
鞅是随机过程中一个很重要的研究对象，从理论的角度来看，鞅的起源是对于独立增量随机序列的研究，如泊松过程、布朗运动等，通俗一些来说，“鞅”可以看做“公平”赌博的数学模型。关于鞅的应用已经辐射到很多领域，但对于初学者来说，鞅是什么？如何从概率的领域定义鞅？如何证明一个随机过程是鞅？都是很重要的问题。本文旨在用通俗的语言及概率论中基本的工具来定义鞅，并证明随机过程是鞅。
一、条件数学期望定义及其性质
1.条件数学期望定义：
（1）离散型随机变量的条件数学期望。设随机向量（X，Y）中X与Y的联合分布律为：P{X=xi|Y=yj}=Pij，i，j=1，2，…X与Y的边缘分布律为：P{X=xi}=Pi= Pij，i=1，2，…P{X=yi}=Pj= Pij，j=1，2，…则条件数学期望：E（X|Y=yj）= xi? ，j=1，2，…或E（Y|X=xi）= yj? ，i=1，2，…
（2）连续型随机变量的条件数学期望。设有连续型随机向量（X，Y），在Y=y发生条件下X的条件密度函数为：p（X，Y）= ，则条件数学期望期望：E（X|Y=y）= xp（X|Y）dx或E（Y|X=x）= yp（Y|X）dy。
由上述两个定义可以看出，条件数学期望表示随机向量（X，Y）的一种条件期望。
2.条件数学期望性质：
性质1：E（aX1+BX2|Y）=aE（X1|Y）+bE（X2|Y）。
性质2: 若X、Y相互独立，则E（X|Y）=E（X）。
性质3：若X、Y相互独立，则E（XY|Z）=E（X|Z）?E（Y|Z）。
性质4：若X是Y可观测的，则E（X|Y）=X。
性质5：E[E（X|Y）]=E（X）。
性质6：|E（X|Y）|≤E（|X||Y）。
二、鞅的定义及证明
1.鞅的定义：
（1）离散随机过程鞅的定义。设X={Xn，n≥0}为一离散过程，过程X={Xn，n≥0}是鞅，若对任意的n≥0，有①无条件数学期望有限：E（|Xn|）<∞；②对下一时刻的预测就是现在观察到的数据：E（Xn+1|X1，X2，…，Xn）=Xn。
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（2）设X={Xn，n≥0}和Y={Yn，n≥0}为两个离散参数随机变量，称过程X={Xn，n≥0}关于Y={Yn，n≥0}是鞅，若对任意n≥0，有①无条件数学期望有限：E（|Xn|）<∞；②E（Xn+1|Y1，Y2，…，Yn）=Xn。
（3）连续随机过程鞅的定义。设X={Xt，t≥0}为一连续随机过程，Ft=σ{Xs，0≤s≤t}为σ代数流，过程X={Xt，t≥0}称为连续时间鞅，若满足：①对任意的t≥0，E（|Xt|）<∞；②对所有0≤s≤t，有E（Xt|Fs）=Xs；③对任意t≥0，Xt关于F可测。
2.鞅的证明
例：若X1，X2，…是独立同分布的随机变量，令m（t）=E（e ），固定t并假定m（t）<∞，令S0=0，Sn= Xk。求证Mn=[m（t）]-ne 是关于X1，X2，…的鞅。
证明：根据鞅的定义。
（1)∵E（|Mn|）=E（|[m（t）]-ne |）=[m（t）]-n?E(e ）
=[m（t）]-n?E（e ）?E（e ）…E（e ）
=[m（t）]-n?[m（t）]n
=1<∞
注：由题目的已知条件可知e =e =e ?e …e ，又X1，X2，…是独立同分布的随机变量，所以E（e ）=E（e ）?E（e ）…E（e ）=[m（t）]n。
（2）又∵E（|Mn+1|X1，X2，…）
=E（[m（t）]-n-1e |X1，X2，…）
=E（Mn[m（t）]-1e |X1，X2，…）
=Mn?E（[m（t）]-1e |X1，X2，…）
=Mn?[m（t）]-1?E（e |X1，X2，）
=Mn?[m（t）]-1?E（e ）
=Mn?[m（t）]-1?m（t）
=Mn
由（1）（2）可知，Mn=[m（t）]-ne 是关于X1，X2，…的鞅。
证毕。
参考文献
[1]刘培德 鞅空间理论的新进展[J].数学杂志，2017，（3），446-456。
[2]李智 鞅在破产概率中的应用[J].数学学习与应用，2015，（21），145。
[3]郑庆玉 条件数学期望的应用[J].临沂大学学报，1995，（5），8-10。
[4]董志荣 可解性、可观测性及其它[J].情报指挥控制系统与仿真，2001，（1），26-29。
[5]黄超 对数正太分布的参数估计[J].高等数学研究，2015，18，（4），19-21。
论文作者:刘与嘉
论文发表刊物:《教育学文摘》2020年1月总第324期
论文发表时间:2019/11/14
标签：数学论文; 条件论文; 定义论文; 过程论文; 性质论文; 变量论文; 向量论文; 《教育学文摘》2020年1月总第324期论文;