【信息科学与控制工程】

三轴转台粗瞄控制系统非脆弱鲁棒滤波

李月芳¹，周振华¹，王 茂²

(1.常州轻工职业技术学院, 常州 213164； 2.哈尔滨工业大学 空间控制与惯性技术研究中心, 哈尔滨 150000)

摘 要： 提出一种基于广义分段仿射系统理论的非脆弱鲁棒滤波算法，解决一类参数不确定性体现为范数有界形式的连续广义分段仿射系统具有H _∞性能指标且渐近稳定的弹性滤波器的设计问题。通过采用广义分段仿射Lyapunov函数、投影定理以及几个基本引理，提出了对于由所设计弹性滤波器构成的滤波误差动态系统满足鲁棒H _∞性能指标的反馈控制器设计方法。通过求解一组包含参变量的LMIs，可以得到保证广义分段仿射系统具有H _∞性能的反馈控制器增益和渐进稳定弹性滤波器的待定系统矩阵，以及具有鲁棒控制性能的干扰抑制度γ =21.425 4。

关键词： 粗瞄控制系统；分段仿射Lyapunov函数；非脆弱；鲁棒滤波；LMIs

由于星地通讯具有实时性和精准性，被广泛应用于军事领域，而在众多星地通讯方式中激光通讯仍是行之有效的解决方案。伴随超光谱成像技术和合成孔径雷达在卫星平台上的应用^[1]，如何准确且高速捕捉和瞄准链路目标成为星地激光通讯领域研究的热点^[2-4]。这一过程的实现依赖于粗瞄控制系统控制策略的选择以及实现，因此，粗瞄控制系统性能将直接影响激光通讯对焦的速率和质量^[5]。

自1945年，世界上首个采取传统滚珠式轴承的仿真转台在美国麻省理工学院诞生^[6]，到我国现代新型三轴转台雏形的出现，这一过程伴随技术更新和几代人的不懈努力^[7]。2005年，哈尔滨工业大学自主研发的三轴飞行仿真转台ET313A，准静态瞄准精度高、飞行速度适应范围广，相关技术参数达到国际领先水平^[8]。基于控制理论与相关技术的不断发展，近年来有关三轴转台的报道多集中在控制算法选择与模拟实现上，文献[9]通过对测量模型、结构参数模型及外参数模型的建模及优化整合提出一种基于三轴转台的多视场星敏感器标定方法。用于地面卫星整星级姿态动力学试验的三轴气浮台参数辨识方法由文献[10]给出，采用剩余误差法可以直接作为二阶电子稳定方程的替代方案，成功应用于三轴稳定转台雷达^[11]。此外，文献[12-13]在转台结构以及控制策略选择上也做了相应的研究。不难发现，今年来对三轴转台控制算法的研究均没有给出消除子系统切换所造成延时以及如何抵消外部扰动的方法，本文在前人所做研究的基础上，研究三轴转台粗瞄控制系统既能消除切换延时以及外部扰动，又满足一定鲁棒性能指标的控制方法。

本文基于广义分段仿射系统理论提出一种非脆弱鲁棒滤波算法，针对粗瞄控制系统位移状态切换存在延时且抗扰动能力较弱，解决一类参数不确定性体现为范数有界形式的离散广义分段仿射系统具有H _∞性能指标且渐近稳定的弹性滤波器的设计问题，并将结果转换为包含参变量的LMIs约束条件，得到欲寻求使闭环系统容许的反馈控制器增益。本文所考虑星地激光通讯粗瞄控制系统整体框架如图1。

图1 星地激光通讯粗瞄控制系统整体框架

1 数学建模

本文所考虑三轴转台的三个自由轴都采用传统直流力矩电机驱动，三轴之间关系如图2。

图2 方位轴与俯仰轴位置示意图

其中：控制方位轴采用一个电机(101)，而俯仰轴采用两个电机(102,103)，且俯仰轴的两个电机绕组在接线时采用串联方式，以保证其同步性。

ϑ^-1A _di (t )^T P _i

式中:T _m 为电机的输出转矩，T _l 为对转台台面轴的干扰力矩，J _m 为电机转子的转动惯量，J _l 为负载的转动惯量，θ ₀为转台转角，B _m 为电机转子阻尼系数，B _l 为负载的阻尼系数^[14]。

其中：电机的自由转子以及其负载所产生的额外力矩由表示，又称为电机干扰力矩，此后用T _c 代替，从而得到简化后的结果：

引理2^[16]若ψ ₀(ξ ),ψ ₁(ξ ),…,ψ _p (ξ )为ξ ∈R ⁿ 的二次仿射函数，其中ψ _i (ξ )=ξ ^T Q _i ξ ,i =0,1,…p ，且对于一组正数μ ₁,μ ₂,…,μ _p ≥0，若对任意ξ ∈R ⁿ ，式成立，则对于满足ψ ₁(ξ )≥0,ψ ₂(ξ )≥0,…,ψ _p (ξ )≥0的所有ξ ∈R ⁿ ，有ψ ₀(ξ )≥0。

通过推导，得到三个电机的输出力矩，以此类推，还可以通过负载动力学方程推导出电机自身内部系统的电气方程式，具体操作过程如下：

直流力矩电机作为驱动系统的元件，根据电气原理将电机的模型归纳如下：

由此得到电机自身内部系统的电气方程式，其中各个物理量的具体含义如表1所示。

表1 各物理量的具体含义

接下来，采用Laplace变换对以上电机自身内部系统电气方程和电机输出力矩进行处理，可以得到如下平衡方程：

在此假设三轴转台方位轴所转动的方向角可以通过测量得到，将三轴转台所受台面垂直方向的力矩T 作为系统输入，一段时间以后，对系统实施控制策略的最终目的在于保持方位轴转动角速度θ ₀恒定的前提下，使得：y =0(103位移),φ =0。

此时，离散广义分段仿射系统鲁棒H _∞性能指标γ =21.425 4。

云浮的庇佑范围有多大？这个问题，恐怕没人说得清。他扭头望了一眼身后，高高的云浮山，半掩在白云与迷雾的背后，像一位伟大的母亲，将所有的云浮族人揽在怀中，她远远望着他，带着慈爱的笑，温柔而美好。

(1)

t ∈[-h ,0]

(2)

其中：x (t )∈R ⁿ_x 为系统状态变量；u (t )∈R ⁿ_u 为控制输入向量；y (t )∈R ⁿ_y 为系统输出向量；φ (t )是初始条件，τ (t )系统的变时滞，并且为第i 个子系统的已知线性定常系数矩阵；Eb _i 是偏置项；索引集合是I ={1,2,…,N }；E ∈R ⁿ_x ×n _x 是广义矩阵，且rank(E )=r ≤n _x ；ΔA _i 、ΔA _di 和Δb _i 代表系统的不确定项，且满足如下形式：

(3)

注：本文中只考虑矩阵A _i 、A _di 和b _i 带有不确定项的情况。本文处理不确定项的方法同样可以应用于其他系统矩阵，例如B _i ，i ∈I 。

其中：W _i1 ，E _i1 ，E _i2 和E _i3 是预先指定的定常实数矩阵，Δ_i (t ):Z ⁺→R ^s₁×s ₂是一个未知的实值时变矩阵函数，并且包含Lebesgue可测量元素，具有如下形式；

(4)

如果式(3)和式(4)同时成立，则称系统具有容许的参数不确定性。

在子系统中，将多面体区域R _i 过渡到区域R _j 的集合用Ω 表示，可以描述为：

迄今为止，关于综掘工作面风筒位置对硫化氢运移分布影响的研究尚处于空白阶段，高硫矿井掘进工作面在治理硫化氢的通风方式上还存在一定的盲目性，不利于硫化氢的稀释和集中抽采治理，因此，笔者对矩形掘进巷道中硫化氢从掘进工作面均匀涌出时，局部通风掘进工作面的风流流场及硫化氢分布进行数值模拟，分析风筒出口位置对风流流场和硫化氢分布的影响，得出掘进巷道中流场和硫化氢分布的一般规律。

Ω ={(i ,j )|y (t )∈R _i ,y (t +τ (t ))∈R _j ,i ,j ∈I }

(5)

本文假设多面体区域R _i ,i ∈I 具有形式：

R _i ={y |α _i ≤y ≤β _i ,y =C _i x },i ∈I

(6)

该多面体区域可以进一步描述为一个椭圆集合，其中F _i =2C _i /(β _i -α _i )，f _i =-(β _i +α _i )/(β _i -α _i )；

采取走访和电话调查的方式，对全省11所独立学院就业指导课的开设情况进行了调查，调查的内容包括课程开设的形式、上课的年级(学期)安排、是否纳入教学计划、学分(课时)、使用的教材和教师队伍情况等问题，调查的结果整理归纳如表1。

ε _i ={x |||F _i x +f _i ||≤1},i ∈I

(7)

对于每个椭圆区域，可以得到；

(8)

进一步将状态空间分为两类区域I =I ₀∪I ₁，I ₀代表包含原点的并且，索引集合区域，I ₁则代表其余的索引集合区域。

2 预备知识

定义1^[15]考虑参数不确定体现为范数有界形式的离散广义分段仿射系统(1)，其中u (t )=0；

① 如果deg(det(zE -A _i ))=rank(E ),i ∈I 则称式(1)所表示的系统是因果广义系统。

② 如果式(1)所表示的广义系统是容许的，则系统(1)必定正则、因果，而且是稳定的。

③ 用ν ¹表示矩阵束(E ,A _i )的一阶向量，且非零向量ν ¹满足Eν ¹=0，对于满足Eν ^k =A _i v ^k-1 的非零特征向量ν ^k (k ≥2)，则称为矩阵束(E ,A _i )的k 阶特征向量。

定义2 在本文中，设计弹性状态反馈控制器：其中：K _i ∈R ⁿ_u ×n _x 是控制器的增益矩阵，ΔK _i (t )是控制器中的不确定项，ΔK _i (t )=M _k F _k (t )N _k ，M _k ，N _k 是已知的适当维数线性矩阵，并且F _k (t )^T F _k (t )≤I 。

引理1 对于适当维数实矩阵M =M ^T 、S 、N 和Δ(t )，若满足Δ^T (t )Δ(t )≤I ，则当且仅当存在某个标量ε >0时：M +S Δ(t )N +N ^T Δ^T (t )S ^T <0等价于M +εSS ^T +ε ^-1N ^T N <0。

克莱恩费尔特综合征 （Klinefelter syndrome，KS），简称克氏综合征，是于1942年由Klinefelter等[1]最早提出的一种最为常见的性染色体畸变疾病，主要分为嵌合型和非嵌合型两类，嵌合型KS一般能在精液中找到精子，而80%[2]为47，XXY非嵌合型患者极少有精子。非嵌合型KS有精子且自然生育报道极为罕见。本文就1例非嵌合体克氏综合征患者有精子且已生育进行详细介绍。

其中：

对于系统式(1)，考虑性能指标：

J =(x ^T (t )Qx (t )+u (t )^T Ru (t ))dt

(9)

π=E (b _i +Δb _i )，式(16)可进一步改写为如下形式，其中(i ,j )∈Ω ：

(K _i +ΔK _i (t ))x (t ),K _i ∈R ⁿ_u ×n _x ,i ∈I

无源雷达作为一种特殊的双基地雷达，其利用环境中的民用或商用辐射源作为机会照射源来探测和定位目标[1,2].由于其具有的隐蔽性高、覆盖性好、操作和维护成本低、不占用频谱资源等优点，近年来在军用和民用领域均引起了学者的广泛兴趣[3,4].

(10)

有此状态反馈控制器(9)和连续广义分段仿射系统(1)构成的闭环系统可以描述如下：

(11)

其中：

3 主要结果

定理 若存在对称正定矩阵ϑ=ϑ^T ∈R ⁿ_x ×n _x ，和一系列实数ε _ij ,i ∈I ,(i ,j )∈Ω ，有如下不等式组成立:

E ^T P _i E ≥0

(12)

(13)

(14)

其中：ϑ；则由连续时间广义分段仿射系统(1)和非脆弱状态反馈控制器(10)构成的闭环系统(11)是容许的，且由此反馈控制器构成的闭环系统存在一个性能上届，

J ≤J ^*=φ ^T (0)E ^T P _i Eφ (0)+φ ^T (s )ϑ(s )ds

证明 在本文中，考虑如下连续时间广义分段仿射李雅普诺夫函数：

(15)

根据连续时间时滞广义分段仿射李雅普诺夫函数(15)的定义，为使闭环系统(11)是容许的，只需保证如下不等式成立，具体做法是对连续时间广义分段仿射李雅普诺夫函数(15)式两边同时沿闭环系统(11)求导，得到如下不等式：

(16)

其中：

ϑ

本文中，考虑如下弹性状态反馈控制器：

(17)

从式(16)可以看到：

(18)

很容易得到如下不等式：

A _i (t )^T P _i A _i (t )-E ^T P _i E <0

(19)

假设矩阵束(E ,A _i (t ))是非因果的。用一阶特征向量ν ¹和它的Hermitian矩阵ν ^1*分别左乘和右乘式(19)。用Eν ²代替A _i (t )ν ¹，并注意到Eν ¹=0，得到：

ν ^2*E ^T P _i Eν ² < 0

(20)

与条件(12)相矛盾。所以得到矩阵束(E ,A _i (t ))是因果的。显然，证明因果性的同时也证明了矩阵束(E ,A _i (t ))的正则性。

进一步将式(17)改写为如下形式：

(21)

考虑系统性能指标(9)，为了使闭环系统(11)满足预先指定的保性能控制律，只需要令然而u (t )=(K _i +ΔK _i (t ))x (t )，因此得到如下不等式：

说着说着，陆枫桥不经意间提到江云飞。罗香微微一怔，随后淡淡说：“不说他了。江大哥，江大哥他，一向来去自由，喜欢飘在江湖。”

(22)

应用引理2，可以得到如下不等式：

(23)

其中：

ϑ+

本文对此类三轴转台的数学建模采用物理推导的方法进行，被控对象为转台台面轴，其负载部分的数学模型可以根据三轴转台力学原理推导，其动力学方程如下式所示：

不同区域的地质灾害发育程度、危险性等级的划分也不同，所以要因地制宜，研究人员要进行实地考察，根据事实得出结论，根据成果划分区域，对地质灾害高易发区加大资金与科技的投入，建立更多有效的预警和避难系统。这种因地制宜的方法能够有效的节约资金，减少不必要的投入。另外，进行区域的划分也能让人们针对地质灾害的情况产生预警心理，有防灾的意识，也能有效的降低地质灾害的风险。

(24)

其中：ϑ。由于不等式成立，对上式进行移相处理后，所以可以进一步得到：将此式两端对时间t 从0到∞积分，得到：

J =(x ^T (t )Qx (t )+u (t )^T Ru (t ))dt ≤V (x (0))=

φ ^T (0)E ^T P _i Eφ (0)+φ ^T (s )ϑ(s )ds =J ^*

定理得证。

注：定理的证明没有考虑b _i +Δb _i =0,i ∈I ₀的情况，即π=E (b _i +Δb _i )=0，当I ₀所代表的区域表述为如下形式时：并且，考虑此区域信息的定理就应该具有如下形式：

(25)

定理给出了连续时间时滞广义分段仿射系统式(1)的保性能控制器存在的充分条件，但是通过观察可以看到所得不等式中还含有不确定项，因此该结果不能用Matlab中LMI工具箱求解，故下面将定理的结果转化为与其等价的线性矩阵不等式。不考虑中的不确定项，即也不考虑π=E (b _i +Δb _i )中的不确定项，即：π=Eb _i 。

对顶风违纪问题加大监督检查力度，严查快办，并实行责任倒查，严肃追究党组织主体责任和纪检组织的监督责任，同时对典型问题通报曝光，形成有力震慑。

4 数值仿真

本文所考虑三轴转台的三个自由轴都采用传统直流力矩电机驱动。根据状态空间描述法给出的系统式(1)，每个自由轴的电机对应一个广义分段子系统，则各自的参数矩阵赋值如下：

具有范数有界参数不确定性的离散广义分段仿射系统区域信息式中各项的赋值情况如下：

其中：

（3）分析土塞效应的关键影响因素，结合力学与土塞增量填充率特性研究，分析既有理论研究合理性，建立了简化的土塞效应折减系数计算公式，并从“统标”出发，推演得出可运用于水运工程规范计算开口钢管桩竖向极限承载力的土塞效应折减系数。

α ₁=3,β ₁=10,α ₂=4,β ₂=9,α ₃=2,β ₃=8。

二次型性能指标式中的加权矩阵：

再次应用引理2，可以得到如下不等式：

另外，选取三轴转台粗瞄控制系统初始状态为：

并且给定范数有界参数不确定性的离散广义分段仿射系统扰动信号具有形式：w (k )=10e ^-k 。通过数值仿真得到带跟踪值与预先指定期望之间的关系曲线，由于引入非脆弱鲁棒H _∞滤波器而产生的闭环系统状态跟踪值是基于本文所提定理而产生的，可以通过应用Matlab 7.0软件中的mincx求解器得到。

应用本文所提三轴转台粗瞄控制系统设计方法得到欲寻求的状态反馈控制器增益矩阵：

接下来，鲁棒H _∞滤波器的待定系数矩阵如下：

进一步，通过反拉氏变换，将该类系统状态空间描述归纳为一类参数不确定性体现为范数有界形式的时变参数连续时滞广义分段仿射系统：

另一方面，本文所设计滤波误差动态跟踪系统中预先指定期望值和被跟踪值之间的关系曲线见图3、图4。

(3) 数值模拟中注浆质量对地表沉降的影响较弱，可能因为模型中未考虑浆液对土体孔隙的填补作用。因此实际施工中，应选取合理配合比，严格控制注浆压力。

图3 根据定理得到的滤波系统状态X ₁误差响应曲线

图4 根据定理得到的滤波系统状态X ₂误差响应曲线

其中，虚线表示被跟踪信号状态响应曲线，实线表示预先指定期望值。显而易见，两条曲线之间伴随跟踪较好。

针对传统三轴转台粗瞄控制系统子系统相互切换存在系统输出延时的情况，本文所提算法同样给出了解决方案。应用本文定理，基于以上给出的数值仿真结果，绘制系统输出响应曲线，如图5所示。

1.3.2 注射碘酊治疗法:行常规口腔粘膜局部消毒后,取8号针头从囊肿边缘外正常粘膜部位刺入,直达囊腔内,尽可能的抽尽或挤出囊液,待囊肿缩小或凹陷后,手指压迫囊肿周围防止血液回流,然后向囊腔注入2%碘酊0.2-0.5ml,至囊腔内充满碘酊液,囊壁由透明色变为半紫色后停止,注射后停留2分钟,用干棉球加压注射处,抽出针头,手指按压棉球1分钟,去除棉球,检查无药液渗出即可,1周后复诊,视情况可按以上方法重复注射1次,一般不超过3次。嘱患者保持口腔清洁,必要时口服抗炎药物,预防感染,饮食以清淡饮食为主。

其中，右边的曲线(横坐标从0到0.045)表示实际系统输出曲线，而左边的曲线(横坐标从0.045到0.05)表示传统控制方法作用下的系统输出曲线。通过观察可知，本文所提算法成功消除了传统控制方法给整体系统带来的系统延时。

根据仿真结果绘制实际三轴转台粗瞄控制系统中台面方位角以及俯仰角的误差跟踪曲线，具体见图6所示。

经过统计发现，本文获取的1 030篇文献分别分布在30种期刊上(如图2)。其中，刊载武术文化研究50篇以上的期刊有5本，共刊载了442篇，占据了所有文献的将近一半。期刊《体育文化导刊》载文量最多，达到113篇，其次是《武汉体育学院学报》，发文量为104篇。《成都体育学院学报》、《北京体育大学学报》、《上海体育学院学报》的发文量都在50篇以上。并且，除了体育类期刊以外，武术文化研究的文献还分布在了教育类、新闻类以及中华文化研究的期刊中，比如《教育理论与实践》、《传媒》、《中国教育学刊》、《中华文化论坛》等。可见，武术文化研究受到不同领域刊物的重视，体育类期刊对于该主题的研究更为关注。

图5 根据定理得到的滤波系统输出响应曲线

图6 台面角以及俯仰角牵引偏差曲线

图6中上图曲线代表台面方位角牵引偏差曲线，下图曲线代表俯仰角牵引偏差曲线。

维州政府当天发表公报说，新线路全长90公里，建成后将把墨尔本各主要轨道路线和机场轨道路线连在一起。同时，还将新增10余个地铁站点，更加方便乘客出行。

本文所提控制系统的设计方法源于实际项目需求，为了验证本文所提控制方法在实际转台控制系统中的可行性以及卓越性，需要对硬件系统中主控板、故障保护电路装置以及高速串行通讯板°三部分进行分别配置。在实际测试时，现场所得实验数据根据不同速率分组进行记录，实验数据中分别给定速度为0.01(°)/s，定时 1 000 s取值，完成10°停顿的取值；指定速度取30 (°)/s记，间隔12 s，停顿12 s取值，完成360°间隔的读数；迭代取值11次。

通过试验可知，本文所提三轴转台粗瞄控制系统设计方法可以解决实际问题。

5 结论

本文针对现有星地激光通讯粗瞄控制系统，在未知外部干扰和测量噪声存在的前提下，提出了一种基于线性矩阵不等式LMI算法的H-infinite非脆弱保性能控制方法，成功消除位移状态切换时存在的内部系统延时。通过采用广义分段仿射Lyapunov函数、投影定理以及几个处理线性矩阵不等式的基本引理，使得由所设计弹性控制器构成的反馈系统同时满足鲁棒H-infinite性能指标和二次型性能指标。通过求解一组包含参变量的LMIs，得到保证此类连续广义分段仿射系统具有H-infinite性能的反馈控制器增益以及滤波器待定矩阵，通过仿真证明所提方法有效。

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Non-Fragile Robust Filtering for Three-Axis Turntable Coarse Aiming Control System

LI Yuefang¹, ZHOU Zhenhua¹, WANG Mao²

(1.Changzhou Vocational Institute of Light Industry, Changzhou 213164, China; 2.Space Control and Inertial Technology Research Center, Harbin Institute of Technology, Harbin 150000, China)

Abstract: A non-fragile robust filtering algorithm based on the theory of generalized piecewise affine system was proposed to solve the problem of designing an elastic filter for a class of discrete generalized H-infinite piecewise affine systems whose parameter uncertainties are expressed in the form of norm bounded. By using the generalized piecewise affine Lyapunov function, projection theorem and several basic lemmas, a feedback controller design method was proposed for the filtering error dynamic system consisting of the designed elastic filter, which satisfies the H-infinite robustness performance index. By solving a set of LMIs with parameters, the undetermined system matrix guaranteeing the performance of the generalized piecewise affine system, the gain of the feedback controller, the asymptotically stable elastic filter and the disturbance rejection degree γ =21.425 4 with robust H-infinite control performance can be obtained. The simulation results show that the proposed design method is effective and excellent.

Key words: coarse aiming control system；piecewise affine Lyapunov function；non-fragile；robust filtering；LMIs

doi: 10.11809/bqzbgcxb2019.07.031

收稿日期： 2019-01-02；修回日期：209-02-11

基金项目： 江苏省专业带头人研修计划(2017TDFX002)

作者简介： 李月芳(1975—)，女，硕士，教授，主要从事电机拖动及仿真研究，E-mail:2460576884@qq.com；王茂(1964—)，男，教授，博士生导师，主要从事三轴转台控制系统研究及应用研究，E-mail:191439371@qq.com。

通讯作者： 周振华(1983—)，男，博士，副教授，主要从事复杂系统理论及其控制策略的选择研究， E-mail：zhouzhenhuazzh@163.com。

本文引用格式： 李月芳，周振华，王茂.三轴转台粗瞄控制系统非脆弱鲁棒滤波[J].兵器装备工程学报，2019,40(7):153-158.

Citation format: LI Yuefang, ZHOU Zhenhua, WANG Mao.Non-Fragile Robust Filtering for Three-Axis Turntable Coarse Aiming Control System[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2019,40(7):153-158.

中图分类号： TH13

文献标识码： A

文章编号： 2096-2304(2019)07-0153-06

(责任编辑 杨继森)

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