高中数学中的“为什么”，本文主要内容关键词为：学中论文,高中数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
好奇心是个体对新异和未知事物想知的倾向，是个体重要的内部动机之一.好奇心是人的天性，是创造力的源泉.“只有不断地去问为什么，才能解开未知之谜”（院士孙义燧）.教师的责任之一就是保护和激发学生与生俱来的好奇心，而高中数学中的“为什么”就是激发学生好奇心的一把金钥匙.
一、为什么这样定义？
数学中的定义揭示了数学概念的内涵和外延，但是这些定义在数学教材中一般是开门见山直接呈现的.而探究定义的缘由则有助于深刻理解定义的合理性.
例1 二面角的平面角定义的合理性.
教材是用在两个半平面内垂直二面角棱的射线的夹角定义其平面角的.我们想提出的问题是：为什么一定要用垂直二面角的棱的射线的夹角定义其平面角？换言之，是否也可以用两条不与棱垂直的射线的夹角定义二面角的平面角呢？
为了说明教材定义的合理性，先来确认两个基本事实：①二面角大小的范围是[0°，180°]，而且其大小能够取遍该区间中的任何一个值；②当两个半平面重合时，其大小应为0°，而当两个半平面展开成一个平面时，其大小应为180°.
如果用两条不与棱垂直的射线的夹角定义二面角的平面角会出现什么问题吗？如图1，二面角α-l-β按照教材定义得到的平面角为θ.分别在半平面α，β内作两条射线OA，OB，它们与二面角的棱l所成的夹角均为γ（γ≠90°），记新定义的“平面角”为θ′，通过计算易得
.
注意到cosθ∈[-1，1]，γ≠90°，从而cos2γ≤cosθ′≤1，得0°≤θ′≤2γ＜180°.
上式说明新定义的“平面角”θ′是无法取遍区间[0°，180°]的.换言之，θ′只能取遍[0°，2γ].特别地，当两个半平面展开成一个平面时，按照新定义得到的“平面角”大小为2γ，小于180°.从而表明新定义得到的“平面角”是与前述基本事实矛盾的.因此只有按照教材定义，当γ=90°时所定义的平面角才是合理的.
类似的例子比比皆是.平面解析几何中为什么定义直线的斜率为tanα（α是直线的倾斜角）？为什么不用sinα或cosα定义斜率？为什么用过球面上两点的大圆劣弧定义球面距离？如何严格证明在球面上除了小圆外的其他曲线弧长均比大圆劣弧长？等等，都是值得深入探究的“为什么”.
二、为什么这样命名？
任何事物的名称的由来都是有一定缘由的，数学名称自然也不例外.
例2 诱导公式的名称由来.
在我当学生时就对为什么把这一组三角公式称之为“诱导”公式产生了强烈的好奇心，因为我始终困惑像数学这样严谨、客观、理性的学科为什么会给这一组公式起一个带有贬义色彩的“诱导”这样的名字？等到自己当老师时，终于弄清楚了其中的缘由.
其实从作用看，就是把任意角的三角函数通过诱导公式最终转化为锐角的三角函数.这种转化从文学的角度理解，其实就是一系列的“引诱、引导”.即先把“不受约束的”任意角的三角函数“引诱到”任意正角的三角函数“这个大房间里来”.再把任意正角的三角函数“引诱到”周内角的三角函数“这个房间里”.最后再把周内角的三角函数“引诱到”锐角三角函数“这个小房间里来”.虽然“引诱”这个词含有贬义的意思，但它深刻地揭示了诱导公式的本质作用.
当试着揭示数学名称的缘由时，你会发现其背后可能是数学的历史（例如圆锥曲线）；也可能是物理的知识（例如圆锥曲线的焦点）；也可能是高等数学的背景（例如奇函数、偶函数）；当然还可能是数学中的文化（例如幂、乘、商、共轭等）.因此，一个数学名称就是一首波澜壮阔的乐曲的曲名，它能带给学生无限的遐想.一个数学名称就是一部大型百科全书的索引，它能引领学生去自行探索新的领域.
三、为什么这样规定？
从小学开始，很多学生就伴随着数学中的很多规定认识数学.例如规定“0不能做除数”；规定“先算乘除，后算加减”，等等.当学生怀着强烈的好奇心刨根追问为什么这样规定时，很多老师或者搪塞：“就是这么规定的，你接受并且记住就好”，或者迫不得已地推脱：“就这样吧，不要纠缠，到此为止”.然而，这样的问题如果始终不能获得解答，数学在学生眼中就会变得粗暴、不讲道理、莫名其妙.学生会感到，自己并不是在学习一门学问，而是被不由分说地“抛到”一个强制的世界中，只是在考试的皮鞭挥舞之下被迫赶路，全然无法领略其中的美妙、和谐与统一.
实际上，如果深入思考，会发现数学中的任何规定一定有其必然性和合理性.只要正确认识了规定的必要性和合理性，学生眼中的数学就不再是“枯燥、无味、无用”，而是“生动、有趣、有用”.
例3 为什么规定0！=1？
如果单纯从组合的涵义看，0！其本身既无意义，也不可思议.而之所以规定0！是源于组合数的计算.
高中数学中还有一些规定，例如规定“空集是任何集合的子集”；规定“零向量的方向是任意的”；规定“按顺时针方向旋转的角为负角，按逆时针方向旋转的角为正角”，等等.这些规定的必要性和合理性都是值得深入探究的问题.
四、为什么这样解答？
美籍匈牙利数学家波利亚在上中学时常感到困惑：“这个解答好像还行，它看起来是正确的，但怎样才能想到这样的解答呢？”为此波利亚历时多年，研究了“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，并把研究所得写成《怎样解题》一书.在这本书中作者写道：聪明的读者不会满足于只验证推理的各步骤都是正确的，他们也想知道各个步骤的动机和目的.如果一条巧妙的辅助线和辅助图形突然出现在图形中，看不出任何动机，并且令人惊讶地解决了问题，那么聪明的读者会感到很失望，他们觉得上当受骗了.
问题是不动点方程①是如何“从天而降”的？
我想了很久终于想清楚了这个方程是如何“从天而降”的.
这样只需
就可以了，而这个方程实质等价于“从天而降”的方程①.至此，我们彻底弄清了不动点方程①的来龙去脉.
数学是最讲道理的一门学科，是最能以理服人的一门学科.而数学教师在教学中讲清楚这些“为什么”是最能体现数学以理服人的高尚品质的.