单主体认知逻辑的研究——全知性和真知性，本文主要内容关键词为：知性论文,认知论文,主体论文,逻辑论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B815.3
文献标识码：A
文章编号：1009-4482(2003)02-0010-06
在《二重命题逻辑系统B[,T4]》[1]中，我们建立了刻画主观自信性和主观自觉性的单主体认知系统B[,T4]。在这篇文章中，我们还讨论了自信性、自觉性以及它们之间的关系。本文是在这篇文章的基础上，继续研究单主体认知的性质。本文主要讨论单主体认知的全知性、真知性，以及自信性、自觉性、全知性、真知性之间的关系[2]。
单主体认知逻辑采用广义模态逻辑的方法，即在命题前加逻辑算子B来表达认知语句。“主体a认知命题a”用B[,α]来表示。单主体认知逻辑的公式、公式的代入、公式的置换定义如常。对公式使用归纳定义和归纳证明时，使用
，→。
这里讨论的全知性、真知性都是主观性质。换句话说，这些性质都是认知主体自认为他的认知所具有的性质。主观全知性是说认知主体认为他认知任意一个命题或其命题的否定，我们用B(
来表示。主观真知性是说认知主体认为真的命题都是他认知的命题，我们用B(α→B[,α])来表示。主观自信性是说认知主体认为他的认知都是真的，我们用B(B[,α]→α)来表示。主观自觉性是说认知主体认为他明白他认知的命题，我们用B(B[,α]→BB[,α])来表示[3]。
单主体认知逻辑语义学是一种可能世界语义学。但是这种语义学与标准的可能世界语义学有所不同，不同之处在于：
(1)区分了现实世界与可能世界。现实世界不是可能认知世界，它与可能认知世界具有不同的性质。所以在这种语义学中就有两种不同的通达关系，一种是认知可能世界之间的关系，另一种是现实世界与可能世界之间关系。在处理上，我们直接使用与现实世界有认知关系的认知可能世界集，而不使用通达关系。它是认知可能世界集的子集。
(2)有效性的定义不同。这是认知逻辑语义学与标准可能世界语义学本质的区别。标准的可能世界语义学的模型有效性需要在所有的可能世界上都真；而认知逻辑的语义学的模型有效性只需要在现实世界上真就可以了。
一 单主体认知逻辑的形式语义
u∈V(B[,α])当且仅当任给v∈U，都有v∈V(α)。V(α)称为α在V下的值。M=＜K，V＞称为模型。
定义1.3 满足K=＜o，W，U，R＞是框架。
定义1.6 R是W上关系。
(1)X是W是子集，如果任给u∈X，都能从uRv得到v∈X，则称X对于R是封闭的。
(2)U是W是子集，包含U的对R封闭的最小集合称为U的R-闭包，记为U[*]。
(3)U是W是子集，w∈W，U(w)=｛u｜wRu｝。
定义1.7 K=＜o，W，U，R＞是框架。
(1)如果任给x∈U[*]，都有xRx则称K是自返框架。
(2)如果任给x∈U[*]，都有从xRy且yRz得到xRz，则称K是传递框架。
(3)如果任给x∈U[*]，都有从xRy且xRz得到y=z，则称K单可及框架。
(4)如果任给x∈U[*]，都有从xRy得到x=y，则称K是只及自身框架。
定理1.8
二 封闭框架类
定义2.1 模拟K=＜o，W，U，R＞是框架。任给w∈W，框架K(w)=＜o，W，U(w)，R＞称为w的模拟框架。
引理2.2 K=＜o，W，Ua，Ub，Ra，Rb＞是框架，任给w∈W。任给K上赋值V，存在K(w)上赋值V'，使得任给公式α，都有
o∈V'(α)当且仅当w∈V(α)，
任给x∈W，都有x∈V(w)(α)当且仅当x∈V(α)。
证 取K(w)上赋值V'，使得任给命题变项p，都有
o∈V'(p)当且仅当w∈V(p)，
任给x∈W，
都有x∈V'(p)当且仅当x∈V(p)。
归纳证明：任给公式α，都有
o∈V'(α)当且仅当u∈V(α)，
任给x∈W，
都有x∈V'(α)当且仅当x∈V(α)。
定义2.4 封闭框架类Γ是框架类，如果任给K∈Γ，任给w∈U，都有K(w)∈Γ，则称Γ是封闭的框架类，简称Γ是封闭的。
在一个单主体认知框架上，单主体认知逻辑的认知概括规则是不成立的。定理1.5就充分说明了这一点。但是在封闭框架类上，认知概括规则是成立的。单主体认知逻辑的有效性只对封闭的框架类定义。
(2)(3)(4)由(1)和定义1.7可得。
定理2.9 以上框架类是封闭的框架类。
(1)所有自返框架的框架类。
(2)所有传递框架的框架类。
(3)所有单可及框架的框架类。
(4)所有只及自身框架的框架类。
引理2.10 如果Γ和Σ都是封闭框架类，则Γ∩Σ也是封闭框架类。
定理2.11 以下框架类是封闭的框架类
(1)所有自返，传递框架的框架类。
(2)所有自返，单可及框架的框架类。
(3)所有自返，只及自身框架的框架类。
引理 2.12
(1)所有的只及自身框架是传递框架。
(2)所有的只及自身框架是单可及框架。
证 (1)设K=＜o，W，U，R＞是只及自身框架，则任给x∈U[*]，从xRy能得到x=y。
任给x∈U[*]，若xRy且yRz，则y∈U[*]，由x∈U[*]和xRy得x=y，由yRz和x=y得xRz。
因此K是传递框架。
(2)设K=＜o，W，U，R＞是只及自身框架，则任给x∈U[*]，从xRy能得到x=y。
任给x∈U[*]，若xRy且xRz，则x=y且x=z，
所以y=z。
因此K是单可及框架。
三 公理系统和典范模型
单主体认知逻辑的极小系统由以下公理和推演规则组成：
（一）公理
(1)重言式公理 重言式的代入
(2)K公理B(α→β)→βα→Bβ
（二）推演规则
(1)分离规则从α，α→β得到β。
(2)认知概括规则从α得到Bα
任何单主体认知逻辑的公理系统S，以下简称公理系统，都是由单主体认知逻辑的极小系统加一些公理所组成，这些公理称为S的特征公理。
S是一个公理系统，证明和内定理的定义如常。推演的定义和通常的不同。
定义3.1 推演 S是公理系统，x是公式集，α是公式。若存在β1，…，βn∈βx，使得├[,s]β[,1]→…→β[,n]→α，则称从x能推出α，记为x├[,s]α。
定义3.2 可靠性和完全性 S是公理系统，Γ是封闭框架类。
定理3.3 极小系统对于所有框架的框架类是可靠的。
证 由定理2.7可得。
和谐和极大和谐集的定义如常。极大和谐集有以下性质。
引理3.4 S是公理系统，x是极大和谐集。
定义3.7 典范框架和典范模型 x是极大和谐集。令：
(1)W=｛u｜u是极大和谐集｝；
则K(x)=＜o，W，U，R＞是框架，称为相对于x的典范框架。
在相对于x的典范框架K(x)取V(x)如下：
任给u∈W，u∈V(x)(p)当且仅当p∈u，
o∈V(x)(p)当且仅当p∈x，
则称V(x)是K(x)上的典范赋值，称
M(x)=＜K(x)，V(x)＞
是相对于x的典范模型。
定理3.8 M(x)=＜K(x)，V(x)＞是相对于x的典范模型，则任给公式α，都有
(1)任给u∈W，u∈V(x)(α)当且仅当p∈u。
(2)o∈V(x)(α)当且仅当α∈x。
证 (1)任给u∈W，对α作归纳。
四 全知系统B[,e]和真知系统B[,k]
全知系统B[,e]的特征公理是B(B[,α]∨B→α)，称为e-公理。
B[,e]-有效性是由全体单可及框架的框架类所确定的有效性。B[,e]对于B[,e]-有效性有可靠性和完全性。
因此K(u)是单可及框架。
定是4.4 B[,e]的完全性如果α是B[,e]-效的，则├[,e]α。
真知系统B[,k]的特征公理是k-公理：B(α→B[,α])。
B[,k]-有效性是由全体只及自身框架的框架类所确定的有效性。B[,k]对于B[,k]-有效性有可靠性和完全性。
定理4.5 B[,k]的可靠性如果├[,k]α，则α是B[,k]-有效性的。
证 k-公理的有效性的证明参见定理1.8(4)。
用典范模型证明Bk的完全性。
五 自信性
真知自信系统B[,Tk]是在B[,k]的基础上增加T-公理：B(B[,α]→α)得到的。
真知自信系统的有效性是由所有自返、只及自身框架的框架类所确定的。真知自信系统B[,Tk]的有效性简称B[,Tk]-有效性。
引理5.1 T-公理和k-公理是B[,Tk]-有效的。
证 T-公理的有效性参见定理1.8(1)。k-公理的有效性参见定理1.8(4)。
定理5.2 B[,Tk]的可靠性如果├[,Tk]α，则α是B[,Tk]-有效的。
证 由引理5.1和定理2.7。
引理5.3 任给极大和谐集A，B,[,Tk]的相对于x的典范框架K(x)是自返，只及自身框架。
证K(x)是自返框架的证明参看《二重命题逻辑系统B[,T4]》的引理3.16。K(x)是只及自身框架的证明参看引理4.7。
定理5.4 B[,Tk]的完全性 如果α是B[,Tk]-效的，则├[,Tk]α。
全知自信系统B[,Te]是在B[,e]的基础上增加T-公理：B(B[,α]→α)得到的。B[,Te]有效性是由全体自返且单可及的框架类所确定的有效性。
引理5.5 T-公理和e-公理是B[,Te]-有效的。
证 T-公理的有效性参见定理1.8(1)。e-公理的有效性参见定理1.8(3)。
定理5.6 B[,k]的可靠性如果├[,Te]α，则α是B[,Te]-有效的。
引理5.7 任给极大和谐集A，B[,Te]的相对于A的典范框架K(x)是自返，单可及框架。
证 K(x)是自返框架的证明参看《二重命题逻辑系统B[,T4]》的引理3.16。K(x)是单可及框架的证明参见引理4.3。
定理5.8 B[,Te]的完全性 如果α是B[,Te]-有效的，则├[,Te]α。
有趣的是在主观自信的条件下，主观全知性与主观真知性是等价的。
引理5.9
(1)自返，单可及框架都是只及自身框架。
(2)自返，单可及框架的框架是自返，只及自身框架。
(3)自返，只及自身框架的框架是自返，单可及框架。
证 (1)K=＜o，W，U，R＞是自返单可及框架，则任给x∈U[*]，都有xRx，
任给xRy，xRz都有y=z。
任给x∈U[*]，如果xRy，则由xRx和xRy，得x=y。因此K是只及自身框架。
(2)(3)略。
定理5.10 B[,Tk]与B[,Te]等价。
证 由引理5.9可得所有的自返，单可及框架的框架类与所有的自返，只及自身的框架类等同。再由引理4.1就可得到B[,Tk]与B[,Te]等价。
六 系统间的关系
这一节讨论各系统之间的关系。除了以上的系统之外，我们再引进一个系统B[,4e]。在B[,4]的基础上增加e-公理得到B[,4e]。B[,4e]的有效性由所有的传递且单可及框架的框架类所确定的有效性。B[,4e]相对于其有效性是可靠且完全的[4]。
定理6.2
(1)B[,4]是B[,k]的子系统
(2)B[,e]是B[,k]的子系统。
证 (1)因为所有的只及自身框架是传递框架，所以，所有只及自身框架的框架类包含于所有传递框架的框架类。由引理6.1可得，B[,4]是B[,k]的子系统。
(2)与(1)类似。
从上面的定理可知：如果认知主体的认知具有真知性，那么认知主体的认知就具有自觉性，甚至全知性。也就是说认知主体认为只要是真的他都可以认识蕴涵他认为他明白他的认知，他对所有的事物都有所认知。这是一个很有趣的结论。
根据可靠性定理，要证一个公式α不是系统S内定理，只需要证存在一个S框架不是α框架。
引理6.3
定理6.4
(1)B[,T]不是B[,k]的子系统。B[,T]不是B[,4e]的子系统。
(2)B[,4]不是B[,T]的子系统。B[,4]不是B[,e]的子系统。
(3)B[,e]不是B[,T4]的子系统。
(4)B[,k]不是B[,T]的子系统。
证 (1)由引理6.3(1)定理6.2可得。
(2)由引理6.3(2),(4)可得。
(3)由引理6.3(3)可得。
(4)由引理6.3(5)可得。
我们可以用下图来表示这些单主体认知逻辑系统的关系。
收稿日期：2002-11-10