“平移和旋转”的知识背景及教学对策，本文主要内容关键词为：对策论文,背景论文,知识论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“平移和旋转”是空间与图形领域的内容，是小学数学中新增的知识。实际教学中如何把握好这一知识的科学性和教学的阶段性？广大小学数学教师有必要对“平移和旋转”的知识背景及教学对策作进一步的思考。
教材中“平移”和“旋转”的引入，是通过对物体运动的观察来说明的。“平移”和“旋转”都是平面图形几何变换中的专有名词，由于第一学段的小学生连直线的平行和圆的知识都没有学过，要从数学上来理解几乎是不可能的。但真正要从物体的运动抽象出这两个概念来，其过程也十分复杂。首先要将一些物体的运动进行运动学的抽象，得到刚体运动中的移动和转动的概念；其次，只有刚体作平面运动时，忽略运动的具体过程，仅仅关注其位移，才能归结到平面图形的移动位移和转动位移；最后，将移动位移和转动位移忽略其运动学的意义，才能抽象出数学中的平移变换和旋转变换。
由于学生不可能脱离物体的运动来理解平移和旋转，所以只能将平移和移动、旋转和转动混同起来。但让不科学的概念先入为主，比不了解更有害。教师在这部分内容的教学中，如何用学生能够接受的语言描述明白而不出现科学性的错误，是教学的关键。因此，了解、掌握“平移和旋转”的背景知识是合理运用教学策略的前提条件。
一、“平移和旋转”的知识基础
1.有关刚体运动的初步知识
为了简化对物体运动的研究，力学中抽象出了称为刚体的理想物体，即该物体上的任何两个点的距离在运动的过程中保持不变。在刚体运动中最简单的是移动（又称平动）及绕定轴的转动。
在物体上所引的并且固定于这物体上的任意一条直线，在运动时保持与自己本身平行，则此刚体的运动称为移动。如：汽缸中活塞的运动，刨床上刨刀的运动等都是移动。又如：坚固的三角形
（图1）借三个相等并且平行的曲柄
牵引而运动时，此运动为移动。这是因为直线
，或固结在三角形上的任意直线，运动时与其自身平行。从这个例子显然可见，移动不一定为沿着直线的运动，如点
的轨迹就是圆周。
图1
物体上的所有各点，在运动时都在画圆周，而且这些圆的中心都在同一直线上，则此刚体的运动称为绕定轴的转动，这直线就是转动轴线。
一个刚体能同时作移动和转动，而且所谓的转动其转动轴线本身也常会改变它对于物体的位置，这时就需要认为其转动在每一时刻绕瞬时轴线转动。另外，所有物体的运动都是相对于由参照物所确定的空间坐标系来说的。作为玩具的陀螺在运动时对地面上固定的参照物来说常常是转动和移动的合成运动，但是我们又常常将陀螺的运动作为转动的代表。实际上这是使用了一个特定的坐标系，该坐标系将运动中陀螺的对称轴作为z轴，在和该对称轴垂直的平面内确定x轴和y轴。由于陀螺作为转动轴线的对称轴对于陀螺自身来说不会改变位置，这个转动还是绕定轴的转动。
因刚体的一般运动可以看作由移动和转动所合成，由此可知移动和绕定轴的转动不但是刚体运动中最简单的情况，而且也是最基本的情况。
2.平面图形的移动位移和转动位移
研究移动和转动合成的刚体运动十分复杂，结合小学数学教学的要求，本文主要介绍刚体的平面运动。所谓刚体作平面运动，指分布在一平行于某给定平面的平面上的刚体上的各点，在整个运动时间内保留在原平面上。事实上在工程中所遇到的机械构造，除少数例外情况，都是此类运动。可以想象作平面运动的刚体，按一个平面图形在其平面内的运动即可判断整个刚体的运动。平面图形在其平面内的运动是平面移动和平面转动的合成。从工程机械研究和设计的需要来看，所要关注的是图形在某一时刻相对于其初始时刻的相对位置，而可以忽略在这段时间内图形是如何具体运动的，这一抽象就得到了平面图形的位移概念。
如图2，一平面图形的位置可由其上A及B两点或线段AB的位置给定。如果平面图形AB从I的位置平面移动到I'的位置（A到达A'点，B到达点B'），因有A'B'∥AB，不管图形移动的具体轨迹如何，图形AB的位移（移动位移），就可用向量AA'来确定，并有从图形AB中的每一点按向AA'的方向平行移动|AA'|得到图形A'B'的几何作图法。
图2
同样平面图形AB从I的位置通过绕定点O的平面转动到达I'的位置（图3），因有∠AOA'=∠BOB'，此时图形AB的位移（转动位移）就可以用圆心O和∠AOA'来确定，并有从图形AB中的每一点绕点O转动∠AOA'，得到图形A'B'的几何作图法。
图3
一般地，平面图形AB从I的位置通过平面刚体运动到达I'的位置，此时图形的位移，当A'B'∥AB时仍然可以用移动位AA'来确定；当A'B'不与AB平行时，可以分别作AA'与BB'的垂直平分线，并设其交点为O，仍然可以用圆心O和∠AOA'决定的转动位移来确定（当垂直平分线重合时，就用AB与A'B'的交点作为圆心O）。
3.有关几何变换的初步知识
在数学中，平移、旋转都是几何变换的名称。几何变换是几何学中非常重要和深刻的概念。本文仅讨论平面上图形的几何变换。从一个图形（原图形）变换到另一个图形（象图形），从本质上看就是一个点集到另一个点集的映射，如果要保证逆变换存在，该映射还必须一一对应。变换从直观形象上来说是将原图形中的点“搬动”到象图形中间的对应点，但所关注的是怎样来确定这个对应点（映射的对应法则），而并不关注具体的“搬动”途径。
任何的运算都建立在其结果的存在唯一性上，由于“变换”的上述第二种意义，就可以建立关于变换的运算。
两个变换的乘积是指对图形依次实施这两个变换的变换。由于一般变换的乘法并不具有交换律，对“依次”要预先给出约定。可以验证旋转变换的乘法不满足交换律，并可以证明及
当
时也是一个旋转变换
，而旋转中心O可用第二节中的方法来确定，当时，其乘积就变成一个平移变换了。
利用向量加法的平行四边形法则，可以证明
即两个平移的乘积是一个平移。由于向量加法具有交换律，可以证明平移的乘法具有交换律。由于向量总可以分解为若干个向量的和，所以平移变换也可以沿着折线用若干次的平行移动而得到。
在几何变换中，有许多直接使用变换所具有的性质来命名，如：保距变换、连续变换、拓扑变换等；有些如仿射变换、射影变换等我们更关注的是变换和原图形相比保留了哪些性质。
平移变换也可用变换的性质来给出定义：图形AB保距变换到图形A'B'（A'、B'分别是A、B的象），若A'B'∥AB，则该保距变换就是平移变换。保距变换是指保持距离不变性的变换。所谓保距性是指在原图形中任取两点A与B，它们的象分别是A'与B'，则总有|A'B'|=|AB|。保距就决定了图形的大小、形状保持不变。轴对称变换、平移变换、旋转变换（中心对称变换是其特例）都是保距变换。图形除大小、形状外还有方向。举三角形说明之：△ABC若A、B、C按逆时针方向排列就称其为正向三角形，反之称为负向三角形。可以验证平移变换、旋转变换保持图形的方向，而轴对称变换要改变图形的方向。由此可知通过平面移动和平面转动到不了该平面图形轴对称图形的位置，轴对称变换没有相应平面上的运动学意义。容易证明对称轴平行的二个轴对称变换的乘积是平移变换，且任何一个平移变换都可以分解成两个轴对称变换的乘积，当然这种分解就不具有平面上的运动学的意义了。
二、“平移和旋转”的教学背景
“平移和旋转”的教学目标集中体现为第一学段：感知平移、旋转现象，能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形；第二学段：认识图形的平移和旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90°。“平移”和“旋转”在物理学中是指机械运动的两种基本形式，在数学中是指图形（点集）的变换。在小学数学教学中，为什么要渗透图形变换的内容？这是因为，早在1872年克莱因就提出各种几何都可以由变换群所刻画，每种几何理论就是某个变换群下不变性质的理论。而平移、旋转、反射、相似等是构成欧氏几何的基本变换。图形的变换是物体运动的一种数学抽象，物理学着眼于运动的过程，而在数学中关注的是图形所变换前后的关系。
从课程目标的价值取向上看，小学阶段并不是学习物理学机械运动中的平移、旋转，而是学习认识图形、处理图形的一种手段，并学习利用这些思维方式进行简单画图和图案设计活动。教学中所说的“平移”和“旋转”，其含义不能与数学中的图形变换知识矛盾，应该保证教学内容的科学性。应把平移和旋转放置在“是一种基本的图形变换”的大背景下，既可表示物体（图形）运动的过程，也可表示物体（图形）运动前后的关系，教学中突出把平面图形运动前后的关系作为我们研究的主要对象。在数学变换中，平移都用一个向量表示，若干个平移变换的乘积对应着向量的相加，可用它们的一个和向量来表示。因此就造成一个错觉，认为物体沿着直线运动也是平移的本质属性，这是不够科学的。实际上无论是以物理的眼光，还是以数学的角度，整体沿着直线运动既不是“平移”的必要条件，也不是“平移”的充分条件。
同时，全面分析学生的学习准备情况是有效实施课堂教学的保证。9岁左右的孩子以形象思维为主，他们的思维往往需要丰富而多元的体验作为支持，虽然平移和旋转是小学生日常生活中经常看到的现象，但学生在实际生活中观察到的具体现象绝大多数是两种现象的合成。“平移”和“旋转”是一个很复杂的概念，显然，要求学生构建严谨的数学语言表述是不可能的事情，但让学生构建准确的概念又是很有必要的。
三、“平移和旋转”的教学策略
对照上述数学知识，容易明白平移和旋转可以由平面图形的移动位移和转动位移，撇开其运动学的意义经数学抽象而得到。但在小学教学中由于只能跳过中间环节，为此也只能将平移和旋转与刚体运动中的移动和转动相混同。实践证明，采用“混而不错”的教学策略能有效地把握好数学知识科学性和教学过程阶段性的统一，即用准确的动作、儿童的语言描述明白而不出现科学性的错误，也就是让儿童学属于自己的数学。但在具体操作时，要注意以下几个问题：
1.注重体验，弥补语言表达的不足
对于这一内容的教学，不必作过多的理性分析和阐述，无需追求“一步到位”，力求体现知识发展的阶段性，巧妙设置问题情境，形成认知冲突，以操作促思考，以形象促抽象。首先需立足于学生现实的发展水平，找准学生的“最近发展区”，通过目的性较强的游戏活动以“移动”和“转动”作为学生的认知起点，初步感知物体平移和旋转的运动特点。接着，借助生活中典型的实例和写实性的描绘使学生逐步建立正确的表象，加深对平移、旋转现象的感知。并通过动手操作（用动作表示）抓住“平移”和“旋转”的本质属性，用动作的准确性弥补语言表达的不足，帮助学生扎实有效地理解平移和旋转的基本知识。最后，能对简单图形进行变换，运用变换设计图案。根据低年级学生的特点，用写实性的描绘介绍“平移”时，若淡化运动过程，忽略运动轨迹，强调物体本身没有发生包括方向的任何变化，将进一步确保教学内容的科学性，有利于“平移”概念的正确建立。
2.注意感知材料的典型性，确保科学性
采用“混而不错”的教学策略，在课堂教学的实施过程中需特别注意设计游戏的目的性、所用事例的典型性，必须构建栅栏，使一些容易造成误导的内容尽可能不在教学中出现。如：
(1)在一些练习册上有要求判断升国旗是平移还是旋转的习题，但没有明确国旗是怎样升的。若国旗固定在平板上，是移动可以说成平移；若用旗杆升国旗，不是刚体运动，谈不上是移动、转动及它们的合成。这说明所举例子要将不是刚体运动的情况排除在外。
(2)滑滑梯的例子。由于要看成刚体运动，应当强调身体的姿势应保持不变。所举滑梯要是普通型的，而不要“S”型的，且不要去强调普通型是沿着直线下滑，两头是弧线也不影响结论。保持姿势的人体在普通型的滑梯上滑动可以看作刚体的平面运动，容易判断是移动，可说成平移。保持姿势的人体在“S”型的滑梯上滑动，不是刚体的平面运动，判断起来比较困难，但只要在横向截面上取一直线，即可发现不是移动，应该是转动与移动的合成。
绕轴运动的门窗是刚体的平面运动，门窗上的横截面都在和轴线垂直的平面上运动，且容易判断是转动，可以说成是旋转。
说明举例要尽可能采用刚体平面运动的例子。
(3)缆车的运动。在一些书中有关缆车的插图，有意画成沿着直线的运动，这不仅不符合实际，而且有误导作用。一般缆车是一段段地沿着悬链线的曲线运动，作一些平行于缆绳所在平面的平面作为截面，可以发现能将缆车的运动看成刚体的平面运动，且是移动。
(4)虽然教材中有在方格纸上将一个平面图形向上（下）、左（右）平行移动若干格的练习，但不能由此就认为平移是平面几何内的平行移动作图法的简称。虽说由平面图形F在其所在的平面内使用平行移动法得到的平面图形F'是F的平移，而且若平面图形F'，是平面图形F的平移就一定可以使用平行移动法从F作出F'，但一种几何变换和其相对应的几何作图法毕竟是两个不同的概念。作F的平移变换F'还有很多其他的方法，例如沿着折线的多次平行移动法，使用二次轴对称图形作图法，使用二次旋转变换的作图法等等。
(5)举例说明什么是移动、转动时很难避开的运动的相对性。考察自行车的运动（有轮子的交通工具都一样）车架相对于路面是移动，轮子相对于车架是转动，但轮子相对于路面是移动和转动的合成。