课程目标：理解的视角——以有理数乘法运算为例，本文主要内容关键词为：有理数论文,乘法论文,为例论文,视角论文,课程目标论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
课程目标是选择、组织课程内容的依据，更是课程评价的准则.因而，课程设计的首要任务是确立课程目标.关于课程目标的制定，国内开展了丰富的研究.然而，这些研究较多的是宏观的思辨研究，缺乏微观的定量分析；这些研究较多的是凌驾于学科之上的研究，缺乏基于学科的具体分析.因而，在修订、完善课程标准的今天，“创新研究方法，加强实证研究，以增强研究的科学性”[1]，拿出令人信服的证据，以便制定出具有系统性、层次性、适切性的学科课程目标，显得尤为迫切和必要.
本文以数学学科中的有理数乘法运算为例，研究学生的理解水平，分析学生达到当前理解水平的原因，试图构建基于学生理解水平的课程目标，进而对基础教育课程目标的制定提出建议.
一、研究的方法与分析框架
（一）研究对象
Z市是山东省某市，教育和经济发展在山东省处于中等水平.M1、M2为Z市的两所城镇初级中学，均有10个左右的平行班级，在当地的综合排名分别为第一、第五.研究对象是这两所中学成绩中等的7年级班级各1个（7年级学生正在学习有理数乘法）.
为纵向了解学生对有理数乘法运算的理解，寻求学生理解所发生的变化，我们对其中的一个班级作了两次同样内容的测试，一次在刚刚学过有理数乘法以后，另一次在学期末.
（二）研究工具
1.问卷调查
问卷内容如下：先计算，然后用尽可能多的方法，如文字解释、画直观图、算式表示等来说明你的答案是正确的，也就是要说明为什么“负正得负”、“正负得负”，特别是“负负得正”，说明得越详细越好.
问题1：（-3）×6
问题2：7×（-5）
问题3：（-5）×（-3）
2.访谈
调查完成后，立即对问卷进行分析，对学生进行访谈.
（三）分析框架
我们从理解的类型层次模型、表征转化模型（理解就是用不同的表征方式表征数学概念并实现表征方式相互转化、建立表征方式之间的联系）出发，[2]并基于Fredenthal关于运算学习的4个阶段（直观的运算、算法的运算、代数的运算和整体的组织），提出有理数乘法运算理解的4种类型.
直观理解：用直观图像或现实情境来说明运算结果的合理性.
程序理解：按照固定的程序，比如用运算法则来解决问题，给出正确的答案.
抽象理解：用语言、算式等来说明结果的合理性.抽象理解与直观理解的区别是，直观理解要通过直观表征来说明结果的合理性，而抽象理解是通过口头语言、书面符号等来抽象地说明结果的合理性.
形式理解：用一个已知的规则、规律（相当于数学的公理、定理），基于逻辑推理证实运算结果的合理性.抽象理解与形式理解的区别是，形式理解要使用规律、规则，并基于逻辑推理来证实结果的合理性.
理解的类型层次模型可以作为我们分析学生对有理数乘法运算理解的理论.
二、研究结果
（一）学生的理解
对有理数乘法运算的正确理解，包括对法则的正确使用和运用各种各样的方法说明运算结果的合理性.
程序理解.比如，学生S1（学生——S；访谈者——T）：7×（-5）=-35.因为一个负数与一个正数相乘，得负，再把绝对值相乘.
能够给出正确的答案，即获得了对有理数乘法运算的程序理解.
直观理解.用现实情境表征.比如，学生S2：一件衣服减价5元，记为-5，7件衣服共减价35元，记为-35，也就是7×（-5）=-35.再比如，S3：今天的气温为0度.每天下降5度，记为-5.今天记为0，昨天记为-1，前天记为-2，大前天记为-3，（-5）×（-3）就是大前天的度数，就是15.
用数轴来表征.比如，学生S4：-5就是向坐标轴的反方向移动5个单位.乘一个负数，就是向相反的方向移动.乘-3就是向相反的方向移动3次，即到达15.
抽象理解.比如，学生S5：7×（-5）=（-5）+（-5）+（-5）+（-5）+（-5）+（-5）+（-5）.即用加法来说明乘法的合理性.更具有数学特点的解释方式是不完全归纳法，比如，7×1=7，7×0=0，7×（-1）=-7，……，7×（-5）=-35.这种方法虽然不是形式归纳，但体现了真正的数学.
学生为了说明“异号相乘得负”，特别是“负负得正”，提供了多种解释.这些解释大都是一些说服自己接受法则的“助记术”，从理论上讲，存在着一些错误.
（二）理解的水平
1.量化的层次
（1）平均分和正确率.经过统计，学生在不同理解类型上的平均得分和正确率如表1.
从上表可以看出，学生对有理数乘法运算的理解分布极其不均：几乎所有的学生获得了程序理解，而与此同时，没有一个学生获得形式理解.程序理解容易获得是显而易见的.大部分学生认为学习有理数乘法没有什么困难，“不就是多了一个符号吗？只要会小学时所学习的运算，就没有困难”.
形式理解的正确率为0也在情理之中.数学教科书中所使用的是不完全归纳模型（见“抽象理解”），该模型是通过合情推理的方式来推导有理数乘法的法则的.对于教科书中的模型，学生尚且不能理解和使用，更不用说是形式理解.
直观理解和抽象理解之所以有34%和21.3%的正确率，是因为前两个测试题目比较容易.在学生心目中，只需把问题2中两个因数的位置交换一下，问题2与问题1就没有什么区别了.因而，理解了问题1，也就同时理解了问题2.我们单独统计了学生回答问题3的得分情况.（见表2）
这表明：学生对“负负得正”的直观理解、抽象理解的正确率比较低；真正能够说明为什么负负得正的学生非常少.
2.描述性的层次
学生对有理数乘法运算的理解可以按照以上水平，描述如下页表3.
（三）纵向比较研究：对有理数乘法运算的理解不升反降
在学期初学生刚刚学过有理数乘法后，我们对一个班级的学生进行了测试，测试题目同问题3.在学期末，对这个班级，我们进行了同样的测试.结果表明：其一，学生的理解水平不升反降；其二，对为什么“负负得正”，即对有理数乘法运算很难理解.
三、分析与讨论
（一）学生的理解水平较低
对有理数乘法运算的理解关键是对“负负得正”的理解.研究表明，仅有10%左右的学生对为什么“负负得正”给出了合理的解释，即很少学生能够理解有理数乘法的算理，学生的理解水平较低.之所以如此，是由该知识的特征与学生的认知发展水平决定的.
1.知识的超验性
一个苹果的1，半个苹果的0.5，这些数字都有着明确的表征物.这些表征物与我们的日常经验紧密相连，与日常测量密切相关.负数则不是测量出来的.如果说亏损了20元，那个20仍旧是个正数.因此人们并不觉得非要接受负数不可.不能实际测量，正是一些数学家不愿意承认负数的理由.负数是由具体数学向形式数学的第一次转折.要完全掌握这种转折中出现的问题，需要有高度的抽象能力.可想而知，在再现历史缩影的学习过程中，学生将会遇到多大的困难.负数超越了日常经验，而学生仍然习惯于用测量的结果来表征数字，不能运用推理的方法来理解负数，于是就发出了这样的质问：现实生活中，负数在哪里？
2.学生认知发展的层次性
数学知识的基础，即确定数学命题真理性的依据，是由演绎证明所组成的.理论上讲，数学知识的获得，需要经过严格的演绎证明.事实上，在中小学（特别是小学阶段），由于学生的认知水平较低，许多知识是通过举例子或通过不完全归纳，即通过合情推理得到的.“负负得正”就是这样的知识：在整数环的公理系统中可以严格地证明这个法则；而在中小学，由于学生的认知发展水平较低，演绎证明是做不到的.
负数的出现，是数的一次抽象与扩展.扩展本来也并不一定困难，但是，这种扩展缺乏直观的基础，因为扩展后所得到的负数具有超验性.缺乏直观的基础，本来也没有什么问题，只要能够从逻辑上进行证明，而遗憾的是逻辑证明也很困难，因为超越了学生的认知发展水平.此时的学生，往下踏不到直观经验这块实实在在的“地”，往上够不到演绎推理这个“天”.从而，有理数乘法运算就具有了难以理解的特性了.
学生不仅对有理数乘法运算的理解水平较低，对于那些容易直观理解、抽象理解、形式理解的小数乘法运算、分数除法运算，理解水平依然较低.学生对小数乘法运算直观理解、抽象理解、形式理解的正确率分别是22.2%，20.9%，4.9%；学生对分数除法运算直观理解、抽象理解、形式理解的正确率分别是31.3%，23.1%，1.4%.事实上，对于那些耳熟能详的数的运算，比如分数乘法的分子乘分子、分母乘分母、分数除法的颠倒相乘、有理数乘法的负负得正，叙述也好，计算也罢，都比较容易，但是，为什么这样算是对的，静心自问，一时能够说得清楚吗？当然，还可以提出这样的问题，有必要说得清楚吗？
（二）课程目标要求偏高
相对于学生的实际理解水平，课程目标要求偏高.
我国《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出：“对数与代数学习的评价，应主要考查学生对概念、法则及运算的理解与运用水平.”关于有理数教学的要求是“在具体情境中，理解有理数及其运算的意义”，评价建议是“关注学生对有理数的意义、有理数运算法则的理解水平.对运算的评价重点应放在学生对算理的理解.”2000年《九年义务教育全日制中（小）学数学教学大纲（试用修订版）》要求：“要重视培养学生的计算能力，要重视基本的口算和笔算训练.引导学生在理解算理的基础上，通过必要的练习逐步达到教学要求.”“使学生理解小数乘除法的意义，掌握计算法则，能够比较熟练地进行小数乘除法笔算和简单的口算.”“理解有理数加、减、乘、除、乘方的意义.”相应的教师用书指出“：有理数教学的主要难点是对有理数运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理解.”即将颁布的《课程标准修订稿》要求：在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理.
不仅我国强调对运算的理解，其他国家亦然.《美国学校数学教育的原则和标准》把“学生必须理解地学习数学”作为学习的原则，并提出评价“应侧重在学生的理解和基本技能的掌握”.在学习的时候，“应把计算器放于一边，以便着重于算理的理解”[3].
强调理解是对的，但是，数学课程标准、数学教学大纲以及相应的教师用书，对“什么是有理数乘法运算的意义和算理，什么是理解了乘法运算的意义和算理，理解有几个水平”，都没有明确的说明.以上表明，学生的理解具有层次性和有限性，总体理解水平较低.也就是说，相对于学生的理解层次和水平而言，目前的课程目标要求偏高.另外，强调理解而不明确理解的水平和层次，无论是教科书的编写还是教师的教学，都难以操作和把握.
四、对完善课程目标的建议
（一）课程目标需要基于学生的理解水平
向儿童教授新概念应尽可能按其自发的认识过程顺序进行.教师应避免从外部人为地加速儿童对某种问题的认识过程.每次过早地教给儿童自己日后能够发现的东西，这样会使他们不能有所创造，结果也不能对这些东西有真正的理解.加速大概是可能的，但不可能有极大的加速.虽然存在一个最佳期，但什么时候是最佳期，必定依赖于每一个儿童本身和学科的性质.学习从属于发展，而不是相反.布鲁纳的一个主张迄今仍使我感到惊讶不已：可以通过一种智慧上诚实的方式，教会任何年龄的儿童任何的内容，只要方法得当.我不知道他是否现在还相信这一点.[4]
既然学习从属于发展，既然学生的理解水平较低，课程标准就需要基于学生的理解水平，提出适切的目标要求.
数学作为知识形态的存在，大都是对现实的抽象，或者是对抽象的进一步抽象.常识要成为数学，必须经过提炼和组织，进而凝聚成一定的法则.这些法则在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织，再凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如此不断地螺旋上升，以致无穷.这样，数学的发展就显示出层次性.人们的认知发展是一个从感知运动、前运算、具体运算到形式运算的过程，是一个不断抽象化、形式化的过程.认知发展也具有一定的层次性.探求、厘定两个发展的和谐匹配，促进两个发展的齐头并进，即实现课程目标的“学科逻辑顺序”与学生的“心理发展顺序”的有机统一，是制定适切课程目标的基本保证.一个人在数学（或者某个学科）上能够达到怎样的层次，因人而异，取决于他的先天条件和后天条件.但是，一个多数人都能够达到的层次必然存在.课程标准制定者的任务就是找到这样的层次.这个层次就是学生的认知发展水平，就是学生的理解水平.基于这样的理解水平，基于这样的层次，所制定的课程目标才具有适切性与科学性.教育工作者的任务就在于帮助多数人达到这个层次，并不断努力提高这个层次和提出达到这个层次的途径.
当然，这并不是说，我们就是儿童中心论者、儿童决定论者，课程目标必须亦步亦趋地拘泥于学生严格的理解水平和发展阶段.而是说，教育的目标是为了儿童的发展，在制定这样的目标时，需要从儿童出发，儿童的现实、经验、理解水平、认知发展水平，是制定课程目标的基点.正如蒙台梭利所言：只要儿童不能够按照自然的规律发展并且受到心理偏离正轨的折磨，人类将永远是不正常的.时至今日，有的成人仍被自己对学科强劲的爱的意志支配，对高目标、深难度情有独钟，以盲目的爱和强迫性的灌输教育，压抑甚至泯灭儿童初创生命的主导本能，弱化了他们生而具有的生命活力，使他们变成了学习的机器.高标准、严要求，大都披着美丽的关爱的外衣，大都映衬着五色的希望的光环.
（二）课程目标需要具有明确性与适切性
基于学生的理解水平，就要修订、调整课程标准的要求，制定出更为明确、适切的课程目标.“课程目标应定得更加具体些、科学些、严谨些，而其中的内容标准定得更加灵活些、全面些和松动些，这样才更有利于落实三级课程管理体制，使学校办出特色，发展学生个性.”[5]
以下方法可以帮助我们制定出明确、适切的课程目标.通过实验、诊断访谈、问卷调查，获得学生对某一核心概念理解现状的数据，学生认知发展现状的数据；通过分析这些数据，厘定学生的理解水平、认知发展水平；基于学生的理解水平、认知发展水平，建立学生的理解常模；基于学生的理解常模，确立课程目标，并进而建构核心概念的年龄安排层次和阶段.学习心理学的研究结果已经揭示了达到一个目标需要花多长时间，在哪一个年龄段做怎样的努力最有效.当我们依据这一观点为各年级或各年龄段的学生考虑教育目标时，这样的过程就称为年龄安排.然而，只有相当少的学习心理学研究确切地指明了哪一年龄段学习某种操作最有效.[6]基于学生的理解常模的课程目标才可能是有效的、适切的.一个核心概念的年龄安排解决了，一系列核心概念的年龄安排就可以借鉴类似的解决方案.数学就是由这些核心概念构成的.数学核心概念的年龄安排如此，其他学科核心概念的年龄安排亦如此.
比如，对有理数乘法运算，课程标准（或者标准解读、教师教学用书）中不能用一句“理解有理数乘法的算理”了事.通过研究，我们厘定了学生的理解水平，界定了学生的理解层次，提供了“有理数乘法运算的理解水平描述”，这为我们制定“有理数乘法运算的理解目标”提供了较为坚实的支撑.我们可以提出以下目标要求：“熟练地进行有理数乘法运算，对于一部分学生，能够结合例子或者模型来说明运算结果的合理性.”广而言之，有关小数运算、分数运算的理解目标，有关其他数学知识的理解目标，我们都可以基于研究，制定得更加明确些、适切些.
需要特别强调的是，要通过实证研究，获得真实的数据，通过数据、证据，使得源于感性的模糊争论得到来自理性的清晰解决.